Warum ist Logik erster Ordnung für Philosophen interessant?

Erstens ist die Tatsache, dass die Ahnenbeziehung nicht in FOL definiert werden kann , an sich keine philosophische Schwierigkeit. Es bezieht sich hauptsächlich auf die Frage der Konsistenz und Vollständigkeit und ihrer Omega-Gegenstücke über unendliche Bereiche. Es bedeutet kaum, dass FOL extrem begrenzt ist.

Ihre Frage könnte vernünftigerweise in separate Komponenten aufgeteilt werden.

1. Warum interessieren sich Philosophen überhaupt für Logik?
2. Warum Prädikatenlogik, im Gegensatz zu Typentheorie, Lambda-Kalkül, Kategorientheorie oder einer anderen Formulierung?
3. Warum Logik erster Ordnung im Gegensatz zu Logik zweiter Ordnung?
4. Warum klassische Logik im Gegensatz zu nicht-klassischer Logik?

#1. Philosophen interessieren sich seit langem für Logik: mindestens seit Aristoteles. Logik hilft, die Formulierung eines Arguments zu schärfen, sodass wir genau sehen können, was ausgedrückt wird. Es hilft dabei, gültige Argumente von ungültigen zu unterscheiden. Es hilft, einen komplexen Beweis in einzelne Schritte zu zerlegen, die offensichtlicher sind. Es hilft, Annahmen und versteckte Prämissen zu identifizieren. Modale Erweiterungen der Logik und die damit einhergehende mögliche Weltsemantik haben sich in verschiedenen philosophischen Theorien als sehr fruchtbar erwiesen.

#2. Viele logische Systeme erfüllen diese Aufgaben mehr oder weniger gut, aber die Prädikatenlogik erster Ordnung trifft eine Art Sweet Spot in der Geschichte der Logik. Logiken vor der Erfindung der Prädikatenlogik und der Modelltheorie waren einfach zu schwach. Andererseits sind die Logiken, die später im 20. Jahrhundert entwickelt wurden, komplexer und vielleicht für Philosophiestudenten im Grundstudium schwer zu verstehen.

#3. Einige Philosophen, die Logik verwenden, verwenden tatsächlich SOL, aber auch hier ist es schwieriger zu verstehen und bringt zusätzliche Probleme mit sich. SOL hat kein allgemeines Axiomensystem für seine Semantik und keine allgemeine Beweistheorie. FOL hat alle möglichen netten Eigenschaften, die in der von Ihnen verlinkten Frage aufgeführt sind. Außerdem kann viel von dem, was typischerweise unter Verwendung von SOL ausgedrückt wird, unter Verwendung einer Pluralquantifizierung gehandhabt werden.

#4. Meiner Erfahrung nach sind Philosophen typischerweise offener für die Verwendung nicht-klassischer Logik als Mathematiker. Es gab Philosophen, die bestimmte Logiken befürworteten, wie Michael Dummett mit intuitionistischer Logik, Stephen Read mit Relevanzlogik und Graham Priest mit dialethischer Logik. Es gibt auch Philosophen, die einen pluralistischen Ansatz zur Verwendung von Logik verfolgen. Die Anwendung unterschiedlicher Logiken hat interessante Konsequenzen in der Sprachphilosophie und in der Metaphysik.

Lassen Sie mich die vorhandenen (sehr guten) Antworten ergänzen.

Zunächst einmal ist in Ihrer Frage die implizite Annahme enthalten, dass philosophisches Interesse von Stärke herrührt . Dies ist nicht gerechtfertigt, insbesondere angesichts des allgemeinen Kompromisses zwischen Stärke und Zahmheit . Schwächere Logiken entsprechen einfacheren Argumentationsarten, und das könnte in einem bestimmten Kontext sehr interessant sein.

Zweitens ist die Logik erster Ordnung nicht wirklich so schwach, wie sie aussieht; vielmehr ist es kontextsensitiv . Wenn beispielsweise S eine Struktur und R eine binäre Relation auf S ist, die in S erster Ordnung definierbar ist , muss der transitive Abschluss R * von R nicht in S definierbar sein . Wenn wir uns jedoch nicht auf S selbst beschränken, schauen wir uns an, was wir mit Logik erster Ordnung im gesamten mengentheoretischen Universum V sagen können , in dem Slebt, ist die Definition von transitiven Abschlüssen trivial einfach. Der Punkt ist, dass die Logik erster Ordnung, da sie nicht a priori über zu mächtige Werkzeuge verfügt, es uns ermöglicht, zu verfolgen, welche Informationen wir verwenden, wenn wir ein Objekt definieren: Der obige Kontrast zeigt in gewisser Weise, dass die Definition von transitiven Abschlüssen nicht triviale Informationen über das hinaus erfordert , was Die Struktur muss uns im Allgemeinen zur Verfügung stellen, und dies ist eine interessante Sache.

