Was ist die Interpretation des elektromagnetischen Tensors?

Wenn Sie bereits elektrische und magnetische Felder untersucht haben, wissen Sie, dass sie mit Kräften auf geladene Teilchen zusammenhängen. Betrachtet man jedoch, wie das elektromagnetische Feld$F$mit Ladungen interagiert, um Kräfte zu erzeugen, sehen Sie, wie sich die Metrik einmischt. Die Metrik ist also für das Feld als etwas, das Kräfte ausübt, wesentlich, was die eigentliche Definition ist.

Es gibt einen Zweig der Mathematik, der höherrangige Objekte und Metriken zusammenfasst, er heißt Clifford-Algebra. Und soweit ich weiß, ist es der einzige bekannte Weg, um relativistische Quantenmechanik zu betreiben, also ist es unvermeidlich, Sie müssen es irgendwann lernen.

Und dann gibt es eine bestimmte angewandte Version namens geometrische Algebra (oder geometrisches Kalkül), bei der Sie zusätzliche Produkte aus dem Original machen, um sowohl die Geometrie als auch die Metrik zu respektieren.

In dieser Einstellung müssen Sie nur mit einer orthonormalen Basis beginnen, z. B. vier Vektoren,$e_0=\hat t,$ $e_1=\hat x,$ $e_2=\hat y,$Und$e_3=\hat z.$Dann behauptest du das$e_ie_j+e_je_i=\pm 2\delta_{ij},$Wo$\delta_{ij}$ist das Kronecker-Delta und$-e_0e_0$=$-1$=$e_1e_1$=$e_2e_2$=$e_3e_3.$Also orthogonale Vektoren antikommutieren. Dann können Sie eine assoziative und distributive Algebra erstellen, indem Sie den Raum von Linearkombinationen von Produkten von Vektoren nehmen. Also zum Beispiel$3e_0e_0+4e_2+5e_1e_3+6e_1e_2e_3+7e_0e_1e_2e_3$ist eine Linearkombination von Produkten von Vektoren. Als Algebra ist es genau wie die Dirac-Algebra (oder Sie könnten mit Objekten wie beginnen$e_0e_1,$ $e_0e_2,$Und$e_0e_3$und beachten Sie, dass sie quadratisch zu 1 und antikommutieren, sodass lineare Kombinationen von Produkten von dann identisch sind ... als Algebra ... mit der Pauli-Algebra), aber Sie müssen keine Darstellung auswählen, da es kein Gesetz gibt, das besagt, ob Sie eine Algebra haben, müssen Sie eine Darstellung auswählen.

Jetzt können Sie eine beliebige Linearkombination der ursprünglichen Vektoren als Vektor definieren$v=\alpha e_0+\beta e_1 +\gamma e_2+\delta e_3.$Und um daraus mehr als eine Clifford-Algebra zu machen, können wir zusätzliche Produkte definieren, zum Beispiel für Vektoren$v$Und$w$kannst du definieren$v\cdot w=\frac{1}{2}(vw+wv)$was am Ende ein Skalar und ist$v\wedge w=\frac{1}{2}(vw-wv)$Dies ist ein Bivektor (lineare Kombination von Produkten zweier orthogonaler Vektoren). Und beide Operationen können verallgemeinert werden.

Die Verallgemeinerung kommt von einer linearen Involution, die jeden Vektor zu seinem Negativ schickt$v\mapsto \overline v=-v$und versendet ein Produkt per$\overline{AB}=\overline A \quad \overline B$insbesondere sendet es ein Produkt einer ungeraden Anzahl von Vektoren an sein Negativ und ein Produkt einer geraden Anzahl von Vektoren an sich selbst. Dann für Vektoren$a$und ein allgemeines Objekt$A$der Algebra (als Multivektor bezeichnet, da es sich um eine Linearkombination von Produkten von Vektoren handelt), die Sie definieren können

