Was ist der Unterschied zwischen einem komplexen Skalarfeld und zwei reellen Skalarfeldern?

Question

Was ist der Unterschied zwischen einem komplexen Skalarfeld und zwei reellen Skalarfeldern?

Kostja

Betrachten Sie ein komplexes Skalarfeld $\phi$ mit dem Lagrange:

L = \partial_{μ} ϕ^{†} \partial^{μ} ϕ - m^{2} ϕ^{†} ϕ .

$L = \partial_\mu\phi^\dagger\partial^\mu\phi - m^2 \phi^\dagger\phi.$

Betrachten Sie auch zwei reelle Skalarfelder $\phi_1$ und $\phi_2$ mit dem Lagrange:

L = \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ_{1} \partial^{μ} ϕ_{1} - \frac{1}{2} m^{2} ϕ_{1}^{2} + \frac{1}{2} \partial_{μ} ϕ_{2} \partial^{μ} ϕ_{2} - \frac{1}{2} m^{2} ϕ_{2}^{2} .

$L = \frac12\partial_\mu\phi_1\partial^\mu\phi_1 - \frac12m^2 \phi_1^2 +\frac12\partial_\mu\phi_2\partial^\mu\phi_2 - \frac12m^2 \phi_2^2.$

Sind diese beiden Systeme im Wesentlichen gleich? Wenn nicht - was ist der Unterschied?

QGR

Eigentlich,

ϕ \equiv (ϕ_{1} + i ϕ_{2}) / \sqrt{2}

$\phi \equiv \left( \phi_1 + i \phi_2 \right)/\sqrt{2}$ .

Kostja

Entschuldigung - C-Transformation. Komplexe Konjugation.

QGR

C ist nicht immer eindeutig definiert. Es könnte nicht einmal eine Symmetrie der Theorie sein. Insbesondere für die Freifeldtheorie gibt es oft kein eindeutiges C.

Lubos Motl

Lieber Moshe, QGR hat dir keine andere Lösung gesagt. Er hat Ihre Normalisierung korrigiert. ;-) Kostya stellte die Frage und listete zwei Lagrange auf, die durch die Neudefinition von QGR direkt aufeinander abgebildet werden, nicht auf Ihre. :-)

Lubos Motl

Kostya: der Ladungskonjugationsaustausch

ϕ

$\phi$ mit

ϕ^{†}

$\phi^\dagger$ . Da

ϕ = (ϕ_{1} + i ϕ_{2}) / \sqrt{2}

$\phi=(\phi_1+i\phi_2)/\sqrt{2}$ und

ϕ^{†} = (ϕ_{1} - i ϕ_{2}) / \sqrt{2}

$\phi^\dagger=(\phi_1-i\phi_2)/\sqrt{2}$ , daraus folgt, dass der Austausch von

ϕ

$\phi$ und

ϕ^{†}

$\phi^\dagger$ in diesem Fall ist einfach

ϕ_{2} \to - ϕ_{2}

$\phi_2\to-\phi_2$ während

ϕ_{1}

$\phi_1$ wird fest gehalten. Das sagen wir

ϕ_{1}

$\phi_1$ ist C-selbst während

ϕ_{2}

$\phi_2$ ist C-ungerade. jedoch, wenn

ϕ

$\phi$ unter beliebiger kontinuierlicher Symmetrie aufgeladen wird, wie z

U (1)

$U(1)$ , es wäre dumm, es in zwei Teile zu zerlegen. Die Botschaft, dass die C-Konjugation ad hoc aussehen könnte, ist jedoch vollkommen gültig. C ist keine gottgegebene Symmetrie.

Antworten (5)

Was ist der Unterschied zwischen einem komplexen Skalarfeld und zwei reellen Skalarfeldern?

Eigentlich, $\phi \equiv \left( \phi_1 + i \phi_2 \right)/\sqrt{2}$ .
C ist nicht immer eindeutig definiert. Es könnte nicht einmal eine Symmetrie der Theorie sein. Insbesondere für die Freifeldtheorie gibt es oft kein eindeutiges C.
Lieber Moshe, QGR hat dir keine andere Lösung gesagt. Er hat Ihre Normalisierung korrigiert. ;-) Kostya stellte die Frage und listete zwei Lagrange auf, die durch die Neudefinition von QGR direkt aufeinander abgebildet werden, nicht auf Ihre. :-)
Kostya: der Ladungskonjugationsaustausch $\phi$ mit $\phi^\dagger$ . Da $\phi=(\phi_1+i\phi_2)/\sqrt{2}$ und $\phi^\dagger=(\phi_1-i\phi_2)/\sqrt{2}$ , daraus folgt, dass der Austausch von $\phi$ und $\phi^\dagger$ in diesem Fall ist einfach $\phi_2\to-\phi_2$ während $\phi_1$ wird fest gehalten. Das sagen wir $\phi_1$ ist C-selbst während $\phi_2$ ist C-ungerade. jedoch, wenn $\phi$ unter beliebiger kontinuierlicher Symmetrie aufgeladen wird, wie z $U(1)$ , es wäre dumm, es in zwei Teile zu zerlegen. Die Botschaft, dass die C-Konjugation ad hoc aussehen könnte, ist jedoch vollkommen gültig. C ist keine gottgegebene Symmetrie.

