Was verstehen wir unter dem Begriff „Anzahl der Dinge“?

Das Buch ist sehr alt: 2. Auflage 1903; 1. Aufl. 1890.

Wie Sie der Fußnote Seite 131 entnehmen können, werden Cantor und Dedekind als „interessante Beiträge zur Fachliteratur“ genannt …

Man kann also nicht erwarten, dass die eingangs ohne Definition eingeführten Begriffe , die als primitiv zur „Erläuterung“ der folgenden Behandlung verwendet werden, exakt in moderne (dh nach 1930) mengentheoretische Vorstellungen übersetzt werden können.

Ich denke, dass :

Gruppe muss eine endliche Sammlung von Objekten (Dingen) bedeuten

und das :

Die Anzahl der Dinge in einer Gruppe ist "eindeutig" (aus der Diskussion) das Äquivalent der modernen Kardinalität (beschränkt auf endliche Sammlungen) und wird als "Eigentum" der Sammlung (Gruppe) bezeichnet.

Meine Interpretation ist, dass die Dinge "individuell", konkret oder abstrakt (falls vorhanden) sind. Natürlich kann man sie sich leicht als konkrete Objekte vorstellen, wie Peebles in einer Tasche oder Soldaten in einem Zug.

Ein Zug ist eine Gruppe von Soldaten, und die Anzahl der Dinge im Zug ist die Anzahl der einzelnen Soldaten, die ihn bilden.

Diese Interpretation ist auch im Hinblick auf die nachfolgende Definition von Addition sinnvoll (siehe Antwort von CoolHandLouis).

Bitte beachten Sie, dass hier Gruppe die "allgemeine" Bedeutung von Sammlung oder Aggregat hat; es hat nichts mit dem Fachbegriff „Gruppe“ der Gruppentheorie zu tun .

Wenn wir von den "Charakteren" der einzelnen Dinge (also von ihren individuellen Eigenschaften, wie Farbe, Größe, Form bei einer Sammlung von Kugeln) und von der Ordnung der Objekte in der Sammlung (dasselbe gilt für die " modernen" Mengenkonzept : { A,B,C } ist "die gleiche" Menge wie { C,B,A }), was wir erhalten, ist die "Anzahl" der Dinge in der Gruppe (die Anzahl der Mitglieder der Sammlung ).

Denken Sie daran, dass Cantors ursprüngliche Notation zur Darstellung der Kardinalzahl der Menge A ein "doppelter Überstrich" über A war:

Das Symbol für eine Menge, die mit einem einzelnen Überstrich über A kommentiert ist, zeigt A an, dem jede Struktur außer der Reihenfolge entzogen wurde, und repräsentiert daher den Ordnungstyp der Menge. Ein doppelter Überstrich über A zeigte dann an, dass die Reihenfolge aus der Menge entfernt wurde, und zeigte somit die Kardinalzahl der Menge an.

Vorwort

Auf diese Frage habe ich zwei Antworten gegeben:

• Die andere Antwort ist die bessere Antwort und meine primäre Antwort. Es deutet darauf hin, dass Mr. Fine sich auf die naive Mengenlehre bezieht.

• Ich habe diese Antwort gegeben , weil das OP darauf bestand , {A, A, A} als "drei verschiedene Elemente" zu betrachten, und ein Kopfgeld ausgesetzt hatte. Ansonsten gab es absolut kein überzeugendes OP, also warum nicht einfach zustimmen und das Kopfgeld bekommen? :)

  Die beiden Antworten ergänzen sich tatsächlich, da sie zeigen, wie man dieselben mathematischen Phänomene beschreiben kann, indem man Axiome, Definitionen und Regeln an verschiedenen Stellen ändert. Du sagst TOE MAY TOE, ich sage TOE MAH TOE. Wie sich herausstellt, enthält diese Antwort einen süßen „mathematischen Beweis“, dass Mr. Fine dachte, dass {A, A, A} drei verschiedene Elemente darstellt.“ Aber bitte zögern Sie nicht, in dieser Antwort eine augenzwinkernde Haltung zu lesen.

Anupam,

Sie haben Recht, Mr. Fine betrachtet {A, A, A} = 3.

Ich reiche eine andere Antwort ein, weil ich das herausgefunden habe, wollte aber meine alte Antwort aus Gründen der Geschichte hinterlassen. Du hast Recht! Henry Burchard Fine meinte drei konkrete Dinge, also wird {A, A, A} als drei gezählt. Seine Aussage kann kein Fehler sein, denn es ist seine primäre Prämisse bei der Untermauerung seiner gesamten numerischen Arithmetik - die Grundlage seines gesamten Buches - beginnend mit der Addition:

Addition: Wenn zwei oder mehr Gruppen von Dingen zu einer einzigen Gruppe zusammengeführt werden, heißt das Zahlensymbol dieser Gruppe die Summe der Zahlen der einzelnen Gruppen.

Wenn die Summe s ist und die Nummern der einzelnen Gruppen abc usw., dann wird die Beziehung zwischen ihnen symbolisch durch die Gleichung ausgedrückt, in der s = a + b + c + etcdie Summengruppe gebildet werden soll, indem die zweite Gruppe, zu der b gehört, zur ersten der dritten Gruppe gehört welches c zur resultierenden Gruppe gehört und so weiter

Die Operation zum Finden von s, wenn abc usw. bekannt sind, ist eine Addition. Addition ist abgekürztes Zählen.