$$a\rfloor A =\frac{1}{2}\left(aA-\overline Aa\right)$$ Und

$$a\wedge A =\frac{1}{2}\left(aA+\overline Aa\right).$$

Es ist also wirklich nur das symmetrische (oder antisymmetrische) Produkt auf ungeraden (oder geraden) Objekten. Und dann können wir es auf alle Objekte ausdehnen, indem wir sagen, es ist linear und via

$$(A\wedge B)\rfloor C=A\rfloor(B\rfloor C)$$ Und

$$(A\wedge B)\wedge C=A\wedge(B\wedge C).$$

Der Keil ist assoziativ, genau wie das ursprüngliche Produkt und für orthogonale Vektoren$v$Und$w$du erhältst$vw=v\wedge w$Die Kenntnis dieser Regeln für Keilprodukte sagt uns also, wie sie bei jedem Objekt funktionieren.

Wissen Sie also, dass wir Objekte haben, die multilinear sind, und berücksichtigen Sie die Metrik. Wir sind gezwungen, sie für die relativistische Quantenmechanik zu verwenden, können sie aber auch für den Elektromagnetismus und/oder die klassische Mechanik verwenden, wenn wir wollen. Sie sind genau das, was Sie brauchen, um das elektromagnetische Feld geometrisch mit Kräften in Beziehung zu setzen, die geladene Teilchen spüren.

Und beachten Sie, dass Sie zwei assoziative Produkte haben (die ursprünglichen Produkte, die die Metrik berücksichtigt haben, und das Keilprodukt, das sie ignoriert) und wenn Sie die Objekte (die linearen Kombinationen von Produkten von Vektoren) nehmen, können die Objekte auf der Grundlage von geschrieben werden Keilprodukte orthogonaler Vektoren oder auf der Basis von Produkten orthogonaler Vektoren. Und wenn Sie nur das Keilprodukt (von den beiden verfügbaren assoziativen Produkten) verwenden, erhalten Sie etwas, das als Algebra genau wie Formen aussieht, sodass jede Form, die Sie sich vorstellen, stattdessen ein Multivektor sein kann.

Wenn Sie also mit Multivektoren beginnen, können Sie Dinge wie Formulare erhalten, aber Sie haben zusätzliche Produkte. Wenn Sie mit Formularen begonnen hätten, müssten Sie eine Metrik hinzufügen, und dann wäre die Kraft eine Kombination aus beidem. Aber wenn Sie mit geometrischen Objekten begonnen haben, die Längen und Winkel zueinander hatten, dann haben die Objekte bereits die metrische Geometrie als Teil ihrer selbst.

In diesem Fall sind einige Vektoren im Raum der Vektoren gegeben$V$wie zum Beispiel$u,$ $v,$Und$w$alle ab$V$Sie können das Flugzeug von zwei von ihnen überspannen lassen, z$v\wedge w$ist ein Flugzeug, das enthält$\{x\in V: x\wedge (v\wedge w)=0\}$oder das von ihnen aufgespannte 3-Volumen zB$u\wedge v\wedge w$ist ein 3-bändiges, das enthält$\{x\in V: x\wedge (u\wedge v\wedge w)=0\}.$

Aber Formulare könnten das tun. Aber mit Multivektoren kann man auch Rotationen machen. Und das ist ausgezeichnet, denn das ist es, was Kräfte tun.

Ein klassisches Teilchen hat eine Weltlinie, die Weltlinie hat eine Tangente. Wenn Sie diese in die Zukunft weisende Tangente mit der Ruhemasse multiplizieren, erhalten Sie buchstäblich den Energie-Impuls-Vektor für das Teilchen. Wenn Sie eine Kraft anwenden und warten, hat das Teilchen die gleiche Ruhemasse und es hat immer noch eine Einheitszukunft, die tangential zu seiner Weltlinie zeigt. Der Nettoeffekt der Kraft bestand also darin, den Energie-Impuls-Vektor zu einem neuen zu drehen.

