Ich habe kürzlich gehört, dass der Ausdruck logisches Axiom in Bezug auf die Philosophie der Mathematik herumgeworfen wird, und es fällt mir schwer zu verstehen, was man meinen könnte, wenn sie ihn verwenden.
Durch die Verwendung des Wortes logisch bin ich versucht zu glauben, dass jedes Wort, das folgen soll, irgendwie durch eine logische Abfolge von Schritten erhalten wurde.
Wenn ein Axiom etwas ist, das ohne eine logische Abfolge von Schritten als wahr angenommen wird, ist es für mich etwas schwierig zu verstehen, was man damit meint, es als logisch zu bezeichnen.
Ein Axiom ist einfach ein primitiver Satz eines Sprachsystems. Es wird oft in zwei verschiedenen Zusammenhängen verwendet:
Kontext 1. Satz s ist genau dann ein Axiom, wenn ∅ ⊢ s.
Kontext 2. Satz s ist genau dann ein Axiom, wenn ∅ |= s.
Der erste Kontext ist der von syntaktischen Sprachsystemen (dh Beweissystemen). Dort ist die logische Hauptbeziehung die der syntaktischen Konsequenz ( ⊢ ). Ein Satz in solchen Systemen wird als Axiom bezeichnet, nur für den Fall, dass er eine syntaktische Folge der Nullmenge von Prämissen ist.
Der zweite Kontext sind semantische Sprachsysteme. Dort ist die logische Hauptbeziehung die der semantischen Konsequenz ( |= ). Ein Satz in solchen Systemen wird nur dann als Axiom bezeichnet, wenn er eine semantische Konsequenz aus der Nullmenge von Prämissen ist (oder logisch daraus folgt).
Wie David H bereits erwähnte: In diesen beiden Kontexten ist ein Axiom ein Satz, der aus einer Menge anderer Sätze (nämlich: ∅) durch eine Reihe von logischen Schritten (nämlich: 0) folgt . Dies natürlich trivial.
Schließlich könnte im Zusammenhang mit der Philosophie der Mathematik eine bestimmte Reihe von Axiomen „logisch“ genannt werden, einfach um sie von Axiomen zu unterscheiden, die die Verwendung dessen regeln, was wir gewöhnlich als „außerlogische“ Begriffe ansehen. Beispielsweise kann ein Satz von Axiomen für die Aussagenlogik als "logische Axiome" bezeichnet werden, um sie von einem Satz von Axiomen für die Arithmetik oder Mengenlehre zu unterscheiden; diese anderen Sätze von Axiomen können in diesem Zusammenhang dann jeweils als "arithmetische Axiome" und "mengentheoretische Axiome" bezeichnet werden.
Hoffe das hilft. Bei Fragen/Korrekturen hinterlasse bitte einen Kommentar oder bearbeite einfach diesen Beitrag.
Meinen sie nicht nur ein Axiom der Logik im Gegensatz zu einem Axiom von etwas anderem? Das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten ist ein logisches Axiom. Die Peano-Axiome sind Axiome der natürlichen Zahlen. Für alle x, y, xy = yx ist ein Axiom abelscher Gruppen.
Ich würde sagen, was ein Axiom -logisch- macht, ist, dass es keinen bestimmten Gegenstand hat. „Dinge, die dem gleichen Ding gleich sind, sind einander gleich“ ist also ein logisches Axiom; „ein Kreis kann mit jedem Punkt als Mittelpunkt und mit jedem Radius gezeichnet werden“ ist KEIN logisches Axiom, da es geometrische Begriffe zum Gegenstand hat.
In der symbolischen Logik bedeutet dies meines Erachtens Folgendes: Ein logisches Axiom ist universell gültig (dh in allen Modellen wahr), ein nicht-logisches Axiom ist nur in einigen Modellen wahr (insbesondere im beabsichtigten Modell).
David h
Hunan Rostomyan
Josef Weissmann