Ein paar kurze Anmerkungen zu diesem Punkt:

• Vergleichen Sie Quines Kritik (ob Sie sie kaufen oder nicht) an der Logik zweiter Ordnung als "Mengentheorie im Schafspelz" - der Punkt ist, dass die Logik zweiter Ordnung wohl in einem inakzeptablen Maße über die gegebene betrachtete Struktur hinausreicht .

• Dies hängt mit der Rolle von ZFC als grundlegendem System zusammen; Ich habe ein wenig darüber in einer Antwort auf eine Frage von Ihnen bei math.stackexchange gesagt . Die Idee, dass Logik erster Ordnung + ZFC als Grundlage für Mathematik fungiert, ist eine Art gleichzeitiges Haben und Kuchenessen: Wir profitieren von der Zahmheit von FOL, während die ZFC-Axiome uns genügend Ausdruckskraft für das garantieren, was wir eigentlich tun möchten.

Um es zusammenzufassen: Stärke ist nicht das A und O, und die Schwäche der Logik erster Ordnung ist nur eine Facette einer komplizierteren Geschichte. Darüber hinaus hat die Logik erster Ordnung zusätzliches Interesse für ihre eher technischen Eigenschaften (Kompaktheit, Vollständigkeit, Löwenheim-Skolem, Unvollständigkeit, Interpolation, ...) . Es hat auch einige interessante Meta-Eigenschaften, die von Lindstroms Theorem und seinen Varianten bereitgestellt werden. Und ob diese wünschenswert oder unglücklich sind, sie sind sicherlich alle interessant .

Schließlich wird die Geschichte der Logik erster Ordnung sie als Thema weiter motivieren; Es ist viel darüber geschrieben worden, aber der SEP-Artikel ist ein guter Ausgangspunkt. Dieses Papier von Ferreiros ist auch eine großartige Quelle, ungeachtet dessen, dass sein übergeordnetes Ziel darin besteht, andere Logiken als die Logik erster Ordnung zu motivieren. (Jose Ferreiros: The Road to Modern Logic – An Interpretation , The Bulletin of Symbolic Logic, Bd. 7, Nr. 4 (Dezember 2001), S. 441-484)

Es gibt bestimmte Einschränkungen für FOL, insbesondere das Lowenheim-Skolem-Theorem, weshalb wir HOL für Modelle verwenden müssen, die überabzählbar unendlich sind, da wir mit einer abzählbar unendlichen Anzahl von Sätzen immer ein abzählbares Modell konstruieren können. Für sehr elementare Definitionen in der Mathematik wie die Eigenschaft der kleinsten Obergrenze für reelle Zahlen (oder Dedekind-Schnitte) müssen wir Logik zweiter Ordnung verwenden. Die Logik erster Ordnung reicht für die meisten Arithmetik aus, aber die mathematische Induktion ist zweite Ordnung (Omega-Unvollständigkeit fällt mir ein), die wir häufig in der Arithmetik verwenden, was wiederum dem Axiom der Wahl und dem Prinzip der guten Ordnung entspricht (das von Intuitionisten abgelehnt wird). .

Allerdings müssen wir uns zunächst mit der Frage befassen, warum sich überhaupt jemand von uns für symbolische Logik interessieren sollte. Auch viele professionelle Mathematiker finden die symbolische Logik weder interessant noch nützlich. Meistens verwenden wir eine Metasprache, um anhand nützlicher metalogischer Theoreme und untergeordneter Ableitungsregeln zu beweisen, wie in der Objektsprache ein Beweis existiert (Defined in Kleene, Stephen (1980). Introduction to meta-mathematics. North Holland. S. 102– 106. ISBN 9780720421033).