In einem infinitesimal kleinen Zeitintervall führt eine Kraft eine infinitesimal kleine Drehung des Energie-Impuls-Vektors aus. So erzwungen werden zu Recht kleine Rotationen oder Linearkombinationen von Ebenen, also ein Bivektor. Und der Raum der Bivektoren ist 6d, da er als linearer Raum eine Basis hat$\{e_0e_1, e_0e_2, e_0e_3, e_1e_2, e_1e_3, e_2e_3\}$wobei die ersten drei die Geschwindigkeit des Teilchens erhöhen und die letzten drei die Richtung des Teilchens ändern. Die ersten drei sind also die Basis für das elektrische Feld und die letzten drei sind die Basis für das magnetische Feld. Aber alle zusammen sind sie nur die Grundlage für eine unendlich kleine Rotation in der Raumzeit, was eine Kraft ist.

Und wenn Sie sich die Algebra ansehen, kann sie nicht sagen, was die Basis war, also könnten Sie vier zueinander orthogonale Vektoren auswählen, die eine Länge von haben$\pm 1$und sie funktionieren genauso gut. Aus diesem Grund wird ein elektromagnetisches Feld, das ein Bivektor ist, von zwei Beobachtern unterschiedlich in zwei Vektorfelder zerlegt, aber geometrisch macht es nur eine infinitesimale Drehung in der Raumzeit, eine geometrisch sinnvolle Sache.

Also, was ist das elektromagnetische Feld$F$? Es ist ein Bivektor, so dass für ein Teilchen mit einer Einheitstangente$u$zu seiner Weltlinie und eine Gebühr$q$die Impulsänderung ist$d mu /dt=qu\rfloor F$und das Feld$F$ist der Generator der infinitesimalen Rotation. Sie werden auch feststellen, dass die Kraft nur die elektrische Kraft im Rahmen des Partikels ist, die sie spürt, aber das Feld benötigt sechs Komponenten, um die Kräfte für jedes mögliche Partikel, das sich auf jede mögliche Weise bewegt, korrekt anzugeben.

Es gibt auch eine schöne geometrische Interpretation von$u\rfloor (v\wedge w)$für Vektoren$u, v,$Und$w$nämlich das orthogonale Komplement in der Ebene$v\wedge w$der Projektion von$u$ins Flugzeug$v\wedge w.$

Das mag nach viel Arbeit erscheinen. Denken Sie daran, dass Sie die Dirac-Algebra eines Tages sowieso lernen müssen, damit die Arbeit, die getan werden muss, egal was passiert. Und Sie können lernen, es geometrisch zu interpretieren oder nicht, die meisten Menschen tun es nicht, aber Sie wollten die Geometrie der Kräfte verstehen, und das ist es.

Und es ist ein bisschen die Schuld Ihrer Lehrer, wenn Sie Physiker sind, da Sie dies von Anfang an hätten lernen können, und dann hätte die Gibbs-Vektoralgebra mit all den Punktprodukten, Kreuzprodukten und solchen, die sich nicht auf 4d verallgemeinern lassen, dies verwenden können Zeug die ganze Zeit. Sie könnten also nur dieses eine Ding haben und es für alles verwenden. Es ist nur die Geometrie des Raums und die Geometrie der Raumzeit, sowohl mit der Metrik als auch mit der Spannweite.

