Was ist „mathematische Logik“? Ist es die Logik des mathematischen Denkens oder ist es die Behauptung, dass Mathematik und Logik identisch sind?
Ist "quantifizierende Logik" auch eine bestimmte Art von "mathematischer Logik"?
(vgl. „ Was ist die philosophische Grundlage für die Unterscheidung von Logik und Mathematik? “)
Der moderne Begriff geht auf George Boole mit seiner Broschüre von 1847 zurück:
mit dem Ziel, mathematische Werkzeuge und Methoden auf das Studium der Logik anzuwenden.
Einen aktuellen historischen Überblick finden Sie unter:
In derselben Broschüre hat Boole auch einen Link mit Sprache gesetzt :
[ Seite 5 ] Die Theorie der Logik ist also eng mit der der Sprache verbunden.
Diese Verbindung war von Anfang an "bereits da": siehe Aristoteles' Kategorien und Leibniz' Calculus Ratiocinator und Lingua Characteristica .
Die Verbindung mit der Sprache unterstützt die grundlegende Unterscheidung zwischen Aussagenkalkül , bei dem das Niveau der „Analyse“ der logischen Struktur der Sprache sehr grob ist und nur die Satzkonnektoren berücksichtigt , und der Quantifizierungstheorie , bei der wir eine „feinkörnigere“ (aber immer noch sehr weit davon entfernt, das Funktionieren natürlicher Sprache im "wirklichen Leben" zu beschreiben) Detailgenauigkeit, basierend auf Quantifizierung .
Die moderne Kodifikation logischer Sprachen hat viele "Väter", aber die offizielle Geburtsstunde ist Gottlob Freges Begriffsschrift ( 1879).
Die moderne mathematische Logik ist auch in einem anderen Sinne "mathematisch": Einige Zweige davon sind einfach mathematische Disziplinen, wie zB Berechenbarkeitstheorie und Konstruktive Mathematik , oder sie sind es
"die Logik des mathematischen Denkens",
wie Modelltheorie und Beweistheorie .
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Es scheint, dass der Name "mathematische Logik" zuerst von Augustus De Morgan in On the syllogism no.III (1858) verwendet wurde , nachgedruckt in:
@Mauro ALLEGRANZA hat mich mit einer hervorragenden Antwort geschlagen, aber da ich das bereits entworfen hatte, hier ist eine andere Einstellung:
Die Antwort ist "weder noch".
Es ist definitiv nicht die Behauptung, dass Mathematik und Logik dasselbe sind. Das zentrale Anliegen der Logik ist in den meisten Fällen der Begriff der logischen Konsequenz und / oder gültigen Schlussfolgerung. Am Anfang von einleitenden Texten findet man häufig entsprechende Worte. Es ist viel schwieriger zu sagen, was das zentrale Anliegen der Mathematik ist. Historisch wurden Begriffe wie Quantität, Größe, Zahl usw. angeboten, aber die Mathematik deckt so viele konzeptionelle Grundlagen ab, dass es schwierig ist, eine Sache herauszugreifen, die allen gemeinsam ist, aber nicht trivial ist. Die logische Konsequenz ist dagegen nicht nur nicht trivial, sie bleibt auch etwas mysteriös. Vergleichen Sie den Begriff der Berechenbarkeit, der mysteriös blieb, bis Turing auftauchte und ein Modell lieferte, das allgemein als sowohl formal als auch intuitiv zufriedenstellend angesehen wird. Das hat noch niemand für den Informellen geschafft,
Beachten Sie, dass es keinen prima facie Grund zu der Annahme gibt, dass unser intuitiver Begriff der logischen Konsequenz irgendetwas mit Mathematik zu tun hat.
Was ist mit "der Logik des mathematischen Denkens"? Mathematisches Denken ist per Definition das, was Mathematiker tun, wenn sie Mathematik „machen“, und es ist informell. Es ist jetzt möglich, formale Beweise für mathematische Ergebnisse zu veröffentlichen, aber fast niemand tut dies und einige halten es für eine schlechte Idee. Mathematische Argumentation mag sehr diszipliniert sein, aber sie ist nicht formal. Die mathematische Logik ist jedoch formal. Man könnte argumentieren, dass ML ein Versuch ist, die informelle Argumentation von arbeitenden Mathematikern formal auszudrücken, aber das ist etwas ganz anderes, als eine "Logik der Mathematik" anzubieten. Letzteres legt (zumindest für mich) einen Erklärungsversuch nahe(in einem formalen System, das selbst ein mathematisches Objekt ist), wie informelles mathematisches Denken funktioniert, was eigentlich ein philosophisches Projekt ist. ML erklärt nichts, es ist nur eine Technologie.
Es kommt auch darauf an, was man unter "Mathematik" versteht. Klassisch oder intuitiv? Die meisten Texte zu ML, auf die ich gestoßen bin, gehen implizit davon aus, dass klassische Mathematik (die auf wahrheitsbedingter Semantik beruht) das einzige Spiel in der Stadt ist, was nicht der Fall ist.
Ich persönlich verstehe mathematische Logik als mathematische Logik: Behandlung logischer Formen als mathematische Objekte, ohne zu behaupten, dass Logik auf Mathematik reduzierbar ist. Es ist also eher ein methodologisches Konzept.
Józef Maria Bocheński, OPs 1959 A Precis of Mathematical Logic definiert "mathematische Logik" auf S. 1:
0,2. Logik und Mathematik . Die mathematische Logik wird wegen ihres Ursprungs „mathematisch“ genannt, da sie speziell mit dem Ziel entwickelt wurde, die Grundlagen dieser Wissenschaft zu untersuchen. Außerdem besteht eine gewisse äußere Ähnlichkeit zwischen ihren Formeln und denen der Mathematik. Einige Logiker behaupten auch, Mathematik sei nur ein Teil der Logik, obwohl diese Meinung weit davon entfernt ist, allgemeine Zustimmung zu finden. Die mathematische Logik betrachtet jedoch weder Zahlen noch Mengen als solche, sondern beliebige Gegenstände.
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Geremia