Was kann man über die Energieformeln nur aus der Tatsache wissen, dass sie erhalten bleibt?

Lassen$E$bezeichnen eine Größe, die sich im Laufe der Zeit nicht ändert (aus dem ersten Prinzip).

Stellen Sie sich einen Ball mit Masse vor$m$aus großer Höhe gefallen$h$. Wenn der Ball fällt, ändert sich seine Geschwindigkeit aufgrund der Erdbeschleunigung$g$, einen Endwert erreichen$v$beim Aufprall. Daraus können wir auf die Menge schließen$E$hängt von diesen 4 Parametern ab:

$$E(m,H,g,V)$$ Wo $H$ist eine variable Höhe und $V$ist eine variable Geschwindigkeit.

Betrachten Sie nun den Ball in dem Moment, in dem er fallen gelassen wird. Es hat Höhe$h$Und$V=0$.

Betrachten Sie dann den Ball kurz bevor er den Boden berührt. Es hat$H=0$und Geschwindigkeit$v$.

Also die Geschwindigkeit$v$und Höhe$h$werden höchstwahrscheinlich nicht miteinander multipliziert, da dies einen Wert von ergeben würde$0$sowohl oben als auch unten. Also, vom ersten Grundsatz:

$$E_i(m,h,g,0)=E_f(m,0,g,v)$$ $$E_i(m,h,g)=E_f(m,g,v)$$

Die Anfangsenergie, die nicht von der Geschwindigkeit und vollständig von der Höhe des Objekts über dem Boden abhängt, kann als potentielle Energie bezeichnet werden . Ebenso kann die Endenergie, die vollständig von der Geschwindigkeit des Objekts abhängt, als kinetische Energie bezeichnet werden .

Wir sehen das$m$hat Masseneinheiten$\left(M\right)$,$h$Längeneinheiten hat$\left(L\right)$,$g$hat Längeneinheiten über Zeit zum Quadrat$\left(\frac{L}{T^2}\right)$,$v$hat Längeneinheiten über die Zeit$\left(\frac{L}{T}\right)$. Wir können also die Dimensionsanalyse verwenden, um herauszufinden, wie diese Parameter am wahrscheinlichsten in die Gleichung passen:

$$\alpha m^ah^bg^c=\beta m^dg^ev^f$$ $$M^aL^b \left( \frac{L}{T^2} \right)^c=M^d\left( \frac{L}{T^2} \right)^e \left( \frac{L}{T} \right)^f$$ $$M^aL^{b+c}T^{-2c}=M^dL^{e+f}T^{-2e-f}$$ ( $\alpha$Und $\beta$sind Proportionalitätskonstanten und dimensionslos.)

Am Ende erhalten wir folgendes Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 6 Unbekannten:

$$a=d$$ $$b+c=e+f$$ $$-2c=-2e-f$$ Wenn wir lassen $a=w$, $b=u$, Und $c=v$, dann haben wir:

$a=w$

$b=u$

$c=v$

$d=w$

$e=v-u$

$f=2u$

Wir haben also die folgende allgemeine Gleichung:

$$\alpha m^wh^ug^v=\beta m^wg^{v-u}v^{2u}$$

Es ist an dieser Stelle nicht klar, ob die Masse$m$ist relevant für die Energie; Da es auf beiden Seiten der Gleichung erscheint, ist es sicher, es vorerst zu entfernen. Außerdem könnten wir die Konstanten entfernen$\alpha$Und$\beta$, wenn man bedenkt, dass sie immer noch da sind. Die reduzierte Form der Gleichung lautet also:

$$h^ug^v=g^{v-u}v^{2u}$$ Das ist jedem klar $u$Und $v$die wir wählen, würde die Gleichung unsere dimensionale Analyse erfüllen. Also müssen nur noch Werte für eingegeben werden $u$Und $v$und sehen, welche Art von Gleichungen wir uns ausdenken können.

Für$u=0$,$v=1$

$$g=g$$

Für$u=1$,$v=0$

$$h=g^{-1}v^2$$ $$hg=v^2$$

Für$u=1$,$v=1$

$$hg=v^2$$

Für$u=1$,$v=2$

$$hg^2=gv^2$$ $$hg=v^2$$

Für$u=2$,$v=2$

$$h^2g^2=v^4$$ $$hg=v^2$$

Interessanterweise für alle$u$Und$v$die wir wählen, bleibt die Gleichung unverändert. (Ich war schockiert, als ich das sah!) An diesem Punkt ist nicht klar, ob die potentielle Energie, die kinetische Energie oder beide von der Gravitationsbeschleunigung abhängen.

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An dieser Stelle möchte ich zu einem weiteren Beispiel übergehen, bei dem es sich um einen Masseblock handelt$m$und Geschwindigkeit$v$liegt auf einer reibungsfreien Oberfläche und drückt eine Feder mit Federkonstante zusammen$k$um einen Betrag$x$. Darauf können wir schließen$E$hängt von diesen 4 Parametern ab:

$$E(m,V,k,X)$$ Wo $V$ist eine variable Geschwindigkeit und $X$ist eine variable Menge an Kompression in der Feder.