Neben der geometrischen Algebra kann man mit a auch die Vektorrechnung machen$\nabla F=(e_0\partial_0-e_1\partial_1-e_2\partial_2-e_3\partial_3)F$Und$\nabla \rfloor F=(e_0\rfloor\partial_0-e_1\rfloor\partial_1-e_2\rfloor\partial_2-e_3\rfloor\partial_3)F$Und$\nabla \wedge F=(e_0\wedge\partial_0-e_1\wedge \partial_1-e_2\wedge\partial_2-e_3\wedge\partial_3)F$bei dem die$\partial_i$wirkt zunächst als$\partial F /\partial x_i$An$F$und als nächstes haben Sie den Vektor von links darauf wirken. Anders als die Gibbs-Curl verallgemeinert sie sich auf höhere Dimensionen. Und im Gegensatz zum Exterieur-Derivat$\nabla F$ist reversibel, dh bei gegebener Ableitung$\nabla F=J$(ja, das ist nur eine Gleichung und es ist die Maxwell-Gleichung), die Sie finden können$F$(bei entsprechenden Randbedingungen).

Wenn Sie den Kalkül einbeziehen, wird er als geometrischer Kalkül bezeichnet (anstelle von geometrischer Algebra), und Sie können die Ableitung definieren$\nabla F$durch$\nabla F@p =\lim_{V\rightarrow \{p\}} \frac{\int_{S=\partial V}dSnF }{ \int_V dV}$Dadurch wird der Fundamentalsatz trivial und es ist seitdem eine Verallgemeinerung des verallgemeinerten Stokes-Satzes$F$könnte eine Multivektorwertfunktion sein, nicht nur ein Skalarwert. Die Divergenz und Kräuselung kann dann der gradverringernde und gradanhebende Teil der Ableitung sein.

Wenn Sie also nur das eine metrische Produkt haben, heißt es Clifford-Algebra, und Sie müssen das lernen, um relativistische Quantenmechanik zu betreiben. Fügen Sie auch die anderen Produkte hinzu, und Sie können die Geometrie sehen und problemlos Rotationen und Oberflächen und Aufspannungen und Projektionen ausführen, alles, wofür Sie Vektoralgebra verwenden, aber Sie können dies auch mit Multivektoren in jedem Dimensionsraum und jedem Dimensionsobjekt tun (nicht nur Vektoren, was in 4D wichtig ist, da Ebenen Ebenen sein müssen, da es keinen Vektor mehr gibt, der normal zu einer 2D-Ebene ist). Durch Integration und Sie können den Fundamentalsatz verwenden, um eine Ableitung zu definieren, und dies ist geometrischer Kalkül.

An diesem Punkt können Sie alles tun, was Formulare tun, und noch mehr. Und es ist auch unvermeidlich, dass der Feynman-Slash nur Vektoren aus Dingen macht. Der Dirac-Operator ist nur die Ableitung (was derselbe Operator ist, unabhängig von der Dimension dessen, worauf er wirkt). Und jetzt ist Ihre Ableitung eine umkehrbare Operation mit Randbedingungen.

Es ist möglich, die gesamte Geometrie zu ignorieren und nur eine lange Liste algebraischer Identitäten zu haben, die genau den geometrischen Identitäten entsprechen, die ich aufgelistet habe. Sie können die Berechnungen durchführen. Und wenn das bei einer stillen und berechnenden Lehrphilosophie hilft, dann kann das Nichtlernen der geometrischen Bedeutung Teil Ihres Plans sein.

Aber gehen Sie nicht davon aus, dass Ihr Lehrer einen so detaillierten Plan hat. Wahrscheinlich haben sie dann selbst nie geometrische Algebra oder geometrisches Rechnen gelernt und werden deshalb nicht behandelt. Oder es ist eine politische Konsequenz aus keiner klar vereinbarten Grundvoraussetzungsstruktur und Vereinbarung darüber, wann und wo es gelernt werden soll und wie der Transfer in oder aus Ihrer Schule gehandhabt wird.

Außerdem müssen Sie ungeometrische Methoden lernen, um Dinge zu tun, wenn Sie alte Artikel lesen oder mit Leuten sprechen oder kommunizieren möchten, die die Geometrie hinter ihrer Algebra und / oder Analysis nicht kennen. Aber Sie können sehen, dass diese Dinge im geometrischen Kalkül sitzen.

