Was genau ist ein *klassisches* Spin-1/2-Teilchen?

Über Dirac-Spinoren zu sprechen, ist eine Ablenkung; Das klassische Dirac-Feld hat wenig mit einem einzelnen klassischen Teilchen zu tun, genauso wie das klassische Klein-Gordan-Feld nicht viel mit einem einzelnen klassischen spinlosen Teilchen zu tun hat.

Was ist der Unterschied zwischen einem Spinor$\psi_c$das ein klassisches Spin-1/2-Teilchen und einen Spinor beschreibt$\psi_q$was beschreibt ein Quantenspin 1/2 Teilchen?

Da Baez von Quantisierung spricht, beziehen sich seine „klassischen“ und „Quanten“ vermutlich nur auf klassische Mechanik und Quantenmechanik wie üblich. Das heißt, ein klassisches System wird durch eine Konfigurationsraum-Mannigfaltigkeit und eine Lagrange-Funktion oder durch eine symplektische Mannigfaltigkeit und eine Hamilton-Funktion beschrieben. Für ein Quantensystem ist der Zustandsraum stattdessen ein Hilbert-Raum und der Hamilton-Operator ist ein Operator auf diesem Raum.

Ein Quantenspin$1/2$Teilchen hat Hilbert-Raum$\mathbb{C}^2$und lebt in der grundlegenden Darstellung von Rotation$SU(2)$. Die klassische Beschreibung eines Spins$1/2$Teilchen ist nicht annähernd so bekannt, einige Bücher behaupten sogar, dass es absolut unmöglich ist, weil der Spin ein „inhärent Quanten“-Phänomen ist. Solche Aussagen sind jedoch falsch; Der Spin wird nur deshalb historisch mit der Quantenmechanik in Verbindung gebracht, weil beide ungefähr zur gleichen Zeit entdeckt wurden. Zum Beispiel behandelt dieser Artikel das Thema hauptsächlich im Hamiltonschen Formalismus, während Abschnitt 3.3 von Altland und Simons den klassischen Spinor erreicht, indem er ein Pfadintegral für einen Spin konstruiert$1/2$Partikel und unter Annahme der klassischen Grenze.

(Kurz nachdem diese Antwort veröffentlicht wurde, wurde die aufschlussreichere Antwort von knzhou veröffentlicht. Bitte lesen Sie die Antwort von knzhou, um zu klären, was John Baez gemeint hat.)

Im Kontext der Quantentheorie wird das Wort „klassisch“ mit mindestens drei verwandten, aber unterschiedlichen Bedeutungen verwendet:

• Erste Bedeutung: Ein Modell kann als "klassisch" bezeichnet werden, wenn seine Observablen alle miteinander kommutieren und es unter bestimmten Bedingungen eine gute Annäherung an ein bestimmtes Quantenmodell darstellt. Beispiel: "Klassische Elektrodynamik".

• Zweite Bedeutung: Ein Modell kann als "klassisch" bezeichnet werden, wenn seine Observablen alle miteinander kommutieren, unabhängig davon, ob es eine gute Annäherung an ein nützliches Quantenmodell ist oder nicht. Beispiele: „Klassische Yang-Mills-Theorie“ und „kanonische Quantisierung eines klassischen Modells“.

• Dritte Bedeutung: Ein Feld (oder eine andere dynamische Variable) kann "klassisch" genannt werden, wenn es verwendet wird, um die Observablen in einem klassischen Modell zu konstruieren (zweite Bedeutung). Beispiel: Die Integrations-„Variablen“ im QED-Erzeugungsfunktional sind „klassische“ Felder.

Zum Beispiel angesichts der Aktion

$$S\sim \int d^4x\ \overline\psi (i\gamma\partial-e\gamma A)\psi, \tag{1}$$ die damit verbundene Euler-Lagrange-Gleichung$\psi$ist die Dirac-Gleichung. Dies ist ein klassisches Modell (zweite Bedeutung), das ein klassisches Feld (dritte Bedeutung) umfasst. Das klingt widersprüchlich, weil die Dirac-Gleichung oft als Schrödinger-ähnliche Gleichung behandelt wird$\psi$ist die Wellenfunktion, kann aber auch als Heisenberg-Bewegungsgleichung für einen Feldoperator behandelt werden$\psi$, und in diesem Sinne ist das durch (1) definierte Modell "klassisch".

