Was sind die Eigendomänen des Orts- und Quadratdrehimpulsoperators?

Question

Was sind die Eigendomänen des Orts- und Quadratdrehimpulsoperators?

Xin Wang

Ich betrachte den Positionsoperator auf einem kompakten Satz $K \subset \mathbb{R}^n$ und der quadratische Drehimpulsoperator (also im Wesentlichen der Laplace-Beltrami-Operator, bei dem ich nur die Winkelteile betrachte, damit dieser Operator wirkt $\mathbb{S}^2$ ). Meine Frage ist: Was sind die kanonischen Domänen, die wir an diese beiden Operatoren anpassen?

yuggib

An

L^{2} (K)

$L^2(K)$ , Multiplikation mit

x_{j}

$x_j$ ist ein beschränkter Operator, vermute ich ... der quadratische Drehimpuls hat einen vollständigen Satz von Eigenfunktionen in den sphärischen Harmonischen, aber ich kenne seinen genauen Bereich der Selbstadjunganz nicht. Eine normale Domain wie z

C^{\infty} (S^{2})

$C^{\infty}(\mathbb{S}^2)$ sollte eine Domäne der wesentlichen Selbstadjungiertheit sein (aber ich bin mir nicht sicher).

Xin Wang

ja, zumindest für

K \subset R

$K \subset \mathbb{R}$ wir könnten die nehmen

x \in K

$x \in K$ mit maximalem Absolutwert und dann definiert dies unsere Konstante für

| | x f | |_{2} \leq C | | f | |_{2}

$||xf||_2 \le C ||f||_2$ , also sollten Sie mit der Begrenztheit richtig liegen.

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Was sind die Eigendomänen des Orts- und Quadratdrehimpulsoperators?

An $L^2(K)$ , Multiplikation mit $x_j$ ist ein beschränkter Operator, vermute ich ... der quadratische Drehimpuls hat einen vollständigen Satz von Eigenfunktionen in den sphärischen Harmonischen, aber ich kenne seinen genauen Bereich der Selbstadjunganz nicht. Eine normale Domain wie z $C^{\infty}(\mathbb{S}^2)$ sollte eine Domäne der wesentlichen Selbstadjungiertheit sein (aber ich bin mir nicht sicher).
ja, zumindest für $K \subset \mathbb{R}$ wir könnten die nehmen $x \in K$ mit maximalem Absolutwert und dann definiert dies unsere Konstante für $||xf||_2 \le C ||f||_2$ , also sollten Sie mit der Begrenztheit richtig liegen.

Valter Moretti · Answer 1

D ({\hat{X}}_{ich}) := {ψ \in L^{2} (K, D^{N} X) | \int_{K} X_{ich}^{2} | ψ (X) |^{2} D^{N} X < + \infty} = L^{2} (K, D^{N} X)

$D(\hat{X}_i):= \left\{ \psi \in L^2(K, d^nx)\:\left|\: \int_K x_i^2|\psi(x)|^2 d^nx< \right.+\infty \right\} = L^2(K, d^nx)$ wobei die letzte Identität gilt, wenn

K

$K$ ist beschränkt (insbesondere kompakt), weil

x_{i}^{2}

$x_i^2$ ist darauf beschränkt (in diesem Fall ist auch der Operator beschränkt). Darüber hinaus

D ({\hat{J}}^{2}) := {ψ \in L^{2} (S^{2}, D Ω) | \sum_{ℓ = 0, - ℓ \leq M \leq ℓ}^{+ \infty} ℓ^{4} {| \int_{S^{2}} ψ (S)^{*} Y_{M}^{ℓ} (S) D Ω (S) |}^{2} < + \infty}

$D(\hat{J}^2):= \left\{\psi \in L^2(\mathbb S^2, d\Omega)\:\left|\: \sum_{\ell=0\:, -\ell \leq m \leq \ell}^{+\infty} \ell^4 \left| \int_{\mathbb S^2}\psi(s)^* Y^{\ell}_m(s)\:d\Omega(s) \right|^2<+\infty\right.\right\}$ Mit diesen Domänen sind sie automatisch selbstadjungiert (nicht nur im Wesentlichen selbstadjungiert). Wenn Sie die Domäne einschränken auf

C^{\infty} (S^{2})

$C^\infty(\mathbb S^2)$ ,

{\hat{J}}^{2}

$\hat{J}^2$ stellt sich aufgrund eines bekannten Theorems von Nelson als im Wesentlichen selbstadjungiert heraus, da es symmetrisch ist (mit dichtem Definitionsbereich) und einen Satz analytischer Vektoren zulässt (die

Y_{m}^{ℓ}

$Y^\ell_m$ s), dessen Spannweite im gesamten Hilbertraum dicht ist.

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Xin Wang

yuggib

Xin Wang

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Valter Moretti

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