Pho · Answer 1

Hier gibt es einige dumme Antworten, mit Ausnahme von QGR, der richtigerweise sagt, dass sie identisch sind. Die beiden Lagrangians sind isomorph, die Felder wurden nur umbenannt. Also alles, was Sie mit dem einen tun können, können Sie auch mit dem anderen tun. Die erste hat sich manifestiert $U(1)$ globale Symmetrie, das zweite Manifest $SO(2)$ aber diese beiden Lie-Algebren sind isomorph. Wenn Sie eine der beiden globalen Symmetrien messen möchten, können Sie dies auf die naheliegende Weise tun. Sie können einen komplexen Skalar verwenden, um ein einzelnes geladenes Feld darzustellen, aber Sie können ihn auch verwenden, um zwei echte neutrale Felder darzustellen. Wenn Sie nicht mit anderen Feldern so koppeln, dass Sie die Ladung messen können, gibt es keinen Unterschied.

Die Normierungsbedingungen für ein Teilchenfeld unterscheiden sich von denen für zwei unabhängige andere. Außerdem, wenn die neutralen Skalare unterschiedlich sind (in einer anderen Quantenzahl als Masse), können Sie ihre Überlagerung nicht machen (kein SU (2)). U(1) nimmt eine solche Überlagerung an.

QGR · Answer 2

Sie sind identisch. Typischerweise verwenden wir komplexe Felder, wenn wir a haben $U(1)$ Symmetrie oder eine kompliziertere Eichgruppe mit komplexen Darstellungen.

Übrigens gilt die gleiche Bemerkung, ob wir Majorana-Spinoren oder Weyl-Spinoren verwenden.

Ich dachte, die Massenterme seien für Majorana- und Weyl-Spinoren unterschiedlich – insbesondere könnten wir linkshändige Neutrinos mit Antineutrinos identifizieren, wenn die Neutrinomassen Majorana-Massen wären, während es bei Weyl-Massen notwendig wäre, dass es sterile Neutrinos gibt .
@ Jerry; Sie verwechseln Dirac-Massen mit Weyl-Massen. Eine Weyl-Masse ist dasselbe wie eine Majorana-Masse in 4d.

Wladimir Kalitwjanski · Answer 3

Wladimir Kalitwjanski

Ein komplexes Skalarfeld stellt ein einzelnes geladenes Teilchen dar, während zwei echte Skalarfelder zwei unabhängige neutrale Teilchen darstellen können . Der Unterschied ist leicht festzustellen, während physikalische Anfangs-, Rand- und / oder Normierungsbedingungen auferlegt werden, die im Wesentlichen davon abhängen, was Sie beschreiben - ein geladenes oder zwei verschiedene neutrale Teilchen. Zwei unabhängige neutrale Skalare gehorchen keinem Superpositionsprinzip, man kann sie nicht in einem Feld mischen.

Benutzer346

Das ist eine großartige Beobachtung. +1

Wladimir Kalitwjanski

Ich habe -2 für meine Erklärung. Würden Sie bitte so freundlich sein, darauf hinzuweisen, wo ich falsch liege?

Karl Brannen

Interessant. Sie sagen im Wesentlichen etwas ganz Ähnliches wie Dr. Motl in den Kommentaren gesagt hat.

Wladimir Kalitwjanski

Ich weiß nicht. Er veröffentlichte seine Kommentare zwei Stunden später.

Lubos Motl

Es ist nicht wahr, dass sich die beiden Arten, das komplexe Feld zu beschreiben, in der Fähigkeit zur Interferenz unterscheiden. Die beiden Ausdrücke sind völlig äquivalent. Geladene Teilchen müssen Anregungen komplexer Felder sein, aber das ist eine ganz andere Frage als Interferenz. Ähnlich wie

ϕ1 $\phi_1$ und

ϕ2 $\phi_2$ stören sich nicht gegenseitig,

ϕ $\phi$ und

ϕ† $\phi^\dagger$ stören sich nicht gegenseitig. Es ist dasselbe, nur eine andere Grundlage.