6 Addition Wenn zwei oder mehr Gruppen von Dingen zu einer einzigen Gruppe zusammengeführt werden, heißt das Zahlensymbol dieser Gruppe die Summe der Zahlen der einzelnen Gruppen. Ist die Summe s und der Zahlen der einzelnen Gruppen abc usw bzw. die Beziehung zwischen ihnen wird symbolisch durch die Gleichung sab c+ etc ausgedrückt, wobei die Summengruppe gebildet werden soll, indem die zweite Gruppe, zu der b gehört, zur ersten, die dritte Gruppe, zu der c gehört, zur resultierenden Gruppe hinzugefügt wird und so weiter Die Operation, s zu finden, wenn abc usw. bekannt sind, ist Addition. Addition ist abgekürztes Zählen

• Gegeben a, b, c sind "Gruppen/Mengen",

• If two or more groups of things be brought together so as to form a single group...
  Sei d = a U b U c

• ...the numeral symbol of this group is called the sum of the numbers of the separate groups)
  Summe(d) = Summe(a) + Summe(b) + Summe(c)

• Definieren Sie nun die Gruppen/Sets wie folgt:

  • a = {A}
  • b = {A}
  • c = {A}

• Summe(d) = Summe(a) + Summe(b) + Summe(c) = 1 + 1 + 1 = 3

• d = ein U b U c

• Daher muss der "Vereinigungsoperator" von Mr. Fine d = {A, A, A} und sum({A, A, A}) = 3 erzeugen.

• Wenn Mr. Fines "Union-Operator" eine normale Mengennotation wäre, dann wäre d = {A} und es gibt keine Möglichkeit, "3" daraus zu erhalten.

Daher betrachtet Mr. Fine {A, A, A} = 3.

Dies ist der Fall, wenn A verschiedene konkrete Objekte darstellt, wie 3 Münzen in einer Tasche.

Das erste Werk, das mir in den Sinn kommt, ist Edmund Husserls Philosophie der Arithmetik . Er geht ausführlich auf die offensichtliche Schwierigkeit mit Zahlen ein: Um zu zählen, müssen die gezählten Dinge sowohl unterschiedlich (es kann also mehr als eins sein) als auch gleich sein (Sie zählen bestimmte Dinge). Wenn ich "drei Äpfel" sage, sind sie in einem Sinne alle gleich (es sind Äpfel) und in einem anderen alle verschieden (es gibt drei von ihnen, die sich nicht zuletzt durch ihre räumliche Beziehung unterscheiden).

Es gibt gleichzeitig „Vielheit“ und „Einheit“. Dies führt zu der Frage „in welcher Weise gleich und in welcher Weise unterschiedlich“.

Woran ich mich aus diesem Buch am meisten erinnere, ist die Diskussion über Unterschiede und Unterscheidungen. Es ist etwas, worüber es sich zu reden lohnt. Es gibt zwei Begriffe, die gegenübergestellt werden können, „anders“, „ausgezeichnet“.

• Um zwischen zwei Dingen zu unterscheiden , müssen wir ein Urteil fällen
• Anders ist eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung, damit Dinge unterschieden werden können

In der Mathematik wird alles unterschieden, was verschieden ist, und man betrachtet eine Gesamtheit verschiedener Dinge. Dies vermeidet den kniffligen Teil: menschliches Urteilsvermögen.

Dieses Urteil fällt uns oft leicht. Es ist klar, dass wir viele Dinge als verschieden wahrnehmen und dass sich die Welt zu Objekten „kristallisiert“. Obwohl diese Wahrnehmung nicht immer ausreicht, um Dinge zu unterscheiden, reicht sie in den meisten Alltagssituationen aus. Nur in Grenzfällen müssen wir über das Erscheinen von im Raum getrennten Objekten hinausgehen und eine andere Art der Beurteilung anwenden.

Die Fähigkeit, zwischen Dingen zu unterscheiden, ist das Hauptthema des Wissenschaftsgebiets der Psychophysik, das um die 1890er Jahre so richtig in Fahrt kam und bis heute andauert. Es gab auch viele philosophische Schriften über diese menschliche Fähigkeit, tatsächlich bin ich der Meinung, dass es die Hauptfrage der Philosophie ist (andere mögen dem nicht zustimmen).

Um Ihre Frage direkt zu beantworten: Mathematik schließt menschliches Urteilsvermögen aus, also müssen wir bei der Konstruktion eines formalen Systems beginnen, nachdem ein Urteil gefällt wurde – wir tun dies, indem wir annehmen, dass seine Objekte alle voneinander unterscheidbar sind. Wenn Objekte in der Mathematik nicht unterscheidbar sind, werden sie als gleich angesehen. Dies gilt nicht für reale Dinge, die unterschiedlich sein können, aber nicht unterschieden werden können.

Anmerkung: Die Details, wie Arithmetik von menschlichen Urteilen abstrahiert wird, werden im Rest von Husserls Buch behandelt. Ich bin nicht in der Lage, es hier zu artikulieren. Ich denke, dass es angesichts der jüngsten wissenschaftlichen Forschung "Zahlreichtum" einige Probleme damit geben könnte . Ich bin noch nicht sicher.

Vorwort

Auf diese Frage habe ich zwei Antworten gegeben:

• Diese Antwort ist die bessere Antwort und deutet darauf hin, dass Mr. Fine sich auf die naive Mengenlehre bezieht. Außerdem gibt es hier keinen großen Versuch der Strenge, und Mr. Fine springt einfach zu seinem Interessensgebiet vor. Diese Antwort ist meine primäre Antwort.