Der Hauptgrund, warum wir überhaupt symbolische Logik entwickelt haben, war, uns nur auf die Syntax zu konzentrieren und die Semantik überhaupt nicht zu berücksichtigen, mechanisches Symbol-Shunting durchzuführen und dennoch in der Lage zu sein, richtig zu argumentieren, nämlich. Solidität. Man könnte argumentieren, dass die Motivation, symbolische Logik zu entwickeln, darin bestand, eine Turing-Maschine zu befähigen, für uns zu argumentieren. David Hilbert hatte bereits gezeigt, dass man in der ebenen Geometrie (Euklid) nicht verstehen muss, was ein Punkt oder eine Linie bedeutet, aber dennoch in der Lage ist, korrekte Sätze nur durch syntaktische Manipulation zu beweisen.

Die Logik erster Ordnung ist philosophisch interessant, wenn es darum geht, die Grenzen von Turing-Maschinen gegenüber menschlicher Kognition zu verstehen, da sie sowohl Solidität als auch Vollständigkeit aufweist. Über dieses Problem wurde viel spekuliert, sogar von Kurt Gödel selbst, der die Disjunktion aufstellte, dass entweder der Geist eine Maschine ist oder es unendlich viele diophantische Gleichungen gibt, die nicht gelöst werden können, als Folge der Omega-Unvollständigkeit von FOL. Es ist auch praktisch, wenn Sie argumentieren oder Argumente überprüfen. Die kurze Antwort ist, dass FOL trotz seiner Einschränkungen nützlich ist. Wir sind uns seiner Grenzen vollkommen bewusst, und wir sind uns auch bewusst, dass, wenn wir seine Grenzen umgehen wollen, Solidität und Vollständigkeit geopfert werden müssen. Wann immer ein bestimmtes Argument entweder in FOL oder in der Aussagenlogik aussagekräftig ist, sollte man sich darauf verlassen, weil es viel zuverlässiger ist. Ich persönlich denke, wie Poincare meinte, dass Logik gut ist, um Dinge zu überprüfen, aber sie ist nicht nützlich, um neue Dinge zu schaffen. Es mag Meinungsverschiedenheiten geben, aber wir wissen bereits, dass 3-SAT NP-vollständig ist, also müssen wir uns Glück wünschen, semantisch wahre Aussagen mit einem Computer abzuleiten. Was die "Ahnen"-Beziehung bei der Definition von FOL betrifft, sehe ich das nicht als Problem an. Was ich sagen kann, ist einfach mit FOL und dem Kompaktheitssatz, dass ∃ x ∀ n ∈ N x < 1 / n, was Leibniz meiner Meinung nach sowohl in seinem Kalkül als auch in seiner Monadologie argumentiert hat, aber nicht beweisen konnte. Eine der Konsequenzen dieses Ergebnisses ist nun, dass der Philosoph und der theoretische Physiker Infinitesimale in ihrer Wissenschaft, Metaphysik und Pataphysik berücksichtigen müssen. wie Poincare meinte, dass Logik gut ist, um Dinge zu überprüfen, aber sie ist nicht nützlich, um neue Dinge zu schaffen. Es mag Meinungsverschiedenheiten geben, aber wir wissen bereits, dass 3-SAT NP-vollständig ist, also müssen wir uns Glück wünschen, semantisch wahre Aussagen mit einem Computer abzuleiten. Was die "Ahnen"-Beziehung bei der Definition von FOL betrifft, sehe ich das nicht als Problem an. Was ich sagen kann, ist einfach mit FOL und dem Kompaktheitssatz, dass ∃ x ∀ n ∈ N x < 1 / n, was Leibniz meiner Meinung nach sowohl in seinem Kalkül als auch in seiner Monadologie argumentiert hat, aber nicht beweisen konnte. Eine der Konsequenzen dieses Ergebnisses ist nun, dass der Philosoph und der theoretische Physiker Infinitesimale in ihrer Wissenschaft, Metaphysik und Pataphysik berücksichtigen müssen. wie Poincare meinte, dass Logik gut ist, um Dinge zu überprüfen, aber sie ist nicht nützlich, um neue Dinge zu schaffen. 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Eine der Konsequenzen dieses Ergebnisses ist nun, dass der Philosoph und der theoretische Physiker Infinitesimale in ihrer Wissenschaft, Metaphysik und Pataphysik berücksichtigen müssen. Beziehung in die Definition von FOL eingeht, sehe ich das nicht als Problem. Was ich sagen kann, ist einfach mit FOL und dem Kompaktheitssatz, dass ∃ x ∀ n ∈ N x < 1 / n, was Leibniz meiner Meinung nach sowohl in seinem Kalkül als auch in seiner Monadologie argumentiert hat, aber nicht beweisen konnte. Eine der Konsequenzen dieses Ergebnisses ist nun, dass der Philosoph und der theoretische Physiker Infinitesimale in ihrer Wissenschaft, Metaphysik und Pataphysik berücksichtigen müssen. Beziehung in die Definition von FOL eingeht, sehe ich das nicht als Problem. Was ich sagen kann, ist einfach mit FOL und dem Kompaktheitssatz, dass ∃ x ∀ n ∈ N x < 1 / n, was Leibniz meiner Meinung nach sowohl in seinem Kalkül als auch in seiner Monadologie argumentiert hat, aber nicht beweisen konnte. Eine der Konsequenzen dieses Ergebnisses ist nun, dass der Philosoph und der theoretische Physiker Infinitesimale in ihrer Wissenschaft, Metaphysik und Pataphysik berücksichtigen müssen.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Philosophen an FOL interessiert sind, weil es positive Ergebnisse bei der Untersuchung durch Philosophen, Modelltheoretiker, Beweistheoretiker usw. gegeben hat. Da wir unsere Semantik definiert haben, gibt es einige Wahrheiten, die wir abschließend zeigen können, die in jeder Metasprache zweifelhaft bleiben. Es lebt, und es gibt noch Dinge, die es zu verstehen und zu interpretieren gilt.