Wladimir Kalitwjanski

Ich stimme zu, dass ein geladenes Teilchen mit einem komplexen Feld beschrieben wird

ϕ $\phi$ die in zwei reelle Komponenten wie zerlegt wird

ϕ1+ ichϕ2 $\phi_1 + i\phi_2$ . Ich bin nicht der Meinung, dass zwei neutrale unabhängige Teilchen ein geladenes beschreiben.

Wladimir Kalitwjanski

Liebe Downvoter, sagen Sie mir bitte, wo ich falsch liege. Ich würde gerne lernen.

Michael

Sie irren sich, dass es einen Unterschied gibt, weil die Lagrangians auf der grundlegendsten mathematischen Ebene durch die Einstellung genau gleich sind

ϕ =ϕ1+ ichϕ2 $\phi=\phi_1+i\phi_2$ , was der ganz allgemeine Ausdruck für dieses komplexe Skalarfeld in Bezug auf reelle Skalarfelder ist

Wladimir Kalitwjanski

@Michael: Lies meine Antwort sorgfältig durch und denke darüber nach.

Michael

Ich bin anderer Meinung, weil es in keiner Weise einen mathematischen Unterschied gibt und sie daher genau dasselbe beschreiben. Nehmen Sie die folgenden zwei Aufgaben: 1.a x+b=c lösen für x und 2.a y+b=c lösen für y. Mathematisch sind sie gleich, wenn sie eine gerade Linie beschreiben. Die Lösungen sind die gleichen. Zu argumentieren, dass sich die beiden reellen Skalarfelder aus den oben genannten Gründen von einem komplexen Skalarfeld unterscheiden, ist dasselbe wie zu argumentieren, dass die beiden Beispielgleichungen, die ich geschrieben habe, unterschiedlich sind, weil in der einen y und in der anderen x enthalten ist. Verdeutlicht dies das Problem?

Wladimir Kalitwjanski

@Michael: Nein, tut es nicht. Wenn ich zwei verschiedene Skalarfelder nehme, die verschiedene Teilchen beschreiben, darf ich keine Superposition machen. Superselektionsregeln verbieten das. Sie machen keine Überlagerung von Elektron und Proton, oder?

Michael

Dies ist ein Missverständnis, dem Sie folgen, und ich glaube, ich habe Ihr Missverständnis herausgefunden, und es hat in keiner Weise mit Einmischung zu tun. Sicher verhalten sich zwei komplexe Felder anders als zwei reelle, weil sie 4 reellen entsprechen. Aber hier sprechen sie von zwei wirklich wertvollen Feldern, die mathematisch und damit in der Phänomenologie genau dasselbe sind wie ein Komplex. Jedes komplexe Feld kann in zwei reelle zerlegt werden. Dies ist der Grund, warum Sie für das komplexe Klein-Gordon-Feld bei der Quantisierung mit Erzeugungsoperatoren für zwei verschiedene Arten enden. Klärt das auf?

Wladimir Kalitwjanski

@Michael: Nein. Ihr "mathematisch" unterscheidet sich von meinem "mathematisch" aufgrund ganz anderer "Randbedingungen", die von mir impliziert werden. Zum Beispiel bei einem Problem, bei dem ein neutrales Teilchen fehlt und ein anderes gestreut wird oder mit etwas anderem interagiert.

Michael

Ein komplexes Feld erweitern

ψ $\psi$ indem man es in Form von zwei reellen Feldern schreibt

ψ =ψ1+ ichψ2 $\psi=\psi_1+i\psi_2$ ändert weder die Randbedingungen noch irgendetwas anderes und ist auf der grundlegendsten Ebene ein einfaches Umschreiben. Es gibt einfach keine andere Möglichkeit, es zu drehen. Bitte beachten Sie, dass Randbedingungen für Ihre Felder erst eingeführt werden müssen, nachdem Sie Ihre Feldgleichungen aufgeschrieben und versucht haben, sie zu lösen. Diese Randbedingungen können dann frei nach Ihren Bedürfnissen gewählt werden. Wenn Sie beispielsweise Felder auf einen Container beschränkt haben, möchten Sie möglicherweise, dass die Felder an der Innenwand des Containers usw. verschwinden.

Wladimir Kalitwjanski

@Michael: Ja, es gibt eine andere Möglichkeit, "es zu drehen", wenn Sie möchten, zum Beispiel:

ψ = aψ1+ bψ2 $\psi=a\psi_1+b\psi_2$ , wo

a $a$ und

b $b$ sind unabhängige komplexe Zahlen. Aber ich sehe darin keinen Sinn

ψ $\psi$ .

