Was sind einige Vorteile einer Logik zweiter Ordnung?

Ich habe gelesen , dass eine Logik zweiter Ordnung einem helfen kann, Gleichheit zu definieren, indem man alle Prädikate quantifiziert, wie zum Beispiel in der folgenden Definition:

(x=y):⟺[∀P:P(x)⟺P(y)]

Im Gegensatz dazu würde eine Logik erster Ordnung mit Identität "=" als ein primitives logisches Symbol definieren.

Abgesehen von diesem Vorteil, aber als Beispiel für einen Vorteil, was sind andere Verwendungen oder Vorteile einer Logik zweiter Ordnung gegenüber einer Logik erster Ordnung?

Han de Bruijn ( https://math.stackexchange.com/users/96057/han-de-bruijn ), Leibniz' Gesetz und das gute alte Rätsel, URL (Version: 18.12.2013): https://math .stackexchange.com/q/608947

Es kommt darauf an, was als Vorteil gilt. Es wird angenommen, dass die Logik zweiter Ordnung unserem natürlichen Denken näher kommt. Insbesondere kann man die Induktion für alle Prädikate auf natürliche Weise formulieren, anstatt sie wie im Induktionsschema erster Ordnung für jedes Prädikat einzeln zu postulieren. Man kann auch die Nicht-Standard-Modelle der Arithmetik ausschließen, indem man sie verwendet. Boolos argumentierte , dass Konstruktionen in natürlicher Sprache mit Pluralquantifizierung durch die Logik zweiter Ordnung modelliert werden. Andererseits ist es technisch unhandlich, es gibt keine gute Beweistheorie dafür.
Was die von Conifold angesprochenen natürlichsprachlichen Konstruktionen betrifft, so können nicht nur Plural-NPs, sondern auch viele andere vollkommen übliche natürlichsprachliche Ausdrücke nur direkt in die Sprache der Logik zweiter Ordnung übersetzt werden: Beispielsweise können Quantoren wie mehr als oder die meisten nicht bewiesen werden definierbar erster Ordnung sein; und Adverbien (zB slow(walk) ) sowie viele gewöhnliche Adjektive/Substantive/Verben (zB color(red) oder is-a-property(color) ) sind Eigenschaften von Eigenschaften (von Eigenschaften) und somit Begriffe höherer Ordnung.

Antworten (1)

Die Logik zweiter Ordnung hat eine viel stärkere Ausdruckskraft.

Viele Aussagen können in der Sprache zweiter Ordnung formalisiert, aber nicht in der Sprache erster Ordnung ausgedrückt werden.

Zum Beispiel:Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Gute Antwort, obwohl es sich lohnen könnte, hinzuzufügen, dass alle diese Beispiele monadische Prädikate zweiter Ordnung sind und alle in Logik erster Ordnung mit Pluralquantifizierung ausgedrückt werden können.
Was sind einige Vorteile einer Logik zweiter Ordnung?
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