Was ist der Unterschied zwischen reellem Orbital und komplexem Orbital?

Um zu verstehen, was diese Orbitale sind, müssen Sie zuerst den Begriff der Überlagerung in der Quantenmechanik verstehen. In der regulären klassischen Physik muss sich ein Teilchen oder ein System in einem bestimmten Zustand befinden. Ein Auto befindet sich an einer bestimmten Kilometermarke auf einer Autobahn und bewegt sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit. Der Mond umkreist die Erde mit einer bestimmten Geschwindigkeit auf einem bestimmten Radius. Katzen sind entweder lebendig oder tot.

In der Quantenmechanik hingegen stellen wir fest, dass Teilchen und Systeme diese eindeutigen Eigenschaften nicht mehr unbedingt haben; vielmehr können sie gleichzeitig in mehreren verschiedenen Zuständen existieren. Das berühmte Beispiel dafür ist natürlich Schrödingers Katze, die (nach einer Halbwertszeit ihres radioaktiven Mitbewohners) weder vollständig lebendig noch vollständig tot ist, sondern eine seltsame Kombination aus beidem. Während wir Schwierigkeiten haben, uns das direkt vorzustellen (oder zumindest tue ich es), ist es ziemlich einfach, diesen seltsamen Zustand der Katze mathematisch zu beschreiben. Wir verwenden einen abstrakten Vektorraum, definieren eine "Richtung" in diesem Vektorraum, um "lebendig" zu entsprechen, und die Richtung im rechten Winkel zu "lebendig", um "tot" zu entsprechen. Nennen Sie diese Vektoren$\vec{a}$Und$\vec{d}$, bzw. Der Zustand der Katze nach einer Halbwertszeit ist dann mathematisch ausdrückbar als

$$\frac{1}{\sqrt{2}} (\vec{a} + \vec{d}).$$ Der Faktor von $1/\sqrt{2}$liegt daran, dass die den Vektoren entsprechenden Zustände Einheitsvektoren sein müssen (oder genauer gesagt, sie können als Einheitsvektoren angesehen werden). Zustand noch im "toten" Zustand; vielmehr ist es eine seltsame Kombination aus beidem.

Was hat das mit Orbitalen zu tun? Nun, wenn wir die Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom lösen, stellen wir fest, dass die zulässigen Wellenfunktionen des Elektrons durch drei Quantenzahlen parametrisiert sind:$n$,$l$(was zwischen 0 und$n$), Und$m$(was zwischen$-l$Und$+l$.) Wir können diese Wellenfunktionen schreiben als so etwas wie

$$\psi_{n,l,m} (\vec{r}).$$ Was mehr ist, es passiert, dass für eine gegebene $n$Und $l$, die Wellenfunktionen mit Gegenteil $m$Werte sind komplexe Konjugierte voneinander: $$\psi_{n,l,-m} (\vec{r}) = \psi^*_{n,l,m} (\vec{r})$$

Das ist alles schön und gut, aber was ist, wenn wir eine reellwertige Wellenfunktion wollen? Nehmen wir zum Beispiel die Menge der Wellenfunktionen mit$n = 2$Und$l= 1$. Nach obiger Logik$\psi_{2,1,0}$ist sein eigenes komplexes Konjugat; es ist also schon reell bewertet. Nennen wir diese Wellenfunktion$p_z(\vec{r})$. Die anderen beiden Wellenfunktionen$\psi_{2,1,1}$Und$\psi_{2,1,-1}$sind leider komplexwertig. Wir können jedoch die folgenden zwei Kombinationen dieser Wellenfunktionen schreiben:

$$p_x(\vec{r}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\psi_{2,1,1} + \psi_{2,1,-1}) \qquad p_y(\vec{r}) = \frac{1}{\sqrt{2}i}(\psi_{2,1,1} - \psi_{2,1,-1})$$ Diese beiden Größen sind real (Sie sollten dies überprüfen, um sich davon zu überzeugen, dass dies wahr ist). Wenn sich das Elektron also in einer dieser Überlagerungen befindet, können wir seine Wellenfunktion als vollständig reellwertig annehmen. In beiden Fällen hat das Elektron aber keine Eindeutigkeit mehr $m$Wert; vielmehr ist es teilweise in der $m = +1$Zustand und teilweise in der $m = -1$Zustand, weil es sich in einer Überlagerung dieser definitiven Zustände befindet $m$(so wie sich Schrödingers Katze nicht vollständig im Zustand „lebendig“ oder „tot“ befindet.)

Ich beschönige hier natürlich eine Menge Subtilität und Mehrdeutigkeit, aber hoffentlich erklärt dies, was mit diesen echten Orbitalen los ist und warum sie als Summen der komplexen Orbitale geschrieben werden können.