Andreas Steane

Ich habe gerade dieses Gespräch gelesen; Ich bemerke, dass Michael immer wieder auf das komplexe Feld zurückkehrt. Aber es wird nicht bestritten, dass ein komplexes Feld als Paar von reellen behandelt werden kann. Umstritten ist, ob die Lagrange-Funktion allein die Physik diktiert oder nicht, und ob Sie also zwei reale Felder haben, deren Lagrange-Funktion die eines einzelnen komplexen Felds abbildet, es läuft auf dieselbe Physik hinaus. Vladimir sagt, dass die Lagrange-Funktion allein nicht die ganze Physik diktiert. Ob er Recht hat oder nicht, das ist die Frage, die man sich stellen muss.

Wladimir Kalitwjanski

Wie ich in meiner Antwort sagte, hängt vieles von den Rand- und Anfangsbedingungen ab.

Andreas Steane

Ja, und ich stimme Ihnen zu.

unendlichnull

Sehr spät zur Party, aber ich denke, das Problem hier ist das

ψ =ψ1+ ichψ2 $\psi=\psi_1+i \psi_2$ gilt nur, wenn alle Quantenzahlen von psi gleich denen von sind

ψ1ein n dψ2 $\psi_1 and \psi_2$ . Michael nimmt dies implizit an, während Vladimir sagt, dass dies nicht selbstverständlich ist. Allgemeiner

ψ (q1, . . . ,qn) =ψ1(r1, . . . ,rn) + ichψ2(s1, . . . ,sn) $\psi(q_1,...,q_n) = \psi_1(r_1,...,r_n) + i \psi_2(s_1,...,s_n)$ nur wenn

qich=rich=sich $q_i = r_i = s_i$ . Während es immer möglich ist, zu dekonstruieren

ψ (q1, . . .qn) =ψ1(q1, . . . ,qn) + ichψ2(q1, . . . ,qn) $\psi(q_1,...q_n) = \psi_1(q_1,...,q_n) + i \psi_2(q_1,...,q_n)$ Dies fällt für die andere Richtung klar auseinander, wenn der zweite Lagrangian im OP einen Unterschied zwischen den Massen machen würde.

Tanja Robens · Answer 4

Tanja Robens

sie sind physikalisch gleichwertig und können ineinander abgebildet werden.

stafusa

Hallo und willkommen bei der Physics SE! Bitte beachten Sie, dass Sie versuchen sollten , vollständigere Antworten zu schreiben, zumindest wenn andere Antworten, wie z .

Benutzer43442 · Answer 5

Ich denke, der freie Lagrangeian allein gibt den physischen Inhalt nicht wieder. Wir können auch alternativ vertreten $\phi = \phi_0 \exp(i \theta)$ . Dann haben wir

L = \frac{1}{2} \partial^{μ} ϕ_{0} \partial_{μ} ϕ_{0} + m^{2} ϕ_{0}^{2} + \frac{1}{2} \partial^{μ} θ \partial_{μ} θ

$L = { 1 \over 2} \partial^\mu \phi_0 \partial_\mu \phi_0 + m^2 \phi_0^2 + {1 \over 2} \partial^\mu \theta \partial_\mu \theta$ Hier können wir auch fragen, ob wir ein geladenes massives Feld oder ein massives neutrales Feld und ein masseloses Feld haben. Um den Feldinhalt zu bestimmen, muss man das Skalarfeld mit dem Vektorfeld oder Spinorfeld koppeln. Die komplexe skalare Darstellung kann eine Kopplung mit dem Vektor-Eichfeld haben, während die zwei reelle skalare Darstellung keine hat. Jetzt habe ich eine andere Frage: Wenn wir ein komplexes Skalarfeld mit einem Dirac-Spinor koppeln wollen, wie können wir aus den beiden folgenden wählen

L_{1} = \bar{ψ} (ϕ^{†} + ϕ) ψ

$L_1 = \bar \psi (\phi^\dagger + \phi) \psi$ oder alternativ

L_{2} = ich \bar{ψ} (ϕ^{†} - ϕ) ψ

$L_2 = i \bar \psi (\phi^\dagger - \phi) \psi$ Und was ist die physikalische Bedeutung der beiden oben genannten Wechselwirkungen?

Ihr Lagrange in Polarkoordinaten stimmt nicht, Sie brauchen a $\rho^2$ vor dem $\theta$ kinetischer Begriff. Es muss sich von dem unterscheiden, was Sie geschrieben haben, da das Spektrum nicht von der Wahl der Felder abhängt.

Was ist der Unterschied zwischen einem komplexen Skalarfeld und zwei reellen Skalarfeldern?

Kostja

QGR

Kostja

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