Vergleichen Sie zum Beispiel in 3D$v\times w$Zu$\pm(v\wedge w)(\hat x \hat y \hat z)$=$\pm(v\wedge w)\rfloor(\hat x \hat y \hat z).$Alles, was Sie tun können, indem Sie die Geometrie ignorieren, können Sie tun, wenn Sie sich der Geometrie bewusst sind. Sich der Geometrie bewusst zu sein, bedeutet also einfach mehr Macht zu haben.

Ach, auch. Viele Dinge, die in der Quantenmechanik auftauchen, kommen tatsächlich in geometrischen Kalkülen vor. Die Leute sagen fälschlicherweise, dass es ein Effekt der Quantenmechanik ist, weil sie die Anwendung der Clifford-Algebra bis zur Quantenmechanik aufschieben. Wenn sie die ganze Zeit geometrische Kalküle benutzt hätten, wüssten sie, dass es nur eine Sache der Geometrie ist.

Wenn Sie also unterschiedliche Mathematik für verschiedene Fächer verwenden, können Sie nicht sagen, was eine Folge der Mathematik im Vergleich zum Fach ist. Wenn Sie geometrische Kalküle für jedes Fach verwenden, können Sie sagen, was das Fach Ihnen sagt.

Und das ist der Sinn der Physik. Das Universum verstehen. Zu lernen, was uns die Natur sagt, indem wir uns unsere besten Theorien darüber ansehen, wie die Natur funktioniert. Das Vermeiden von geometrischem Kalkül ist wie das Unterschreiben für Unwissenheit.

Ich weiß, dass es schwierig ist, die gesamte Vektoralgebra, Vektorrechnung und Formen neu zu lernen und dann noch mehr zu lernen, indem man einen einzigen Beitrag liest. Aber ich habe dargelegt, was Sie lernen sollten, wenn Sie wirklich verstehen wollen. Weil wir wissen, was ein elektromagnetisches Feld ist, erzeugt es die Kraft auf geladene Teilchen, also etwas, das die Energie-Impuls-Vektoren dreht, also eine lineare Kombination von Grundebenen in 4D mit einer eingebauten Metrik, damit Sie Drehungen ausführen können. Sie müssen also die Geometrie der Raumzeit und Rotationen in der Raumzeit lernen.

Sie brauchen also geometrische Berechnungen, um ein elektromagnetisches Feld wirklich zu verstehen.

Hier ist eine intuitivere Art, den Tensor des elektromagnetischen Felds zu betrachten: Der Tensor des elektromagnetischen Felds ist mit dem Lorentz-Kraftgesetz korreliert

$$\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = e (\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}).$$ Ein Problem bei dieser Gleichung besteht darin, dass sie keine "geometrische Gleichung" ist, dh weder die rechte noch die linke Seite sind rahmenunabhängig.

Lassen$p^\alpha$sei der Teilchen-4-Impulsvektor, soll die Zeit mit der Teilchen-eigenen Uhr gemessen werden. Die rahmenunabhängige Gleichung hat die Form

$$\frac{\mathrm{d}p^\alpha}{\mathrm{d}\tau} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}}e(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) = e(u^0\mathbf{E} + \mathbf{u} \times \mathbf{B})$$ Die obige Gleichung ist linear in den Koordinaten der 4-Geschwindigkeit des Partikels$\mathbf{u}$, woraus geschlossen wird, dass die linke Seite einer Tensorgröße entspricht$\mathbf{F}$, genannt elektromagnetischer Feldtensor oder Faraday-Tensor.$\mathbf{F}$frisst den Geschwindigkeitsvektor des Teilchens$\mathbf{u}$und gibt den elektromagnetischen 4-Kraft-Vektor aus.

