Was ist die Etymologie des Begriffs „Wellenfunktion“?

Frage: Wenn die Wellenfunktion ψ → 0 (punktweise oder gleichmäßig im Mittelwert), dann tut | ψ | 2 konvergieren im quadratischen Mittel (d.h. in L 2 ) Zu 0 ?

Ist dies die Quelle des Begriffs "Wellenfunktion"?

(Da die Energie einer Welle proportional zum Quadrat ihrer Amplitude ist, geht also, wenn die erwartete Energie einer Welle auf Null geht, ihre Ensemble-Amplitude im quadratischen Mittel auf Null. Ebenso, wenn die Erwartung einer Wellenfunktion zu geht null, dann fällt seine Wahrscheinlichkeitsdichte auf null ab L 2 /quadratischer Mittelwert. Und die Wellenfunktion soll etwas mit Energie zu tun haben, daher hat ihre Quadratintegrierbarkeit etwas damit zu tun, dass sie endliche Energie hat, und ist daher in gewissem Sinne mit einer Elementarwelle verwandt.)

Hinweis: Dies ist eine Fortsetzung meiner vorherigen Frage: Nimmt die Amplitude von Wellen und Schwingungen, die Energie verbrauchen, im mittleren Quadrat ab?

Ich bin mir nicht sicher, was Sie mit Ihrer "technischen" Frage meinen - wenn die Funktion auf Null geht, dann ja, sie ist quadratisch und das Integral ihres Quadrats geht auch auf Null. Was hat das damit zu tun, dass es eine "Wellenfunktion" genannt wird?
@ACuriousMind Ich bezweifle, dass es ein gutes Argument für meine Position gibt, ich habe nur darüber nachgedacht, wie wir in der Fourier-Analyse mit Konvergenz arbeiten L 2 statt gleichmäßig oder punktweise, und das macht Analysten normalerweise traurig, aber wenn wir uns die Funktionen (z. B. Sinuswellen oder Wavelets) als Diagramme der Amplitude von Wellen vorstellen, dann die Tatsache, dass sie konvergieren L 2 bedeutet, dass ihre "Energie" punktweise gegen Null konvergiert, was eigentlich ein sehr natürlicher Zustand ist. Also habe ich mich gefragt, ob ich richtig war, Analogien zwischen der Fourier-Analyse, physikalischen Wellen und Wellenfunktionen zu ziehen.
Die Titelfrage (v3) scheint sich von der ersten Frage im Hauptteil zu unterscheiden.

Antworten (1)

Die Verbindung zwischen Wellenfunktionen und Wellen ist viel grundlegender als das. Die Quantenwellenfunktion ψ ( X ) hat viel mit der Amplitude einer klassischen Welle gemeinsam. Betrachten wir zur Konkretheit die Höhe j ( X ) einer Welle an einer Schnur irgendwann T .

  • Die Bewegungsgleichungen für ψ ( X ) Und j ( X ) sind beide Wellengleichungen, dh sie lassen beide Wanderwellenlösungen zu e ich ( k X − ω ( k ) T ) . Der einzige Unterschied ist die Dispersionsrelation ω ( k ) .
  • Die Bewegungsgleichungen für beide Wellenarten sind linear. Dies impliziert, dass sowohl Wellenfunktionen als auch Saitenwellen konstruktive oder destruktive Interferenz aufweisen können.
  • Bei festen Randbedingungen beides ψ ( X ) Und j ( X ) haben Stehwellenlösungen mit quantisierten Frequenzen/Energien ω .
  • Die Dichte des 'Zeugs' in der Welle ist proportional zu | ψ ( X ) | 2 (Wahrscheinlichkeit) und zu j ( X ) 2 (Energie).

Dieser letzte Punkt ist das, was Sie gefunden haben, nur in einfacheren Worten ausgedrückt. Physikalische Welle(funktionen) müssen sein L 2 Funktionen, da die Wahrscheinlichkeit normiert bzw. die Energie endlich sein muss.

Ich kann Ihre Antwort in einer Minute akzeptieren. So stellt der Zerfall einer Wellenfunktion oder einer Welle Beispiele dar L 2 Konvergenz im wirklichen Leben? Das verwirrt mich im Moment am meisten.
@William Ja, das ist sicherlich ein Beispiel. (Eine möglicherweise verwirrende Sache ist, dass wir sehr oft über Wellen(funktionen) sprechen, die nicht konvergieren L 2 , wie ebene Wellen. Aber das ist nur der Bequemlichkeit halber; solche Wellen(funktionen) existieren eigentlich nicht.)
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