Michael Genesereth und Eric Kao beschreiben die Herbrand-Semantik wie folgt:
Die Herbrand-Semantik ist eine alternative Semantik für die Logik erster Ordnung, die auf Wahrheitszuweisungen für Grundsätze und nicht auf Interpretationen für Objekt-, Funktions- und Beziehungskonstanten basiert. Ein Modell ist in unserer Sprache einfach eine Wahrheitszuordnung für die Grundatome. (Äquivalent dazu ist es eine willkürliche Teilmenge der Grundatome in unserer Sprache.) In der Herbrand-Semantik gibt es kein externes Universum und keine Interpretationsfunktion für Konstanten. Tatsächlich werden alle Grundbegriffe als undurchsichtig behandelt – sie „repräsentieren“ sich selbst.
Dies steht im Gegensatz zur Tarskischen Semantik , die "auf dem Begriff der Interpretation von Konstanten basiert".
Alan Weir unterscheidet zwischen zwei Formen des Formalismus. Auf der einen Seite gibt es den Begriffsformalismus :
Der Begriff Formalist betrachtet die Ausdrücke der Mathematik, zum Beispiel Arithmetik, als bedeutungsvoll, die Singularausdrücke als referenzierend, aber als referenzierend auf Symbole wie sie selbst und nicht auf Zahlen, die als von Symbolen verschiedene Einheiten ausgelegt werden.
Auf der anderen Seite gibt es den Spielformalismus :
Der Spielformalist hält an der Ansicht fest, dass mathematische Äußerungen keine Bedeutung haben; jedenfalls greifen die darin vorkommenden Begriffe keine Gegenstände und Eigenschaften heraus und die Äußerungen können nicht zur Feststellung von Tatsachen verwendet werden. Mathematik ist vielmehr ein Kalkül, in dem „leere“ Symbolketten nach festen Regeln transformiert werden.
Dies lässt mich denken, dass die Semantik von Jacques Herbrand am besten von einem Begriffsformalisten verwendet wird (es sei denn, der Formalist erfordert einen unzählbaren Bereich). Ich vermute auch, dass der Spielformalist überhaupt keine Semantik braucht, da Mathematik lediglich ein Kalkül ist. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob ich auf dem richtigen Weg bin.
Ich interessiere mich hauptsächlich für die Herbrand-Semantik für abzählbare Bereiche in der Logik, nicht unbedingt für die Mathematik, und daher die Frage: Ist die Herbrand-Semantik eine Art Begriffsformalismus?
Genesereth, M. und Kao, E. Herbrand Semantik. Stanford. Abgerufen am 5. Oktober 2019 unter http://logic.stanford.edu/herbrand/herbrand.html
Weir, Alan, „Formalism in the Philosophy of Mathematics“, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Ausgabe Herbst 2019), Edward N. Zalta (Hrsg.), URL = https://plato.stanford.edu/archives/fall2019/entries /Formalismus-Mathematik/ .
Ich würde zustimmen, dass die philosophische Haltung, die sich am direktesten für die Herbrand-Semantik als die „richtige“ Semantik ausspricht, der Begriffsformalismus ist. Wie Conifold anmerkte, ist die Semantik jedoch nicht an einen bestimmten philosophischen Rahmen gebunden. (Tatsächlich ist eine der Stärken der Mathematik ihre Fundamentunabhängigkeit.)
Allerdings gibt es hier eine interessante Spannung zwischen der formalistischen Haltung im Allgemeinen und der „logischen Wildheit“ der Herbrand-Semantik. Die Herbrand-Verknüpfung ist äußerst kompliziert : Insbesondere die Menge von Sätzen, die von einer so schwachen (im üblichen Sinne) Theorie wie der Robinson-Arithmetik Herbrand-verknüpft sind , ist äußerst kompliziert (dies kann durch die Berechenbarkeitstheorie präzisiert und bewiesen werden).. Als solche ist die Herbrand-Semantik für jemanden schwer zu akzeptieren, der das annimmt, was ich die "starke formalistische These" nennen würde, dass nur Mathematik, die auf formale Manipulationen von Symbolen reduzierbar ist, sinnvoll ist - und dies scheint etwas zu sein, das nachdrücklich nahegelegt wird, wenn vom Spielformalismus nicht geradezu gefordert. Es ist daher schwer, sich der Schlussfolgerung zu entziehen, dass die Herbrand-Semantik (oder genauer gesagt, die Haltung, dass die Herbrand-Semantik die „richtige“ Vorstellung von Semantik ist) ein nicht triviales Element des Realismus enthält.
Natürlich können wir die Herbrand-Semantik durch einen kanonischen Trick "zähmen": Wenn T irgendeine Theorie ist, dann wenn T' dieselbe Theorie in der größeren Sprache ist, die durch Hinzufügen unendlich vieler neuer konstanter Symbole erhalten wird, haben wir, dass die Tarski-Folge und die Herbrand-Folge zusammenfallen für T' , und so ist insbesondere jeder Satz in der Originalsprache von T , der Herbrand ist, der aus T' folgt , ist Tarski, der aus T folgt . Aber es ist schwierig, dies als wirklich befriedigend anzusehen, da es (i) uns dazu zwingt, eine unendliche Sprache zu übernehmen, und (ii) es schwer zu motivieren ist, ohne dem Tarskischen Ansatz bereits einen gewissen Wert zuzuerkennen.
Hier liegt eine Art Ironie. Im Wesentlichen – und zur Prägnanz aus einer realistischen Perspektive formuliert – ergibt sich die Komplexität der Entbindung in der Herbrand-Semantik aus der Kraft, die erforderlich ist, um genau die „(gut) definierbaren“ Objekte zu quantifizieren . Das heißt, unbegrenzte Quantifizierung wird problematisch, weil der Diskursbereich gezwungenermaßen klein ist ! Wenn wir mit der Tarski-Semantik arbeiten, ist die Bandbreite der „zugelassenen Modelle“ so groß, dass tatsächlich alles erlaubt ist, was nicht „eindeutig verboten“ ist , was letztendlich zu einer rechnerischen Einfachheit führt . Allgemeiner würde ich sagen, dass eines der Themen, die sich aus der modernen Logik ergeben, Folgendes ist:
Die mit dem „naiven Realismus“ verbundenen logischen Vorstellungen sind aus formalistischer Sicht äußerst brav, trotz der Spannung zwischen Formalismus und Realismus als philosophischen Positionen.
Und das ist meiner Meinung nach eine wirklich coole Sache (was komischerweise sowohl Formalisten als auch Realisten argumentieren können, ist ein Beweis für ihre Position!) .
Konifold
Konifold