• Ich habe in demselben Thread eine weitere Antwort gegeben, weil das OP darauf bestand , an {A, A, A} zu denken, dass es "drei verschiedene Elemente" enthält, und ein Kopfgeld gepostet hat. Ansonsten gab es absolut kein überzeugendes OP, also warum nicht einfach zustimmen und das Kopfgeld bekommen? :)

  Die beiden Antworten ergänzen sich tatsächlich, da sie zeigen, wie man dieselben mathematischen Phänomene beschreiben kann, indem man Axiome, Definitionen und Regeln an verschiedenen Stellen ändert. Du sagst TOE MAY TOE, ich sage TOE MAH TOE. Wie sich herausstellt, enthält die andere Antwort einen niedlichen „mathematischen Beweis“, dass Mr. Fine dachte, dass {A, A, A} drei verschiedene Elemente darstellt. Es mag interessant sein zu sehen, wie ich einen solchen Vorschlag verteidigt habe.

1. Das Buch bezieht sich auf die naive Mengenlehre

Der folgende Google Books-Link ist einfacher zu referenzieren: The Number-system of Algebra: Treated Theoretical and Historically" (Henry Burchard Fine, Copyright 1890, veröffentlicht 1907). Das Folgende ist der fragliche Auszug aus diesem Buch von 1907:

I. DIE POSITIVE GANZZAHL UND DIE GESETZE, DIE DIE ADDIERUNG UND MULTIPLIKATION POSITIVER GANZZAHLEN REGELN

1 Nummer. Wir sagen von bestimmten unterschiedlichen Dingen, dass sie eine Gruppe bilden (mit Gruppe meinen wir eine endliche Gruppe, die mit keinem Teil ihrer selbst in eine Eins-zu-eins-Korrespondenz 2 gebracht werden kann), wenn wir sie kollektiv zu einem einzigen Objekt unserer Aufmerksamkeit machen.

Die Anzahl der Dinge in einer Gruppe ist diejenige Eigenschaft der Gruppe, die bei jeder Veränderung der Gruppe unverändert bleibt, die die Getrenntheit der Dinge voneinander oder ihre gemeinsame Getrenntheit von allen anderen Dingen nicht zerstört.

Solche Änderungen können Änderungen in den Eigenschaften der Dinge oder in ihrer Anordnung innerhalb der Gruppe sein. Auch hier können Anordnungsänderungen Änderungen entweder in der Reihenfolge der Dinge oder in der Art und Weise sein, in der sie in kleineren Gruppen miteinander verbunden sind.

Wir können daher sagen: Die Anzahl der Dinge in jeder Gruppe von verschiedenen Dingen ist unabhängig von den Charakteren dieser Dinge, von der Ordnung, in der sie in der Gruppe angeordnet werden können, und von der Art und Weise, in der sie im Kleinen einander zugeordnet werden können Gruppen.

2 Numerische Gleichheit. Die Anzahl der Dinge in zwei beliebigen Gruppen von verschiedenen Dingen ist gleich, wenn für jedes Ding in der ersten Gruppe eines in der zweiten und umgekehrt für jedes Ding in der zweiten Gruppe eines in der ersten ist. Somit ist die Anzahl der Buchstaben in den beiden Gruppen A, B, C; D, E, F, ist dasselbe... [Mr. Fine spricht weiterhin über 1-zu-1-Korrespondenz - CoolHandLouis] ...

Jedem, der an einem Anfängerkurs „Mengenlehre 101“ teilnimmt, ist klar, dass dieses Buch die Grundlagen der Mengenlehre beschreibt. Wir können mit Zuversicht sagen, dass Mr. Fines Verweise auf eine „Gruppe“ genau das sind, was heute als „Menge“ bekannt ist, und auf „Elemente“, wenn er „unterscheidbare Dinge“ beschrieb. (Nebenbei bemerkt bezieht sich dieser gesamte Beitrag tatsächlich auf die sogenannte "naive Mengenlehre", aber das ist für diese Frage / Antwort belanglos.)

Angesichts der Tatsache, dass Mr. Fine sich auf die Mengenlehre bezieht und sein Buch 1907 geschrieben wurde, ist mein erster Vorschlag, dass Sie Mr. Fine vollständig vergessen und nach einigen guten Referenzen für Anfänger "Mengenlehre" googeln und sich auch einige davon ansehen kurze Videos zum gleichen Thema.

Mr. Fines Fußnote „Mit Gruppe meinen wir eine endliche Gruppe, die nicht in eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz mit irgendeinem Teil ihrer selbst gebracht werden kann“ ist ein sehr starker Beweis dafür, dass er über (naive) Mengenlehre spricht. Er vermeidet offensichtlich unendliche Mengen, und basierend auf der Geschichte der Mengenlehre mag das aus politischen Gründen gewesen sein. Es gibt keinen Grund für ihn, an diesem Punkt seiner Karriere zu streiten, und allen Grund, auf Nummer sicher zu gehen, besonders bei diesem Buch.

Aber das ist eine Meta-Antwort. Hier ist eine echte Antwort:

2. Antwort auf die Frage – Einführung

Lassen Sie uns zunächst den Rest der Sprache dieses Beitrags auf das 21. Jahrhundert standardisieren: Ein Satz ist eine Sammlung unterschiedlicher Elemente. Reden wir also nicht mehr von „Dingen“ oder „Gruppen“. Und es spielt keine Rolle, ob sie konkret oder abstrakt, real oder eingebildet sind.

Das Ändern der Namen für diese Begriffe ändert in keiner Weise die Probleme, auf die Sie stoßen. Die neuen Wörter beziehen sich auf genau dasselbe, was Mr. Fine gesagt hat. Es ist alles eine Frage der Definition, und ich werde alles definieren, während wir Ihnen den Unterschied zeigen, der Verwirrung stiftet.

