Was bedeutet das komplexwertige Feld bei der Beugung?

Dies ist eine philosophische Frage der Physik, die mir während meiner Doktorarbeit bei der Berechnung beugungsbegrenzter Brennflecke kam.

Bei der Erörterung der Beugung beginnen die meisten Lehrbücher (wie Hechts Optik oder Wikipedia) mit den Maxwell-Gleichungen, zum Beispiel:

(1) ∇ × E → = − ∂ B → ∂ T

Sie leiten dann die Wellengleichung ab und gehen weiter durch das Huygens-Prinzip und das Kirchhoff-Integral und können schließlich bei der Fraunhofer-Beugung landen und so etwas wie die folgende Formel erhalten:

(2) E ~ ( X ~ ) = ∫ − ∞ ∞ E ( X ) exp ⁡ ( ich k X X ~ / D ) D X

Meine Frage ist im Grunde: Was ist die Bedeutung der komplexen Variablen E in Gleichung (2)? Lassen Sie mich erklären. Hecht ist ziemlich klar, dass dies dasselbe ist wie das elektrische Feld in Gleichung (1) (es blieb die ganze Zeit über so bei der Herleitung) und dass die beobachtete Intensität das Modulusquadrat eines schnell oszillierenden elektrischen Feldes ist. Die Tatsache, dass das elektrische Feld Q E → = F → Diese Komplexität wird lediglich als mathematisches Werkzeug betrachtet - obwohl nicht klar ist, in welcher mathematischen Beziehung sie zum guten alten reellwertigen Gleichstromfeld steht.

Edit2: Beachten Sie das E in Gleichung (2) ist wirklich komplexwertig. Wenn ich zum Beispiel die gleiche Gleichung in der Fresnel-Grenze angegeben hätte, würde eine perfekte dünne Linse am Schlitz die Amplitude nicht ändern, aber eine Phase der Form einführen exp ⁡ ( ich k X 2 / F ) . So E ist im Allgemeinen nicht real .

Die Maxwellschen Gleichungen sind sicherlich das letzte Wort in der klassischen Elektrodynamik. Und jeder hat Einzel- und Doppelspaltexperimente durchgeführt, um das letztendliche Ergebnis von Gleichung (2) bereits in der Highschool zu verifizieren, vielleicht indem er einen Laser durch einige Spalten gestrahlt hat. Die Tatsache, dass ein kontinuierliches elektrisches Feld interferiert, um Minima und Maxima zu erzeugen, erscheint sinnvoll.

Wir wissen aber auch, dass diese Vorstellung eines kontinuierlichen elektrischen Feldes irreführend ist: Das gebeugte Licht besteht aus Milliarden von Photonen. Wir könnten das Experiment genauso gut durchführen, indem wir Photonen mit einer Rate von 1/Minute durch Schlitze schicken. Dann können sich zwei aufeinanderfolgende Photonen nicht gegenseitig stören. Wenn wir in diesem Fall beispielsweise ein CCD hätten, würden wir, anstatt ein glattes Intensitätsprofil zu sehen, das mit jedem neuen Photon an Intensität zunimmt, ein körniges Bild sehen, wenn jedes Photon ein bestimmtes Pixel auf dem CCD trifft. Erst nach einer statistisch signifikanten Anzahl von Photonen würden wir beginnen, uns dem glatten Beispiel anzunähern S ich N C ( X ~ ) Funktion.

Eine Erklärung ist klar: Die komplexwertige Variable in Gleichung (2), deren Betragsquadrat wir nehmen müssen, ist nicht das elektrische Feld, sondern so etwas wie die Wellenfunktion (oder ein relativistisches Äquivalent). Dies würde den obigen Absatz erklären und ermöglichen, dass das elektrische Feld real ist. Aber warum geht es dann direkt aus der Maxwell-Gleichung hervor, wie Hecht darauf besteht, dass es das elektrische Feld hat? Die Gleichungen (1) und (2) machen eindeutig sehr genaue experimentelle Vorhersagen, aber wie werden sie mit der Quantenfeldtheorie in Einklang gebracht?

Bearbeiten: Wie wird ein elektrisches Feld mit zB Elektronenbeugung in Einklang gebracht, die eine identisch "körnige" Verteilung bilden kann?

Übrigens, nach vielen Debatten mit Forschungsphysikern ist die beste Antwort, die ich bisher gehört habe: "Nun, ich bin Physiker, also ist letztendlich alles eine Feldtheorie."

In der klassischen Physik soll man den Realteil nehmen, denn die komplexen Zahlen sind eine mathematische Annehmlichkeit und tatsächlich physikalisch bedeutsam. Das elektrische Feld ist keine Wellenfunktion.
Mein ursprünglicher Kommentar wurde bearbeitet - Titel enthalten -, weil angenommen wurde, dass die Antwort auf meine Frage "das elektrische Feld" war und ich verwirrt darüber war, warum es komplex sein sollte. Das ist nicht der Fall. Meine Frage ist, wie die Quantenfeldtheorie und die Beugung von Teilchen - Photonen, Elektronen usw. - philosophisch mit den Maxwellschen Gleichungen der klassischen Elektrodynamik in Einklang gebracht werden können.

