Ich habe darüber nachgedacht und möchte nur sichergehen, dass ich auf dem richtigen Weg bin oder korrigiert werden muss. Grundsätzlich lautet meine Antwort: Ja, Sie müssen immer einen Bereich angeben, wenn Sie in die Prädikatenlogik formalisieren, ein uneingeschränkter Bereich führt zu Paradoxien. Ich denke, im Allgemeinen bin ich mir nicht ganz sicher, auf welcher Grundlage Sie verlangen, dass Sie eine Domäne in der Prädikatenlogik angeben, außer dass dies eine Anforderung an die Vollständigkeitsbeweise oder andere Arten von Beweisen dafür ist.
Andererseits erscheint ein uneingeschränkter Bereich zunächst harmlos, denn wenn Sie sagen „Alle Menschen sind sterblich“, scheint das erste Prädikat „Mensch“ den Bereich für Sie einzuschränken. Trotzdem könnte es andere "Kategorien" von "Menschen" zulassen, die Sie nicht beabsichtigten: fiktive Männer, Männer in der Zukunft, Spielzeugsoldaten usw. Die Option hier scheint also zu sein, dass Sie entweder die Domäne auf ein beschränken ontologische/semantische Kategorie, oder die Kategorie sollte im Prädikat enthalten sein. Als Beispiel für Letzteres könnte im obigen Prädikat „Mensch“ angedeutet werden, dass die Kategorie auf zeitgenössische, fleischliche und reale Menschen beschränkt ist.
Da ich über Kategorien nachdachte und mich über Domänen im Zusammenhang mit „Kategoriefehlern“ wunderte, fand ich den SEP-Artikel zu „Kategorien“, und dort verknüpften sie (unter Bezugnahme auf jemanden namens Thomasson) Domänen mit der Schwierigkeit von Russells Paradoxon. Also, zuerst, verursacht ein uneingeschränkter Bereich Russells Paradoxon? Zweitens, gibt es eine Art philosophische Verbindung zwischen Russells Paradoxon und dem, was als ontologische oder semantische Kategorien bekannt ist? Mit ontologischen Kategorien meine ich die Systeme von Aristoteles, Kant und anderen. Mit semantischen Kategorien I bedeuten die Analyse von Kategoriefehlern von Ryle, Sommers, et al.
In der Mengentheorie bedeutet die Unterscheidung, nach der Sie fragen, die Frage, ob die Domäne eines Modells eine Menge sein muss oder ob es eine echte Klasse sein darf. Dies ist eine wichtige Unterscheidung, die viele subtile Probleme aufwirft. In vielen mathematischen Kontexten sind wir versucht, eine Struktur zuzulassen, deren Domäne eine echte Klasse ist, und die Frage ist, ob dies sinnvoll ist.
Der Vollständigkeitssatz von Gödel besagt zum Beispiel, dass eine Theorie erster Ordnung genau dann konsistent ist, wenn sie ein Modell hat. In diesem Theorem sollte man die Bedeutung von „Modell“ als ein Modell verstehen, dessen Definitionsbereich eine Menge ist.
In einer Struktur erster Ordnung, deren Domäne eine echte Klasse ist, können wir in der üblichen ZFC-Axiomatisierung der Mengenlehre im Allgemeinen nicht die rekursive Wahrheitsdefinition von Tarski vornehmen, und es ist nicht so, dass jedes echte Klassenmodell ein Erfüllungsprädikat hat .
Als Gödel zum Beispiel die relative Konsistenz des Auswahlaxioms gegenüber ZF bewies, baute er eine geeignete Klassenstruktur L auf, die als konstruierbares Universum bezeichnet wird, und bewies in ZF, dass jedes Axiom von ZFC in L gilt. Dies ist jedoch nur ein Theoremschema. eine Behauptung über jedes Axiom von ZFC separat, und man kann die Behauptung „L ist ein Modell von ZFC“ im Allgemeinen nicht einmal als eine einzige Aussage formalisieren.
Dies ist einer der Gründe, warum der Satz nur ein Ergebnis der relativen Konsistenz ist. Obwohl Gödel ein Modell von ZFC erstellte, war es ein echtes Klassenmodell, und dies reicht nicht aus, um die Konsistenz der Theorie zu beweisen, da der Vollständigkeitssatz ein Mengenmodell der Theorie erfordert. Aber wenn wir ein Mengenmodell von ZF haben, dann können wir L relativ zu diesem Modell konstruieren und dadurch ein Mengenmodell von ZFC erhalten. Er hat also bewiesen, dass ZFC konsequent ist, wenn ZF konsequent ist.
Inzwischen führen viele Anwendungen der Kategorientheorie dazu, dass man eigentliche Klassenkategorien bilden möchte, etwa die Kategorie aller Gruppen oder die Kategorie aller Teilordnungen. Da man zusätzlich zu diesen Kategorien eine zusätzliche kategorientheoretische Analyse durchführen möchte, führt dies zu problematischen Fragen, die dem Russell-Paradoxon ähneln. Um diesem Problem vorzubeugen, schichten Kategorietheoretiker das Universum in Ebenen und bilden kleine und große Kategorien in Analogie zur Mengen/Klassen-Unterscheidung in der Mengentheorie. Das Axiom der Universen ist ein bequemer Weg, um zu behaupten, dass es für die meisten dieser Art von Analyse ausreichende Ebenen gibt. Dieses Axiom entspricht der Existenz einer richtigen Klasse von unzugänglichen Kardinalzahlen und ist daher ein mildes großes Kardinalaxiom, ein starkes Axiom der Unendlichkeit.
Wenn Sie ein System formaler Logik haben, in dem Ihre Prädikate andere Prädikate als Argumente annehmen können, führt dies schnell zu Paradoxien wie z
Es gibt einen Mann, der allen und nur Männern die Haare schneidet, die sich nicht selbst die Haare schneiden.
(Schneidet er sich selbst die Haare?)
Dies hängt eng mit Russells Paradoxon zusammen, das dasselbe Problem in der Mengenlehre darstellt. Es führte zur Entwicklung der Logik erster Ordnung, in der die Domäne eines Prädikats keine Funktionen oder Prädikate enthalten kann. Der Wikipedia-Artikel über das Barber-Paradoxon geht ins Detail und hat eine formale logische Wiedergabe des Paradoxons. http://en.wikipedia.org/wiki/Barber_paradox
Hunan Rostomyan
Dan D.
Kevin Holmes