3. Wie Sie „eindeutig“ und „zählen“ betrachten

Erstens hast du in gewisser Weise Recht. Innerhalb Ihres eigenen persönlichen Verständnisses/Glaubenssystems/Definitionen von „unterscheidbar“, „Sammlung“, „Satz von Dingen“ und „Gruppe“ und wie man damit umgeht, „schließen“ Sie, dass „Sie Recht haben“. Und weder ich noch irgendein Mathematiker kann gegen Ihre "Richtigkeit" in diesem Sinne argumentieren. Mit Ihren Definitionen und Denkweisen haben Sie vollkommen recht. Aber das ist nur ein Anfang; Das löst die Verwirrung nicht.

Lassen Sie uns ein System erfinden/erfinden, in dem Sie "Recht" haben. (Denken Sie daran, dass wir genauso gut „Gruppen“ und „Dinge“ sagen könnten, aber ich standardisiere auf „Mengen“ und „Elemente“. Die verwendeten Wörter machen keinen Unterschied , solange wir sie definieren.)

Nicht standardmäßige Regeln der Mengenlehre gemäß Originalposter

• Eine Menge ist eine Sammlung von Elementen.
• Jedes Element wird durch ein oder mehrere Symbole (alphanumerisch) dargestellt.
• Die Größe der Menge ist die Gesamtzahl der Elemente.
• OPs Definition von Distinct: Jedes Element wird als „distinct“ betrachtet, wenn es an einer anderen Position erscheint, also enthält {A, A} zwei unterschiedliche Elemente, weil sie sich an verschiedenen Positionen befinden (Position eins und Position zwei).

Frage: Wie viele Elemente gibt es in {A, A, A} nach den obigen nicht standardmäßigen Regeln von Original Poster? Antwort: 3.

4. Wie die mathematische Mengenlehre (Mr. Fines Buch) „eindeutig“ und „Zählen“ definiert

Betrachten wir dies nun eher von der mathematischen Standarddefinition aus.

Standardregeln der mathematischen Mengenlehre

• Eine Menge ist eine Sammlung verschiedener Elemente.
• Jedes Element wird durch ein oder mehrere Symbole dargestellt.
• Die Größe einer Menge ist die Gesamtzahl der Elemente.
• Mengentheoretische Definition von Distinct: Jedes Element wird als „distinct“ betrachtet, wenn festgestellt werden kann, dass es sich von allen anderen Elementen unterscheidet. Bei der Darstellung durch Buchstaben und Wörter besteht die einzige Sorge für die Unterscheidbarkeit darin, ob Elemente unterschiedliche Namen haben oder nicht. In schriftlicher Mathematik, eindeutig = verschiedene Namen.

Für den Zweck dieser Antwort ist etwas Gleiches nicht eindeutig - es bezieht sich auf dasselbe. {A, A} ist also wie zu sagen: {Indien, Indien}. Es bezieht sich nur auf ein Land, nicht auf zwei Länder. Es bezieht sich zweimal auf dasselbe Land. Also, was ist die Zählung? Das eine Land oder die zweimalige Erwähnung? In der Mengenlehre ist es ersteres.

"Aber wieso?" Sie könnten fragen. In gewisser Weise kann man sich das als völlig willkürlich vorstellen. "Es ist per definitionem." (Aber das ist aus gutem Grund so; es führt dazu, dass viele andere Dinge in der Mengenlehre gut funktionieren, aber das geht über diese Diskussion hinaus). Also musst du es einfach akzeptieren, genauso wie "wir müssen akzeptieren, dass du mit deiner Definition Recht hast".

Frage: Wie viele verschiedene Länder gibt es in {Frankreich, Frankreich, Frankreich, Frankreich, Indien, Indien, Indien, Brasilien, Brasilien}? Antwort: 3, weil sich die Menge nur auf drei verschiedene Orte bezieht = {Frankreich, Indien, Brasilien}.

5. Münzen in Ihrer Tasche

Aus diesem Grund und der Einfachheit halber fügen wir der Mengenlehre einfach eine weitere Regel hinzu:

• In Sätzen sind keine Duplikate erlaubt.

Wieso den? Denn ein Set ist so etwas wie eine „Tüte voller Dinge“ (konkret oder abstrakt). Betrachten wir zum Beispiel vier Münzen in Ihrer linken Hosentasche am Montag. Nehmen wir an, wir wissen nicht, was sie sind. Also nennen wir sie C1, C2, C3, C4.

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = {C1, C2, C3, C4}

Angesichts dieser Idee macht es keinen Sinn, dies als {C1, C1, C1, C2, C3, C4} zu bezeichnen. Warum dreimal auf die erste Münze verweisen? Es ist bereits in Ihrer Tasche. Es muss nur einmal darauf hingewiesen werden. Nun wollen wir den Coins einige Attribute zuweisen:

• C1 = Typ = Penny; Gesichtswert = 0,01; Datum=1999; Gewicht = 2,4993399494 g; Zustand = Mint
• C2 = Typ=Penny; Gesichtswert = 0,01; Datum=1999; Gewicht = 2,4990044384 g; Zustand = Gut
• C3 = Typ=Nickel; Gesichtswert = 0,05; Datum=2002; Gewicht = 5,0002292833 g; Zustand = sehr gut
• C4 = Typ=Nickel; Gesichtswert = 0,05; Datum=2003; Gewicht = 5,0010022229 g; Zustand = sehr gut

Jetzt, da wir wissen, dass zwei davon Pennys sind, ist der Satz Münzen in Ihrer Tasche immer noch derselbe:

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = {C1, C2, C3, C4}

Aber jetzt können wir fragen, wie viele verschiedene (verschiedene) Arten von Münzen in Ihrer Tasche sind:

• Monday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Lassen Sie uns am Dienstag die Münzen C2, C3 und C4 in Ihre rechte Tasche verschieben. Was hast du am Mittwoch in deinen Taschen?

