Was ist genau die Energieskala eines Prozesses?

Es gibt mindestens zwei mögliche Antworten, aber beide laufen letztendlich auf dasselbe hinaus: Es gibt keinen "richtigen" Weg, um die Energieskala eines Prozesses festzulegen, aber das spielt keine Rolle, außer dass Ihre Störung Theorie wird wahrscheinlich brechen, wenn Sie die Skala schlecht wählen.

Die alte Antwort : Die Renormierungsskala wird willkürlich definiert, um einige Parameter der Theorie auf gemessene Werte festzulegen und Unendlichkeiten loszuwerden, zB a$\phi^4$Skalare Kopplung$\lambda$wird manchmal durch einen Blick auf die behoben$\phi^4$Interaktion auf dem Kanal$s^2 = 4\mu^2, t^2 = 0, u^2 = 0$, aber man könnte sich genauso gut den Kanal anschauen$s^2=t^2=u^2=\mu^2$. Wir müssen einfach irgendeine Bedingung annehmen, um unsere Gegenbegriffe festzulegen und endliche Antworten für unsere Amplituden zu erhalten.

Die Renormierungsskala hat im Allgemeinen keine wirkliche Bedeutung, aber wenn Sie sie bei Diagrammkanälen wie definieren$s^2=t^2=u^2=\mu^2$, dann wird es die "typische" Energieskala des Prozesses widerspiegeln. Durch die renormierte Störungstheorie werden die Gegenterme in der Lagrange-Funktion durch die Renormierungsbedingungen festgelegt und liefern endliche Antworten für Amplituden, unabhängig davon, wie die Skala gewählt wird. Wenn Sie sich jedoch an Prozessen befinden, die sich stark von der Skala unterscheiden, beginnen die störenden Korrekturen unglaublich schnell groß zu werden, so dass Sie nichts gewinnen, wenn Sie Amplituden haben, die "theoretisch" unabhängig von der Skala sind, und dies motiviert, nach laufenden Kopplungen zu suchen - Indem wir in der Lage sind, die Renormierungsskala zu variieren, ohne eine reihenfolgeweise Störung explizit im Diagramm durchzuführen, sparen wir viel Aufwand.

Die moderne, Wilsonsche Antwort : Eine Quantenfeldtheorie wird an sich als eine effektive Theorie angesehen, die eine inhärente Impulsabschaltung besitzt$\Lambda_0$. Das ist keine "Skala" mehr, bei der wir irgendwelche Spielereien machen, weil wir Unendlichkeiten loswerden wollen, es ist eine Eigenschaft der Theorie , die Ihnen sagt, wie hoch die aufgeregten Momente gehen. Die Fourier-Moden der Quantenfelder werden oberhalb dieser Skala buchstäblich abgeschnitten, und wir betrachten das Pfadintegralmaß (das durch einen Grenzprozess auf einem Gitter "definiert" wird) als nur die Maße für die Impulse darunter enthaltend$\Lambda_0$.

"Renormalisieren" bedeutet jetzt, dass wir noch mehr Fourier-Modi integrieren können, um zu einem neuen Cut-Off zu gehen$\Lambda<\Lambda_0$, was sie eher zu Kopplungen in der Wilsonschen effektiven Aktion als zu dynamischen Objekten der Theorie macht. Dann$\Lambda$ist eindeutig die Skala, oberhalb der wir nicht erwarten, dass viele Moden der Felder angeregt werden, es ist tatsächlich die Reihenfolge der dabei auftretenden Impulse.

Vielleicht ein bisschen enttäuschend für Ihre Frage, ist diese Art der Betrachtung des Grenzwerts von Natur aus ungefähr , und es gibt keinen genauen Weg, um die "Energieskala eines Prozesses" zu erhalten - aber auch hier spielt es keine Rolle, da alle Die Renormierung ändert die Funktionsweise unserer Störungstheorie, indem sie die Kopplungen durchführt , und wir sind im Prinzip wieder frei, jede Art von Skala im Prozess als unsere Renormierungsskala zu wählen - aber wenn Sie eine nehmen, die stark von der intuitiven Bedeutung von abweicht "Impulsreihenfolge im Prozess" zu viel, werden Sie wieder keinen Spaß daran haben, die Gegenbegriffe störanfällig herauszubekommen.

Sie gehen zum Schwerpunktrahmen, um das zu finden$\sum_i \vec{p}=\vec{0}$, und der Gesamtimpuls vier Vektor ist somit

$$P_{\text{tot}}^{\mu}=\left(\frac{1}{c}\sum_{i}E_i^{\text{COM}}, \vec{0}\right)$$ dann definieren wir die Energieskala kovariant als $\mu=\sqrt{-s}$wo $s$ist die Mandelstam-Variable $s\equiv P_{\text{tot}}^{\mu}P_{\text{tot}\mu}$in Einheiten von $c=1$, damit im COM-Frame $$\mu = \sum_i E_i^{\text{COM}} = \sum_i \frac{m_{oi} c^2}{\sqrt{1 - v_i^{\text{COM }2}/c^2}}$$