Antworten (3)

Was bedeutet die komplexe Variable E ?

Das elektrische Feld E ( R , T ) ist eine reelle Funktion von Ort und Zeit. Aus diesem Grund ist die Fourier-Transformation (in Raum oder Zeit) hermitesch, dh E ~ ∗ ( ω ) = E ~ ( − ω ) , Wo E ~ ( ω ) = F [ E ( T ) ] ist die Fourier-Transformation des elektrischen Feldes. Diese Eigenschaft bedeutet, dass die negativen Frequenzen die gleichen Informationen tragen wie die positiven Frequenzen.

Da die negativen Frequenzkomponenten keine Informationen enthalten, müssen wir die Entwicklung sowohl der positiven als auch der negativen Frequenzkomponenten des Felds nicht berechnen, um die gesamte Physik eines Problems darzustellen. Daher können wir die Funktion definieren

E ~ A ( ω ) = { E ~ ( ω ) Wenn  ω ≥ 0 0 ansonsten ,
mit denen wir unser Fachgebiet ohne Informationsverlust darstellen können. Wenn wir die inverse Fourier-Transformation dieser Funktion nehmen, erhalten wir
E A ( T ) ≡ F − 1 [ E ~ A ( ω ) ] .
Die Fourier-Transformation bewahrt alle Informationen und wirkt daher auf die komplexe Funktion ein E A ( T ) stellt alle Informationen in jedem physikalischen Problem vollständig dar. Diese komplexe Funktion E A ( T ) ist als analytische Darstellung des elektrischen Feldes bekannt und stellt ausschließlich die positiven Frequenzanteile dar E ( T ) (die jedoch alle Informationen des Problems enthalten).

Eine gute ausführliche Einführung in die analytische Darstellung von Feldern findet sich in Kapitel 3 des Buches "Coherence and Quantum Optics" von Mandel und Wolf

Wir wissen jedoch auch, dass diese Vorstellung eines kontinuierlichen elektrischen Feldes irreführend ist

Das ist nicht ganz richtig. Die Feldlösungen aus der Maxwell-Gleichung sind sogar im Quantenregime vollkommen gültig. Der Unterschied ergibt sich aus der Tatsache, dass die Feldamplituden für eine gegebene Feldkonfiguration (z. B. eine kontinuierliche Lösung der Maxwell-Gleichungen) operatorwertig werden.

Die komplexwertige Variable in Gleichung (2), deren Betragsquadrat wir nehmen müssen, ist nicht das elektrische Feld, sondern so etwas wie die Wellenfunktion.

Ich finde das tatsächlich eine nützliche Art, darüber nachzudenken, und ich bin nicht allein (siehe zPapier). Allerdings muss man bei diesem Bild vorsichtig sein. Im Gegensatz zu massiven Teilchen (wie Elektronen) sind Photonen masselos und daher gibt es keine richtige nicht-relativistische Theorie für Photonen. Einige Leute nehmen dies so, dass Sie keine erste quantisierte Lichttheorie haben können (nur eine zweite quantisierte / Quantenfeldtheorie-Beschreibung). Technisch gesehen ist das erste Quantisierungsbild von Elektronen jedoch auch eine Annäherung an eine vollständigere vollständig relativistische Quantenfeldtheorie, daher halte ich es für heuchlerisch zu sagen, dass eine erste quantisierte Annäherungstheorie in Ordnung ist, eine andere jedoch nicht. Das größte Problem für Photonen, das Sie für Elektronen nicht haben, ist, dass die Photonenzahl niemals erhalten bleibt (während die Elektronenzahl bei niedriger Energie erhalten bleibt). Solange Sie also nur die "Einzelphotonenwellenfunktion" verwenden