• Wednesday_InLeftPocket_AllCoins = {C1}

• Wednesday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny}

• Wednesday_InRightPocket_AllCoins = {C2, C3, C4}

• Wednesday_InRightPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

F1: Da $A$ und $A$ nicht verschieden sind, sind nur $A$ und $B$ verschieden (es sei denn, Sie sind rabulistisch und unterscheiden „den ersten Tintenklecks, der ein $A$ bildet“ von „dem zweiten Tintenklecks ein $A$ bilden", aber das macht es unmöglich zu erwähnenrichtigerweise unterscheidet sich jedes dieser $A$s als konkreter Buchstabe (Tintenklecks) $A$, der verwendet wird, um einen bestimmten Buchstaben (Tintenklecks) $A$ zu erwähnen, entgegen der Absicht automatisch von diesem Tintenklecks. In all diesen Fällen sprechen wir von der „Idee“ von $A$, d. h. jede Instanz von „$A$“ im Text bezieht sich auf denselben Gegenstand, der selbst außerhalb des Textes zu denken ist (um es im erster Ort, um "$A$" zu verwenden, um über $A$ zu sprechen). Nur in diesem Sinne ist $A=A$ (denn als konkrete Tintenkleckse auf dem Papier haben sie unterschiedliche Positionen und sind dadurch verschieden) und die beiden $A$s in "$A,B,A$" nicht unterscheidbar. Ihre Gruppe ist also dieselbe wie die mit den Elementen $A,B$ (oder $B,A$, wenn Sie wollen), dh die Nummer ist $2$.

F2: Sie sind als Objekte immer noch nicht identisch. Sie können zB das erste anziehen und das zweite in Ihren Schrank stellen, während Sie das dritte heiß bügeln; Sie würden es sicher bemerken, wenn Sie tatsächlich dasselbe Hemd heißbügeln würden , das Sie gerade tragen. Die Hemden sind an der Eigenschaft "Farbe" nicht zu unterscheiden (da sie vorher schon zB an der Eigenschaft "Größe" nicht unterscheidbar waren, nehme ich an), aber immer noch an der Eigenschaft "räumliche Lage". Interessanterweise stellt sich dabei das Problem, dass wir Schwierigkeiten haben, die Hemden von heute mit denen von gestern zu identifizieren. Man muss lange überlegen, was „unterscheidbar“ (im Gegensatz zu „unterscheidbar“) und „dasselbe“ bedeuten.

F3: Die Unterscheidbarkeit von Elementen (die identisch gefärbte Hemden zulassen kann) ist von wesentlicher Bedeutung, da Sie nicht gleich zählen möchtenerneut widersprechen (das würde Sie mit nur einer einzigen Münze in der Tasche zu einem reichen Mann machen). Ein völlig (?) anderer Ansatz besteht darin, "Zahl" als die Äquivalenzklasse von Mengen zu definieren (und es scheint, dass Fines "Gruppe" das ist, was wir heute "Menge" nennen würden) unter "Äquinumerabilität" (dh Existenz einer Bijektion zwischen den Sätze). Auf diese Weise entspricht (oder ist es tatsächlich) das Konzept der 2 oder Zweiheit der Klasse aller Mengen $X$, so dass es eine Bijektionsform $X$ zu jeder spezifischen Menge von (was wir nennen) zwei Elementen gibt, wie z als $\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$. Wem (eigentliche) Klassen ein Graus sind, dem fällt vielleicht auf, dass jede solche Äquivalenzklasse eine spezielle „einfache“ Menge enthält, eine Ordinalzahl (zumindest im endlichen Fall und im Allgemeinen unter der Annahme des Auswahlaxioms).

"Anzahl der Dinge" im allgemeinen Englisch: Es gibt nicht genug Informationen im Begriff allein, um eine Antwort zu geben.

Das Problem ist der Begriff "Dinge". Im allgemeinen Englisch würde sich dies auf eine bereits definierte Anordnung beziehen, zum Beispiel die Anzahl der Artikel gleicher Farbe oder die Anzahl der Eier in einer Schachtel oder die Anzahl der Ziffern "3" in einer Telefonnummer.

Ohne dies ist die Bedeutung von "Anzahl der Dinge" vielfältig - es ist die Anzahl der Objekte in einem Container jeder Art / Größe, klassifiziert nach jeder Methode, die Sie sich vorstellen möchten.

Ich schlage Ihnen vor, die Definition von Fine mit der folgenden Diskussion von RL Goodstein, Recursive Number Theory (1957) zu vergleichen :

Die Frage 'Was ist die Natur einer mathematischen Entität?' ist eine, die Denker seit über zweitausend Jahren interessiert und sich als sehr schwer zu beantworten erwiesen hat. Sogar die wichtigste dieser Entitäten, die natürliche Zahl, hat die Unfassbarkeit eines Irrlichts, wenn wir versuchen, sie zu definieren.

