Warum steht in dieser Wellengleichungsableitung ein Minuszeichen?

Das Relativzeichen ist nicht nur eine Konvention. Sobald Sie sich dafür entschieden haben$E$wird vertreten durch$i\hbar \partial/\partial t$, muss in der Formel für ein Minuszeichen stehen$p$, nämlich$p=-i\hbar \partial / \partial x$. Oder umgekehrt.

Zunächst einmal muss es geben$i$oder$-i$in allen Formeln, weil$\partial/\partial x$ist ein anti-hermitescher Operator (wegen des Minuszeichens bei der partiellen Integration) und wir brauchen hermitesche Operatoren (die reelle, gemessene Eigenwerte haben) für Energie, Impuls und andere. Was ist mit den Zeichen?

Die einzige Vorzeichenkonvention, die in den frühen Tagen der Quantenmechanik gewählt wurde, war eine für die Energie; in der Tat hätte man ersetzen können$i$von$-i$in dieser Gleichung weil$i$Und$-i$dieselbe algebraische Rolle spielen: Austauschen$i$Und$-i$ist ein "äußerer Automorphismus" komplexer Zahlen. Aber sobald dieses Zeichen fixiert ist, sind auch alle anderen Zeichen fixiert. Dazu gehören Minuszeichen im Impuls, Drehimpuls, Eichtransformationen, Schrödingers Bild, Heisenbergs Bild, Feynmans Pfadintegral und jede andere Formel der Quantenmechanik. Es gibt nur einen Weg, die Quantenmechanik zu definieren, wenn ein klassischer Grenzwert (mit seinen Vorzeichenkonventionen) gegeben ist, den wir erhalten müssen.

Das relative Minuszeichen in$p,E$kann unsichtbar werden, wenn Sie nur mit zweiten Ableitungen operieren - Impulsquadrat, Energiequadrat -, aber es wird sichtbar, wenn Sie mit ersten Potenzen der Operatoren operieren.

Die De-Broglie-Welle – oder eine mit einem Teilchen verbundene Welle – ist proportional zu

$$\exp \left[ \frac{i}{\hbar} (\vec p\cdot \vec x-Et)\right]$$ Beachten Sie, dass, wenn Sie in Bezug auf differenzieren $x$Und $t$, und multipliziere das Ergebnis mit $i\hbar$, du erhältst $-p$Und $E$, bzw. (Lassen Sie die Vektorzeichen weg, wenn Sie nur einen eindimensionalen Raum mit einem wollen $x$und ein $p$.)

Das relative Zeichen zwischen$\vec p\cdot \vec x$Und$Et$in obiger Formel von de Broglie ist physikalisch notwendig, weil nur$Et - \vec p \cdot \vec x$ist das korrekte Lorentzsche innere Produkt der Vektoren$(E,\vec p)$Und$(t,\vec x)$: Das relative Minuszeichen kommt von den entgegengesetzten Zeichen von Raum und Zeit in der Signatur der Raumzeit. Beachten Sie, dass die doppelt relative Anmeldung$(E,\vec p)$Und$(t,\vec x)$kann nicht umgedreht werden, weil in der Relativitätstheorie$\vec pc^2/E$ist die Geschwindigkeit$\vec v$.

Das obige Argument ist für eine relativistische Interpretation von$E$. Die nicht-relativistische kinetische Energie wird jedoch nur als verschobene relativistische Energie definiert,

$$E_{\rm nonrel} = E_{\rm rel} - mc^2$$ also den Koeffizienten (und Vorzeichen) vor $E$bleibt unverändert und $\vec p$ist völlig unverändert. Man kann auch verwandte Argumente entwerfen, die analysieren, wohin sich die De-Broglie-Welle bewegt. Damit es sich in die richtige Richtung bewegt, muss ein Minuszeichen vorhanden sein $Et-px$. Es hängt damit zusammen, dass sich die Form von Objekten durch Geschwindigkeit bewegt $v$hängt nur davon ab $x-vt$Weil $x=vt$(ohne Minuszeichen, das zu einem Minuszeichen wird, wenn Sie beide Terme auf die gleiche Seite verschieben) ist die Gleichung für ihren Massenschwerpunkt.

Die Hyperflächen konstanter Phase der De-Broglie-Welle sind orthogonal zu den Weltlinien der Teilchen, die das Vorzeichen vorgeben. Schließlich sollten sich die Maxima und Minima der Wellen in die gleiche Richtung wie die Teilchen selbst bewegen.

Ja, wenn die Zeitabhängigkeit so geschrieben wird$e^{-i\omega t}$, dann werden die anderen Zeichen sicher. Es ist eine Konvention im QM.

In der Plasmaphysik verwendet man manchmal die umgekehrte Konvention für die Zeit-Fourier-Transformation. In der entgegengesetzten Konvention ist der Imaginärteil von$\omega$=$\omega' + i\omega''$beschreibt das Dekrement des Wellenausklingens, falls positiv.