Betrachten Sie nun den Block, bevor er beginnt, die Feder zusammenzudrücken. Es hat Geschwindigkeit$v$Und$X=0$.

Betrachten Sie dann den Block, wenn er die Feder vollständig zusammendrückt. Es hat$v=0$und Kompression in der Feder ist$x$. Aus der gleichen Logik wie oben folgere ich, dass die Geschwindigkeit und die komprimierte Länge nicht zu jedem Zeitpunkt miteinander multipliziert werden können, um die Menge zu erhalten$E$. Wir können die folgende Gleichung aus dem ersten Prinzip schreiben:

$$E_i(m,v,k,0)=E_f(m,0,k,x)$$ $$E_i(m,v,k)=E_f(m,k,x)$$ Die endgültige Größe kann als Federpotentialenergie bezeichnet werden . Die Anfangsgröße in dieser Gleichung entspricht dem, was wir im ersten Beispiel als kinetische Energie bezeichnet haben. Diese Menge hängt jedoch nicht davon ab $g$während der Begriff, den wir im ersten Beispiel als kinetische Energie bezeichnet haben , nicht davon abhängt $k$. Daraus können wir schließen, dass die kinetische Energie von beidem abhängt $g$noch $k$. Das ist: $$E_i(m,v)=E_f(m,k,x)$$ Wir können die Dimensionsanalyse wie zuvor verwenden, um die richtigen Exponenten herauszufinden. $$\beta m^av^b=\gamma m^ck^dx^e$$ $$M^a \left( \frac{L}{T} \right)^b = M^c \left( \frac{M}{T^2} \right)^d L^e$$ $$M^aL^bT^{-b}=M^{c+d}L^eT^{-2d}$$ $$a=c+d$$ $$b=e$$ $$-b=-2d$$ Lassen $c=v$Und $d=u$,

$a=v+u$

$b=2u$

$c=v$

$d=u$

$e=2u$

Also haben wir:

$$m^{v+u}v^{2u}=m^vk^ux^{2u}$$

Lassen$u=1$,$v=1$

$$m^2v^2=mkx^2$$ $$mv^2=kx^2$$

Für andere Werte von$u$Und$v$wir bekommen die gleiche Gleichung. Beachten Sie, dass die Masse immer auf mindestens einer Seite der Gleichung vorhanden sein muss.

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An diesem Punkt wissen wir, dass die kinetische Energie von der Geschwindigkeit eines Objekts abhängt und von der Masse abhängen kann oder nicht. Die potentielle Energie hängt von der Höhe über dem Boden, der Erdbeschleunigung und möglicherweise von der Masse ab. Die potentielle Energie der Feder hängt von der Federkonstante und dem komprimierten Betrag ab und kann von der Masse abhängen oder nicht.

Wenn also die potentielle Energie nicht von der Masse abhängt, haben wir:

$E_{potential}= \alpha gh$

$E_{kinetic}=\beta v^2$

$E_{spring potential}=\gamma \frac{kx^2}{m}$

Wenn die potentielle Energie von der ersten Potenz der Masse abhängt, haben wir:

$E_{potential}= \alpha mgh$

$E_{kinetic}=\beta mv^2$

$E_{spring potential}=\gamma kx^2$

Wenn die potentielle Energie von der zweiten Potenz der Masse abhängt, haben wir:

$E_{potential}= \alpha m^2gh$

$E_{kinetic}=\beta m^2v^2$

$E_{spring potential}=\gamma mkx^2$

Wir verwenden diejenige, bei der die potenzielle Energie von der ersten Potenz der Masse abhängt , aber es scheint mir, als ob auf der Grundlage dieser vorläufigen Analyse jeder dieser 3 Gleichungssätze als „Energie“ definiert werden kann.

Natürlich haben wir nicht berücksichtigt, dass die potenzielle Energie der Feder überhaupt nicht von der Masse des Objekts abhängt, das sie zusammendrückt. Dies würde unsere Formulierung der potentiellen, kinetischen und Federpotentialenergien auf die obige zweite Version beschränken. Außerdem haben wir die Werte der Proportionalitätskonstanten nicht herausgefunden,$\alpha$,$\beta$, Und$\gamma$. Das Beste, was ich tun konnte, war das Verhältnis von zu finden$\alpha$Zu$\beta$, was 2:1 ist, unter Verwendung von Kinematik. Trotzdem denke ich, dass wir ziemlich weit gegangen sind, wenn man bedenkt, dass wir nur etwas Intuition und ein wenig Algebra verwenden mussten;)