Einer der Gründe für die Schwierigkeit zu sagen, was Zahlen sind, liegt darin, dass wir in der Welt um uns herum auf nichts zeigen können, wenn wir nach einer Definition der Zahl suchen. Die Zahl Sieben ist zum Beispiel keine bestimmte Sammlung von sieben Objekten, denn wenn sie es wäre, dann könnte man sagen, dass keine andere Sammlung sieben Mitglieder hat; denn wenn wir die Eigenschaft, sieben zu sein, mit der Eigenschaft, eine bestimmte Sammlung zu sein, identifizieren, dann ist sieben zu sein eine Eigenschaft, die keine andere Sammlung haben kann. Ein vernünftigerer Versuch, die Zahl sieben zu definieren, wäre zu sagen, dass die Eigenschaft, sieben zu sein, die Eigenschaft ist, die alle Sammlungen von sieben Objekten gemeinsam haben. Die Schwierigkeit dieser Definition liegt jedoch darin, soll nur sagen, was alle Sammlungen von sieben Objekten wirklich gemeinsam haben (selbst wenn wir so tun, als könnten wir jemals alle Sammlungen von sieben Objekten kennenlernen). Sicherlich ist die Nummer einer Sammlung keine Eigenschaft derselben in dem Sinne, wie die Farbe einer Tür eine Eigenschaft der Tür ist, denn wir können die Farbe einer Tür ändern, aber wir können die Nummer einer Sammlung nicht ändern, ohne die Sammlung zu ändern selbst. Es macht durchaus Sinn zu sagen, dass eine Tür, die früher rot war und jetzt grün ist, dieselbe Tür ist, aber es ist Unsinn, von einer Sammlung von sieben Perlen zu sagen, dass es dieselbe Sammlung wie eine Sammlung von acht Perlen ist. Wenn die Nummer einer Sammlung eine Eigenschaft einer Sammlung ist, dann ist sie eine definierende Eigenschaft der Sammlung, ein wesentliches Merkmal. denn wir können die Farbe einer Tür ändern, aber wir können die Nummer einer Sammlung nicht ändern, ohne die Sammlung selbst zu ändern. Es macht durchaus Sinn zu sagen, dass eine Tür, die früher rot war und jetzt grün ist, dieselbe Tür ist, aber es ist Unsinn, von einer Sammlung von sieben Perlen zu sagen, dass es dieselbe Sammlung wie eine Sammlung von acht Perlen ist. Wenn die Nummer einer Sammlung eine Eigenschaft einer Sammlung ist, dann ist sie eine definierende Eigenschaft der Sammlung, ein wesentliches Merkmal. denn wir können die Farbe einer Tür ändern, aber wir können die Nummer einer Sammlung nicht ändern, ohne die Sammlung selbst zu ändern. Es macht durchaus Sinn zu sagen, dass eine Tür, die früher rot war und jetzt grün ist, dieselbe Tür ist, aber es ist Unsinn, von einer Sammlung von sieben Perlen zu sagen, dass es dieselbe Sammlung wie eine Sammlung von acht Perlen ist. Wenn die Nummer einer Sammlung eine Eigenschaft einer Sammlung ist, dann ist sie eine definierende Eigenschaft der Sammlung, ein wesentliches Merkmal.

Dies bringt uns jedoch der Antwort auf unsere Frage „Was haben alle Sammlungen von sieben Objekten gemeinsam?“ nicht näher. Eine gute Methode, um bei einer solchen Frage voranzukommen, besteht darin, sich zu fragen: „Woher wissen wir, dass eine Sammlung sieben Mitglieder hat?“. denn die Antwort auf diese Frage sollte sicherlich etwas ans Licht bringen, was Sammlungen von sieben Objekten gemeinsam haben. Eine offensichtliche Antwort ist, dass wir die Nummer einer Sammlung herausfinden, indem wir die Sammlung zählen, aber diese Antwort scheint uns nicht zu helfen, weil wir beim Zählen einer Sammlung anscheinend nicht mehr tun, als jedes Mitglied der Sammlung damit zu „etikettieren“. eine Zahl. (Stellen Sie sich eine Reihe von Soldaten vor, die sich abzählen.

Jedes Mitglied einer Sammlung mit einer Nummer zu kennzeichnen, wie wir es beim Zählen zu tun scheinen, bedeutet im Grunde, eine Korrespondenz zwischen den Mitgliedern zweier Sammlungen, den zu zählenden Objekten und den natürlichen Zahlen herzustellen. Wenn wir zum Beispiel eine Sammlung von sieben Objekten zählen, stellen wir eine Entsprechung zwischen den gezählten Objekten und den Zahlen von eins bis sieben her. Jedem Objekt wird eine eindeutige Nummer zugewiesen und jede Nummer (von eins bis sieben) ist einem Objekt der Sammlung zugewiesen. Wenn wir sagen, dass zwei Sammlungen ähnlich sind, wenn jede einen eindeutigen Partner in der anderen hat, dann kann man sagen, dass das Zählen einer Sammlung eine Sammlung von Zahlen bestimmt, die der gezählten Sammlung ähnlich sind.

Die Schwäche der Definition liegt in diesem Begriff der Entsprechung. Woher wissen wir, wann zwei Elemente übereinstimmen? Die Tassen und Untertassen in einer Sammlung von Tassen, die in ihren Untertassen stehen, haben eine offensichtliche Entsprechung, aber was ist die Entsprechung zwischen, sagen wir, den Planeten und den Musen? Es hat keinen Zweck zu sagen, dass wir, selbst wenn es keine offensichtliche Korrespondenz zwischen den Planeten und den Musen gibt, leicht eine herstellen können, denn woher wissen wir das, und was noch wichtiger ist, welche Art von Korrespondenz lassen wir zu? Bei der Definition von Zahl im Sinne von Ähnlichkeit haben wir lediglich den schwer fassbaren Zahlbegriff durch den ebenso schwer fassbaren Begriff der Entsprechung ersetzt.