Beispiel 1 im OP zeigt das Generierungsfunktional für QED, das die Form hat

$$\int [d(\text{fields})] \ \exp(iS[\text{fields}] ).$$ Die Aktion$S$im Integranden kann stattdessen als Wirkung eines klassischen Modells (zweite Bedeutung) unter Einbeziehung klassischer Fermionenfelder (dritte Bedeutung) angesehen werden. Die Observablen des Modells beinhalten alle Produkte einer geraden Anzahl dieser Felder, sodass die Observablen gegenseitig pendeln. Damit dies funktioniert, sollten die Fermionenfelder immer miteinander antikommutieren , nicht nur wenn sie räumlich getrennt sind, so wie die Observablen in einem klassischen Modell immer miteinander pendeln sollten , nicht nur wenn sie räumlich getrennt sind.

Beispiel 2 im OP zeigt noch eine weitere Wendung. In diesem Fall sind die Spinoren möglicherweise überhaupt keine Funktionen von Raum oder Zeit; sie sind keine Spinorfelder ( oder dynamische Variablen jeglicher Art). Sie sind nur Spinoren . Dies reicht aus, um Dinge wie die Beziehung zwischen Spinoren und Clifford-Algebra und Dinge wie die Regeln für die Zerlegung reduzierbarer Darstellungen einzuführen.

Übrigens, wenn Leute von klassischen Spinoren oder klassischen Spinorfeldern sprechen, könnten sie entweder Pendler oder Anti-Pendler sein. Diese sind nicht gleichwertig, aber das Wort "klassisch" wird in beiden Fällen verwendet. Dies ist eines dieser Details, die immer aus dem Kontext heraus überprüft werden müssen, wenn man über „klassische Spinoren“ liest, etwa wenn man über Dinge wie Identitäten liest, die Produkte mehrerer Spinorfelder betreffen.

In dieser Frage (die eine der 1755 Fragen und Antworten war, die ich zurückbekam, nachdem ich „classical spin“ in „Search on Physics“ eingegeben und „enter“ gedrückt hatte) kann man lesen:

Gegeben ein klassisches Spin-Modell,

$$H=\mathbf{S}_1\cdot \mathbf{S}_2\tag{1}$$ Wo$\mathbf{S}_i=(\sin\theta_i \cos\phi_i,\sin\theta_i \sin\phi_i,\cos\theta_i), i=1,2$ist der klassische Spin.

$H$ist der klassische Hamiltonoperator.

Im Twitter-Gespräch schreibt Baez:

Der Phasenraum des klassischen Spin-j-Teilchens ist die Kugel mit einer Fläche von 4 pi j. Die 2-Form, die das Flächenelement beschreibt, macht diesen Raum zu einer symplektischen Mannigfaltigkeit.

Knzhou schrieb in seiner Antwort:

Das heißt, ein klassisches System wird durch eine Konfigurationsraum-Mannigfaltigkeit und eine Lagrange-Funktion oder durch eine symplektische Mannigfaltigkeit und eine Hamilton-Funktion beschrieben.

Da wir also einen klassischen Hamilton-Operator (und keinen Hamilton-Operator) und eine symplektische Mannigfaltigkeit haben, schreibt Baez über einen rein klassischen Spin, von dem er auch schreibt:

Aus irgendeinem Grund muss man sich mit geometrischer Quantisierung befassen, um etwas über das klassische Spin-j-Teilchen zu lernen, dessen Quantisierung das bekanntere Quanten-Spin-j-Teilchen ergibt. Ich weiß nicht, warum das nicht breiter diskutiert wird.

Es stellt sich also heraus (sei es im Zusammenhang mit der geometrischen Quantisierung oder nicht), dass im Gegensatz zu dem, was in vielen staubigen Klassenzimmern gelehrt wird (das Warum wird von knzhou sehr gut beschrieben), die klassische Spin-$j$Teilchen existieren und der Spin ist der Quantenmechanik nicht eigen. Baez hat sehr Recht, wenn er schreibt, dass er nicht versteht, warum dies nicht weiter bekannt ist und man geometrische Quantisierung studieren muss, um diesen klassischen Spin-$j$Partikel.

Schießen Sie mich in Flammen nieder, wenn dies völlig vom Kurs abweicht (ich habe das Baez-Material kurz gescannt), aber die Erwähnung von klassischem vs. Quantenspin erinnert mich:

• die Arbeit von Levy LeBlond und die Diskussion darüber, ob Spin ein SR im Gegensatz zum Galilei-relativistischen Effekt ist

• und in jüngerer Zeit sogar ein klassischer (Nicht-Quanten-) Effekt .

• Es gibt auch den früheren SE-Thread Abhängigkeit des Spins von klassischer vs. nicht-klassischer Physik?