Man könnte sich fragen, warum$\mathbf{F}$nimmt nur ein Argument, da eine Zweierform normalerweise Vektoren frisst und einen Skalar ausgibt. Die Antwort darauf ist ganz einfach, stecken Sie einfach eine andere beliebige 1-Form ein$\mathbf{e}$hinein$\mathbf{F}$damit die Ausgabe ein Skalar wird:

$$\mathbf{F}(\mathbf{e},\mathbf{u}) = \langle \mathbf{e}, \mathbf{F}(\mathbf{u})\rangle = \text{scalar}.$$ Der Faraday-Tensor demonstriert die Wechselbeziehung zwischen elektrischem und magnetischem Feld; Keiner von beiden ist für sich rahmenunabhängig, aber durch Zusammenführen zu einem Tensor werden sie rahmenunabhängig.

So denke ich darüber. Das Lorentzkraftgesetz für ein geladenes Masseteilchen$m$und aufladen$q$nimmt die koordinatenfreie Form an

$$m \frac{dU}{d\tau} = q F U,$$

Wo$F$(der elektromagnetische Tensor) wird als linearer Operator und betrachtet$U$(die Vierergeschwindigkeit) als Vektor. Jetzt im euklidischen Raum stellt die Multiplikation mit einer antisymmetrischen Matrix "$\vec{a}\, \times \ $_"-Operator, wo$\vec{a}$ist ein fester 3-Vektor. Die gleichung$\frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{\omega} \times \vec{v}$ist die Bewegungsgleichung für einen um die Achse präzedierenden Vektor$\hat{\omega}$mit Winkelgeschwindigkeit$\omega$. Analog dazu hat das Lorentz-Kraftgesetz die Interpretation, dass der elektromagnetische Tensor Ihnen sagt, durch welche Ebene durch die Raumzeit die Vierergeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt "rotiert" und mit welcher "Winkelgeschwindigkeit".

Um Maxwells Gleichungen zu interpretieren, ist es natürlicher zu interpretieren$F$als differentielle 2-Form und nicht als linearer Operator. Wenn wir lassen$V$sei eine beliebige 3D-Region der Raumzeit mit 2D-Grenze$\partial V$, dann können die Integralformen der Maxwell-Gleichungen mit zwei Quellen zu einer einzigen Differenzformgleichung kombiniert werden

$$\iint_{\partial V} \ast F = Q.$$

(Das$\iint$sollte eigentlich ein \oiint sein, aber ärgerlicherweise erkennt MathJax diesen LaTeX-Befehl nicht.) Hier,

$$Q := \iiint_V J$$ (Wo$J$ist die aktuelle 3-Form) stellt die Gesamtladung dar, die in der Region enthalten ist$V$, aber wir müssen diese Aussage sorgfältig interpretieren. Wenn$V$liegt dann zufällig innerhalb einer einzigen Scheibe mit konstanter Zeit (in einem Lorentz-Frame).$Q$ist nur die normale Gebühr$\iiint_V \rho\, dV$. Aber im Allgemeinen ist es eine Lorentz-kovariante Verallgemeinerung dieser Größe. Zum Beispiel, wenn V stattdessen der Bereich ist, der eine 2D-Oberfläche ist$D$Spuren über eine endliche Zeit$\Delta t$(in einem Lorentz-Rahmen), dann$Q$stellt die Gesamtladung dar, die in diesem Zeitraum durch diese Oberfläche fließt.

Wie auch immer, die obige Gleichung sagt uns, dass die Integration$\ast F$über jeder geschlossenen 2D-Oberfläche ergibt die Ladung, die in einem beliebigen 3D-Bereich mit dieser Oberfläche als Grenze eingeschlossen ist - eine einfache Verallgemeinerung der integralen Form des Gaußschen Gesetzes. Der elektromagnetische Tensor (oder zumindest sein Hodge-Dual) unterscheidet sich also nicht wirklich nur von seiner elektrischen Feldkomponente. Es "verfolgt" die Ladungsverteilung über die Raumzeit auf nichtlokale Weise, sodass Sie sie über geschlossene Flächen integrieren können, um die eingeschlossene Ladung zu quantifizieren.