Kurze Antwort

FOL ist ein einfaches Modell des menschlichen Denkens und ähnlich wie einfache Modelle im Allgemeinen eine pädagogische Hilfe, um Schüler in die formalen Aspekte der Logik einzuführen, ohne unhandlich und übermäßig kompliziert zu sein. Schließlich könnte man argumentieren, warum viele formale Logiken gelehrt werden sollten, da sie eindeutig ein begrenzter Aspekt der menschlichen Vernunft selbst sind, die weitgehend anfechtbar ist und natürliche Sprache verwendet .

Lange Antwort

Ihre Frage bezieht sich auf mehrere Aspekte der Philosophie, einschließlich der pädagogischen, historischen und technischen Aspekte der Logik. Beginnen wir mit einer einfachen Frage:

Warum einem Kind das Zählen beibringen, wenn Technik eindeutig einen gesunden Einsatz höherer Mathematik erfordert?

In diesem Sinne ist es offensichtlich, warum FOL angesichts seiner inhärenten Einschränkungen bei der Beschreibung der menschlichen Vernunft gelehrt wird. Für den Anfang, wie kann man SOL unterrichten, wenn FOL nicht verstanden wird? In Ihrer Originalsprache ist es also keine Frage des Interesses, sondern des Nutzens. Jedes formale System mag auf den ersten Blick interessant erscheinen und dann uninteressant werden, sobald es gemeistert ist (und den Studenten wiederholt beigebracht wird). Aber es ist viel, genauso wie die meisten von uns Mathe-begeisterten Leuten wenig Freude am Zählen und Rechnen haben, es ist absolut ein wichtiger theoretischer und praktischer Baustein, um die Kardinalität unendlicher Mengen zu beurteilen, Schnittorte in der Topologie zu bestimmen, und Beurteilung der Monotonie unendlicher Reihen.

Es gibt die Ansicht, dass sich Forschungsthemen aus dem Bereich der Philosophie in den Bereich der Wissenschaft bewegen, wenn sie kodifiziert, standardisiert, gut verständlich und zuverlässig sind. Im Gegensatz dazu sind lebendige philosophische Themen spekulativ, offen, unklar verstanden und kontrovers, fast per Definition. Mit anderen Worten, Philosophen erfinden Wissenschaften, sie praktizieren sie im Großen und Ganzen nicht.

Angesichts der Tatsache, dass die moderne formale Logik wohl die jüngste große Wissenschaft ist, die direkt aus der Philosophie hervorgegangen ist, könnten wir sagen, dass ein gut verstandenes logisches System wie FOL aus genau denselben Gründen von abnehmendem philosophischen Interesse ist, aus denen es sich in solchen Bereichen als so wertvoll erwiesen hat wie Mathematik und Informatik.

Logik wird immer noch oft als philosophisches Thema betrachtet, weil sie so lange Teil des philosophischen Bereichs war und erst seit so vergleichsweise kurzer Zeit eine Wissenschaft ist. Aber der größte Teil der eigentlichen philosophischen Arbeit wird jetzt in den weniger standardisierten Logiken geleistet.