Einige Mathematiker haben versucht, der Schwierigkeit bei der Definition von Zahlen zu entkommen, indem sie Zahlen mit Zahlen identifizierten. Die Nummer eins wird mit der Ziffer 1 identifiziert, die Nummer zwei mit der Ziffer 11, die Nummer drei mit 111 und so weiter. Aber dieser Versuch scheitert, sobald man merkt, dass die Eigenschaften von Zahlen nicht die Eigenschaften von Zahlen sind. Zahlen können blau oder rot sein, gedruckt oder handgeschrieben, verloren und gefunden, aber es macht keinen Sinn, Zahlen diese Eigenschaften zuzuschreiben, und umgekehrt können Zahlen gerade oder ungerade, Primzahlen oder zusammengesetzt sein, aber das sind keine Eigenschaften von Zahlen.

Die Antithese von „Zahl“ und „Numeral“ ist eine in der Sprache gebräuchliche, und vielleicht ist ihre bekannteste Instanz in dem Begriffspaar „Proposition“ und „Satz“ zu finden. Der Satz ist eine physische Darstellung des Satzes, kann aber nicht mit dem Satz identifiziert werden, da verschiedene Sätze (zum Beispiel in verschiedenen Sprachen) denselben Satz ausdrücken können. [siehe Typen und Token ]

Das Schachspiel bietet, wie schon oft beobachtet wurde, eine hervorragende Parallele zur Mathematik (oder auch zur Sprache selbst). Den Ziffern entsprechen die Schachfiguren und den Rechenoperationen die Spielzüge.

Hier endlich finden wir die Antwort auf das Problem der Natur der Zahlen. Wir sehen erstens, dass wir zum Verständnis der Bedeutung von Zahlen auf das „Spiel“ schauen müssen, das die Zahlen spielen, das heißt auf die Arithmetik. Die Zahlen eins, zwei, drei usw. sind Charaktere im Rechenspiel, die Figuren, die diese Charaktere spielen, sind die Ziffern, und was ein Zeichen zur Ziffer einer bestimmten Zahl macht, ist die Rolle, die es spielt oder als wir können in einer dem Kontext angemesseneren Wortform sagen, was ein Zeichen das Zeichen einer bestimmten Zahl ausmacht, sind die Transformationsregeln des Zeichens. Daraus folgt, dass der Untersuchungsgegenstand NICHT DIE ZAHL SELBST, SONDERN DIE UMWANDLUNGSREGELN DER ZAHLZEICHEN .

Spannend, aber diskussionswürdig ...

Frege hat diese Ansicht bereits vor mehr als 60 Jahren kritisiert; siehe Gottlob Frege, Basic Laws of Arithmetic (1893), neue englische Übersetzung von Philip Ebert & Marcus Rossberg, Oxford UP 2013, Seite xiii :

[es gibt eine] weitverbreitete Tendenz, nur das zu akzeptieren, was als Sein empfunden werden kann. [...] Jetzt sind die Objekte der Arithmetik, die Zahlen, nicht wahrnehmbar; wie kommt man damit klar? Sehr einfach! Erkläre die Zahlzeichen als Zahlen. [...] Gelegentlich scheint es, als würden die Zahlenzeichen wie Schachfiguren und die sogenannten Definitionen als Spielregeln betrachtet. Das Zeichen bezeichnet dann nichts, sondern ist die Sache selbst. Ein kleines Detail wird dabei natürlich übersehen; nämlich dass ein Gedanke durch "3^2 + 4^2 = 5^2" ausgedrückt wird, während eine Konfiguration von Schachfiguren nichts aussagt.

Um Fines Definition von "Zahl der Dinge" zu verdeutlichen, die sich deutlich von der "modernen" mengentheoretischen Herangehensweise unterscheidet, halte ich es für nützlich, sie auf die philosophische Tradition des britischen Emprismus des 19. Jahrhunderts zu beziehen.

Insbesondere der Philosoph John Stuart Mill widmete einen Teil seiner Arbeit A System of Logic, Ratiocinative and Inductive (1843) der Diskussion der Grundlagen der Arithmetik.

Hier einige Passagen, die - so hoffe ich - Fines Definition verdeutlichen können:

Drei Kieselsteine ​​in zwei getrennten Paketen und drei Kieselsteine ​​in einem Paket machen auf unsere Sinne nicht den gleichen Eindruck, und die Behauptung, dass genau dieselben Kieselsteine ​​​​durch eine Änderung des Ortes und der Anordnung dazu gebracht werden können, entweder den einen Satz von zu erzeugen Empfindungen oder das andere, obwohl ein sehr bekannter Satz, ist nicht identisch. [...]

Die grundlegenden Wahrheiten dieser Wissenschaft [der Wissenschaft der Zahlen] beruhen alle auf dem Beweis des Sinns – sie werden bewiesen, indem wir unseren Augen und unseren Fingern zeigen, dass eine beliebige Anzahl von Objekten, zum Beispiel zehn Bälle, durch Trennung und Neuanordnung entstehen können für unsere Sinne all die verschiedenen Mengen von Zahlen, deren Summe gleich zehn ist. ( KW VII, 256-57)

Wenn wir also sagen, dass der Würfel von 12 1782 ist, bestätigen wir Folgendes: Wenn wir eine ausreichende Anzahl von Kieselsteinen oder anderen Objekten haben, setzen wir sie zu einer bestimmten Art von Paketen oder Aggregaten zusammen, die Zwölfer genannt werden; und diese selbst zu ähnlichen Sammlungen zusammenstellen und schließlich zwölf dieser größten Parzellen zusammenstellen: Die so gebildete Gesamtheit wird eine solche sein, die wir 1728 nennen; nämlich das, was (um die vertrauteste seiner Bildungsmethoden zu nehmen) hergestellt werden kann, indem das Paket namens tausend Kieselsteine, das Paket namens siebenhundert Kieselsteine, das Paket namens zwanzig Kieselsteine ​​​​und das Paket namens acht Kieselsteine ​​​​zusammengefügt werden. ( KW VII: 611-12)

Mills naturalistischer Zugang zu den Grundlagen der Arithmetik basiert auf den "grundlegenden" Prozessen des Verbindens und Trennens, die "Aggregate" physischer Objekte hervorbringen und zerlegen.

