Was ist der Unterschied zwischen „reductio ad absurdum“ und „Widerspruchsbeweis“?

Was ist der genaue Unterschied zwischen reductio ad absurdum und Beweis durch Widerspruch ?

Wikipedia hat dazu früher gesagt:

Die Reductio ad absurdum (lateinisch: „Reduktion aufs Absurde“) ist eine Argumentationsform, bei der eine Behauptung widerlegt wird, indem ihre Implikationen logisch zu einer absurden Konsequenz verfolgt werden.

Als ich das las, dachte ich sofort: "Ah, das ist Beweis durch Widerspruch...". Allerdings geht es so weiter:

Eine übliche Art der reductio ad absurdum ist der Beweis durch Widerspruch (auch indirekter Beweis genannt), bei dem eine Aussage als wahr bewiesen wird, indem bewiesen wird, dass sie unmöglich falsch sein kann.

Ich nehme an, es gibt einen subtilen Unterschied zwischen ihnen, der im Artikel nicht klar erklärt wird. Was genau ist dieser feine Unterschied? Wie hängen die beiden Strategien zusammen und wie unterscheiden sie sich?

Dieses Zitat aus Wikipedia dient, fürchte ich, dazu, die These zu untermauern, dass Wikipedia keine besonders gute Quelle für Philosophie ist.
@vanden: Das ist ein ziemlich guter Aufruf, und ich denke, es ist seltsam, weil Logik normalerweise sehr gut abgedeckt wird.
Verwandter Beitrag auf der Mathe-Website: math.stackexchange.com/questions/240/… , und siehe auch mathoverflow.net/questions/12342/…
Dies ist eine alte Frage, und Wikipedia hat sich ziemlich verändert, seit Sie sie geschrieben haben. Es ist erwähnenswert, dass der führende Teil der Wikipedia-Seite dies jetzt ziemlich gut erklärt: Als informelle Argumentationsmethode ist die "Absurdität", auf die man sich reduziert, möglicherweise kein logischer Widerspruch, sondern etwas, das im Widerspruch zur beobachteten Realität steht, oder einfach intuitiv unvernünftig.
Wikipedia wie SE kann im Laufe der Zeit wachsen und hat einige dieser Sprachen korrigiert (immer noch eine große Frage, da die vorherige Sprache ein häufiges Missverständnis ist).
Was die Wikipedia zu sagen scheint – besser nie sicher zu sein, wenn das Thema Weakpedia ist – ist, dass die Reduktion ad absurdum zu beweisen ist, dass P falsch ist, weil es logischerweise zu absurden Konsequenzen führt; und dieser Beweis durch Widerspruch soll beweisen, dass P wahr ist, weil ¬P zu absurden Konsequenzen führt. Kurz gesagt wäre der Beweis durch Widerspruch die ad absurdum geführte Reduktion nicht eines gegebenen Satzes, sondern der Negation eines gegebenen Satzes.

Antworten (2)

Hier gibt es eine gewisse Instabilität in der Terminologie. Viele Autoren verwenden Reductio Ad Absurdum (RAA) im Sinne von Widerspruchsbeweis und indirektem Beweis. Sorgfältigere Autoren unterscheiden sie, indem sie sowohl RAA als auch indirekten Beweis als eine Art Beweis durch Widerspruch ansehen.

Im Folgenden verwende ich P und Q für propositionale Metavariablen, ∧ für Konjunktion, ∨ für Disjunktion und ¬ für Negationen. (Ich wünsche mir LaTeX!)

RAA fährt fort, indem sie eine Proposition P annimmt, auf dieser Basis einen Widerspruch wie Q ∧ ¬Q herleitet und, nachdem sie P ad absurdum geführt hat, ¬P folgert. Im Kontext eines natürlichen Deduktionsbeweissystems für Logik mit Einführungs- und Eliminierungsregeln für jedes Konnektiv ist dies die ¬-Einführung.

Der indirekte Beweis ist die sehr ähnliche Beweismethode, bei der man ¬P annimmt, einen Widerspruch wie Q ∧ ¬Q ableitet und dann folgert, dass P. In der eben erwähnten Art natürlicher Deduktionsdarstellung ist dies die Regel der ¬-Elimination.

Es lohnt sich sehr, diese beiden Prinzipien zu unterscheiden. Nimmt man ein klassisches aussagenlogisches natürliches Deduktionsbeweissystem mit Einführungs- und Eliminationsregeln für jedes Konnektiv und entfernt ¬-Eliminierung, so ergibt sich eine intuitionistische Logik. Diese Logik wird häufiger als durch die Leugnung des Gesetzes des ausgeschlossenen Dritten (P ∨ ¬P) gekennzeichnet angesehen, aber die beiden Charakterisierungen sind für die Aussagenlogik äquivalent.

Die intuitionistische Logik ist eine der am besten untersuchten und ältesten nichtklassischen Logiken und eine, die in vielen Debatten der Metaphysik eine herausragende Rolle spielt.

@loudandclear: Es hängt nicht viel davon ab, aber ich habe mich in diesem Fall wirklich bewusst für '~' statt '¬' entschieden. Obwohl es viele Konventionen gibt, verwenden hier viele Leute '~' für klassische (wahrheitsfunktionale) Negationen und '¬' für intuitionistische (und andere konstruktive Logik) Negationen. Im Allgemeinen werde ich die Symbole verwenden, die auf der Tastatur leicht verfügbar sind. Wenn Sie und andere sie ändern möchten, ist das in Ordnung :)
Interessant. Ich habe die Bearbeitung genehmigt, ohne diesen Unterschied zu kennen. Ich bin kein Student der formalen Logik (ganz im Gegenteil), aber das ist gut zu wissen.
In mathematisch-logischen Kreisen ist es sehr üblich, ¬ für die Negation im Kontext der klassischen Logik zu verwenden, daher ist diese Verwendung sicherlich nicht falsch; Tatsächlich wird es meiner Erfahrung nach viel häufiger verwendet als ~. Aber natürlich entsteht die Notwendigkeit, die Symbole zu unterscheiden, nur in der nichtklassischen Logik, wo ich mir vorstelle, dass solche Konventionen existieren.
Kurz gesagt, bei RAA nehmen Sie an Pund schließen not P, und beim indirekten Beweis nehmen Sie an not Pund schließen P, und beides sind Methoden, um einen Beweis durch Widerspruch zu führen?

Es gibt verschiedene Arten von absurden Konsequenzen (Absurditäten). Die beiden wichtigsten sind Paare widersprüchlicher und gegensätzlicher Aussagen. Der Widerspruchsbeweis trifft auf die erste Art von Absurdität. Siehe das Quadrat der Opposition aus der syllogistischen Logik für mehr dazu.

Was ist der Unterschied zwischen „reductio ad absurdum“ und „Widerspruchsbeweis“?
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