Die andere Sache, die Photonen auszeichnet, ist, dass es keine Positionsdarstellung gibt, aber dann sind Positionsdarstellungen ohnehin nur für nichtrelativistische QM gültig, sodass dieser Mangel ohnehin als Teil Ihres allgemeinen Mangels an nichtrelativistischer QM ausgelegt werden könnte. Sie können eine Wahrscheinlichkeitsamplitude erhalten, um ein Photon an einer Position destruktiv zu erkennen R → , die proportional zu ist E → = ⟨ 0 | E ^ ( R → , T ) | ψ ⟩ , und dies ist analog zu Bialynicki-Birulas Felddarstellung des Ein-Photonen-Zustands. Jedenfalls finde ich die Interpretation des nichtrelativistischen ....
... Positionsdarstellung des Elektronzustands experimentell unklar und nicht nachvollziehbar abgesehen davon, dass es sich nur um eine bestimmte, abstrakte Koordinatendarstellung des Zustands des Elektrons handelt - kann man sich ernsthaft vorstellen, dass es eine Messung gibt, die in ein Orbital und reicht das Elektron "finden"?
Diese Antwort von mir könnte Sie auch interessieren , da Sie sich für die Arbeit von Bialynicki-Birula interessieren.
Ich mag den letzten Absatz und danke für den arXiv-Link. Ein paar Punkte jedoch: (1) Wie ich jetzt klargestellt habe, was Sie nennen E ( R → , T ) ist nicht rein real. Und die FT dient nur als Beispiel (Fernfeld-Fraunhofer-Beugung). (2) Wie bei jeder anderen Diskussion hier haben Sie die Wörter "so etwas wie" (jetzt in Fettdruck geändert) vor "Wellenfunktion" ignoriert. Ich behaupte nicht, dass es sich um die Art von Wellenfunktion aus nicht-relativistischer QM handelt (was eine asymptotische Annäherung ist, wie es die Newtonsche Mechanik in der klassischen Mechanik ist).
@ValentinAslanyan E ( R , T ) ist real, aber die analytische Darstellung E A ( R , T ) ist komplex. Menschen sind normalerweise schlampig (in Sprache/Notation) und gehen einfach davon aus, dass das Feld und die analytische Darstellung gleichwertig sind, da sie im Allgemeinen austauschbar sind. Beugungsformeln mit Fourier-Transformationen sind einfache (ungefähre) Lösungen der Wellengleichung in Form von Green-Funktionen, die nur die positiven Frequenzlösungen enthalten, und sind daher Formeln zur Berechnung der Ausbreitung E A , nicht E . Aus diesem Grund scheint sogar ein reales Feld bei der Ausbreitung komplex zu werden.

Die Bedeutung des Komplexes E ist, dass es eine Phasendifferenz anzeigt. Das elektrische Feld ist kontinuierlich, Photonen sind Anregungen dieses Feldes (stellen Sie sie sich nicht als Teilchen vor).

Über Wellenfunktionen kann man nur in der Quantenmechanik sprechen, die eine Einzelteilchen-Näherung der vollständigen Quantenfeldtheorie des elektromagnetischen Feldes ist.

Photonen sind Anregungen von A μ in der Quantenfeldtheorie nicht E → .
Ja, du hast Recht, es ändert nichts an meiner Meinung
Sie geben also zu, dass Ihre Antwort einen sachlichen Fehler enthält (der sich jedoch nicht auf den Gesamtpunkt auswirkt), und Sie werden ihn nicht korrigieren? -1.
Ich werde es nicht korrigieren, weil es kein sachlicher Fehler ist, sondern eine Frage der Semantik. Sie könnten quantisieren E ich anstatt A μ , was mühsamer wäre (da die Lorentz-Invarianz seiner Dynamik nicht direkt offensichtlich wäre). Darüber hinaus würden die Maxwell-Gleichungen später zu dem führen, was wir bereits wissen, wenn Sie es hineinschreiben A M . Aber ob Sie das „Photon“ das Quant des „elektrischen“ oder des „elektromagnetischen“ Feldes nennen, ist ebenso bedeutungslos wie die Diskussion, ob eine Wellenfunktion eine Funktion von „Ort“ oder „Ort und Impuls“ ist.

Das sinusförmige E für Licht hat eine Phasenkomponente, die die Summierung vieler EM-Wellen (Photonen) ermöglicht, sodass ein Netto-E-Feld berechenbar ist. Klassischerweise nahm jeder an, dass das Doppelschlitzmuster das Ergebnis der Netto-Null-Summierung und der hellen Flecken bei 2 mal E war, was meiner Meinung nach heute allgemein als falsch angenommen wird. Die Beobachtungen mehrerer Einzelphotonen führen immer noch zu dem "Muster", aber es sollte nicht als Interferenzmuster bezeichnet werden. Das Muster ist ein Ergebnis der verfügbaren Photonenpfade, die die Photonen nehmen, helle Flecken sind gut besetzt und dunkle Flecken nicht.

Die obigen Gleichungen erlauben es, ein Interferenzmuster zu berechnen, wenn man annimmt, dass sich die Photonen ausbreiten und interferieren und dann summiert werden. Was aber meiner Meinung nach benötigt wird, ist eine Formel, die die tatsächlichen Pfade herleitet. Zum Beispiel haben wir Hohlraummoden in Lasern, sie sind ein Ergebnis der Hohlraumabmessungen. Ähnlichkeit Schlitz, Quelle, Schirm haben alle Dimensionen. Vielleicht zeigen die berechneten Moden das richtige Muster in 2 Schlitz "Interferenz" (aber es ist nicht wirklich Interferenz).

Was bedeutet das komplexwertige Feld bei der Beugung?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v