Das ist eine nette Frage, aber ich denke, sie muss noch ein wenig verfeinert werden. Aus den gegebenen Informationen könnte die Erhaltungsgröße, die wir erhalten, Masse, Energie, Drehimpuls oder elektrische Ladung sein. Auch das Ergebnis für so etwas wie Energie lässt sich anhand der gegebenen Informationen nicht eindeutig definieren, da zB ein relativistischer Ausdruck auch mit allen gegebenen Informationen konsistent wäre. Oder wir könnten es haben$E=bE_o$, Wo$E$ist die Menge, die wir am Ende definieren,$b$ist eine Konstante, und$E_o$ist die in Lehrbüchern definierte Menge. Basierend auf diesen Beispielen brauchen wir eindeutig einige weitere Postulate, vielleicht so etwas wie das Folgende:

1. Die Erhaltungsgröße muss additiv sein und den Zustand des Systems beschreiben (notwendig für jedes Erhaltungsgesetz).

2. Der Anwendungsbereich ist die Mechanik (sonst könnten wir von Ladungserhaltung sprechen).

3. Es werden keine neuen Einheitskonstanten erscheinen (andernfalls könnten wir Möglichkeiten wie die relativistischen Ausdrücke haben, die enthalten$c$).

4. Energie ist ein Skalar.

5. Die Energieerhaltung gilt gleichermaßen in allen Inertialsystemen.

6. Es gibt ein Gravitationsfeld$\textbf{g}$, die statisch und gleichförmig ist und die Beschleunigung frei fallender Objekte angibt.

7. Zeitumkehrsymmetrie gilt.

Aufgrund von Annahme Nr. 2 erwarten wir, dass diese Ausdrücke enthalten$m$Und$\textbf{v}$. Aus Annahme Nr. 6 sollten die Ausdrücke beinhalten$\textbf{g}$und dem Positionsvektor$\textbf{r}$, und ab #5 die Wahl eines Koordinatenursprungs zum Definieren$\textbf{r}$muss willkürlich sein. Von #1, die einzigen Befugnisse von$m$die in jedem Term vorkommen können, sind 0 oder 1. Bei #1 können Dinge wie der Beschleunigungsvektor nicht erscheinen, da sie den Zustand eines Systems nicht beschreiben (z. B. können Sie einem Baseball eine Anfangsposition und -geschwindigkeit auferlegen , aber es "erinnert" sich nicht an seine Anfangsbeschleunigung).

Die am einfachsten zu bildenden Skalare aus diesen Zutaten sind 1,$m$,$m\textbf{v}\cdot\textbf{v}$,$m\textbf{g}\cdot\textbf{g}$, Und$m\textbf{r}\cdot\textbf{r}$. Die Konstante 1 ist uninteressant, weil sie die Vorhersagen des Erhaltungssatzes nicht beeinflusst. Wenn Masse eine feste Eigenschaft unserer Teilchen ist, dann gilt dasselbe für$mg^2$. Wir können nicht haben$mr^2$, oder irgendein Ausdruck mit$r^2$, ohne Verletzung von 5, da die Wahl des Ursprungs für$\textbf{r}$ist willkürlich. Der einzige Gewinner ist bisher$mv^2$, und dies lässt uns vermuten, dass die Energie unter Zeitumkehr unverändert sein sollte (nicht ungerade unter Zeitumkehr, was auch mit #7 übereinstimmen würde).

Mit gemischten Punktprodukten können wir erhalten$m\textbf{v}\cdot\textbf{g}$,$m\textbf{g}\cdot\textbf{r}$, Und$m\textbf{r}\cdot\textbf{v}$. Bei Nr. 7 kann Energie keine Addition von Termen beinhalten, die sich unter Zeitumkehr ändern, und Termen, die dies nicht tun. Deshalb$m\textbf{g}\cdot\textbf{r}$ist die einzige von diesen, die in Ordnung sein wird. Dies hat die gleichen Einheiten wie$mv^2$, was mit #3 übereinstimmt.

Wenn wir die beiden bisher interessant aussehenden Begriffe zusammenfügen, haben wir etwas von der Form$\alpha mv^2+\beta m\textbf{g}\cdot\textbf{r}$. Bei #6 brauchen wir$\alpha/\beta=-1/2$. Nehmen wir aus Gründen der Übereinstimmung mit willkürlichen historischen Konventionen$\alpha=1/2$Und$\beta=-1$.

Wenn wir so weit gekommen sind, können wir bereits eine Menge Physik machen. Wir können die Bewegung von Projektilen und das Verhalten von Teilchen bei elastischen Stößen erfolgreich vorhersagen. Indem wir von einem Rahmen zu einem anderen transformieren (#5) und Kollisionen erfordern, um Energie in beiden Rahmen zu erhalten, können wir die Impulserhaltung beweisen.

Wir könnten auch andere Skalare durch skalare Tripelprodukte aufbauen, aber um zu verhindern, dass sie identisch verschwinden, müssten sie die Form haben$\textbf{v}\cdot(\textbf{g}\times\textbf{r})$(oder ähnliche Ausdrücke, in denen diese drei Variablen permutiert sind, aber bis auf ein Vorzeichen mit dieser identisch sind). Aber das ist seltsam unter Zeitumkehr, also funktioniert es nicht.

Beispiele wie$m(\textbf{v}\cdot\textbf{v})(\textbf{v}\cdot\textbf{v})$#3 verletzen.