Die empiristische Sichtweise von Mill wurde von Gottlob Frege in seiner fundamentalen Die Grundlagen der Arithmetik ( 1884) scharf kritisiert.

Für eine Darstellung von Mills Philosophie der Mathematik siehe Philip Kitcher, Mill, mathematik, and the naturalist tradition , in John Skorupski (Hrsg.), The Cambridge Companion to Mill (1998), Seite 57-ff.

In dem Buch unterscheidet sich die "Anzahl der Dinge" effektiv von ihrer Darstellung. Angenommen, Sie haben Gäste, die Sie zu einer Party einladen möchten. Wie viele Gäste laden Sie ein?

Wenn Sie 5 Freunde einladen, nennen wir sie John, Fred, Mary, Jill und Barney. Es gibt 5 Gast-Freund-Sachen, die du zur Party einlädst.

Aber was ist, wenn die Party ein Maskenball ist und sie alle verkleidet sind? John ist als Geist verkleidet, Fred als Kobold, Mary als Hexe, Jill als Kürbis und Barney als Dinosaurier. Nur weil sie jetzt Geist, Kobold, Hexe, Kürbis und Dinosaurier sind, ändert sich nichts an der Anzahl der Gast-Freund-Sachen, die Sie zur Party eingeladen haben. Ihre Eigenschaften haben sich verändert – sie sehen nicht mehr wie deine Freunde aus, sie sehen aus wie ihre Verkleidungen.

Was, wenn die 5 alle als ununterscheidbare Geister verkleidet kommen? Bedeutet das, dass wir sagen, dass nur ein Geist zu Ihrer Party gekommen ist? Nein, denn sie können immer noch durch ihre räumliche Lage, Ankunftszeit, Größe, Gewicht, Blattfarbe usw. unterschieden werden.

Was wäre, wenn sie genau das gleiche Kostüm tragen und Sie nie mehr als eines gleichzeitig sehen würden - so dass es keine definierenden Merkmale gibt, die einen Freund vom anderen trennen? Sie sind sich vielleicht nicht sicher, wie viele Gast-Freund-Sachen Sie auf Ihrer Party hatten. DIESE Transformation hat die Unterscheidbarkeit zerstört, die sie zuvor getrennt hat, daher ist sie keine gültige Transformation zum Aufzählen der Anzahl von Dingen.

Die Idee der „Anzahl von Dingen“ in Bezug auf Ihre Einladungen ist speziell das Eigentum der Gruppe, sodass alle Änderungen (Neubeschriften, Neunummerieren, Neuordnen, aber NICHT Duplizieren, Eliminieren oder Zählen von Teilmengen), die die Unterscheidbarkeit der Elemente bewahren, dieses Eigentum beibehalten . Es geht nicht darum, ob der Wert dieser Eigenschaft 1, 5 oder eine Million Milliarden beträgt oder nicht, sondern nur darum, dass die „Anzahl der Dinge“ ein endlicher Wert ist, der diese Eigenschaft erhält.

In Bezug auf einfaches Englisch ist die Anzahl der Dinge nur ... die Anzahl der interessanten Elemente. Einfacher geht es nicht, und weil es sich um ein so einfaches Konzept handelt, ist es sehr schwierig, eine präzise Definition zu schreiben, die keine Probleme mit möglichen umgangssprachlichen Ausdrücken verursacht.

Diese Frage (und übrigens viele der Antworten) übersieht den Zweck der mathematischen Theorie, der darin besteht, Axiome als etwas Gegebenes zu behandeln. Wir nehmen an, dass wir eine Vorstellung von (zum Beispiel) Unterscheidbarkeit haben, und untersuchen dann die Konsequenzen dieser Vorstellung.

Mit anderen Worten, es ist unmöglich, die Frage zu stellen "Wie viele Elemente enthält die Menge $\{A,A,B\}$?" ohne zuerst Axiome über $A$ und $B$ anzugeben. Gemäß der mathematischen Standardsyntax sollten wir diese Frage wirklich nur stellen, nachdem wir sie in $\{A,A',B\}$ umbenannt haben, um Verwirrung zu vermeiden, aber dies ist eine Frage der Kommunikation und Praktikabilität, nicht des Dogmas und sicherlich nicht einiger eine Art Wahrheit über Mengen.

Mathematik ist, in den Worten von Roberto Unger, eine „visionäre Erforschung eines Simulakrums der Welt“. Wenn Sie mit der Vision eines anderen nicht einverstanden sind, ist das vollkommen in Ordnung. Aber wenn Sie denken, dass Sie ein Problem mit der Mathematik selbst haben, dann besteht die Möglichkeit, dass Sie Ihre eigenen Widersprüche erzeugen, indem Sie die Sprache missbrauchen. Wenn Sie sich darüber im Klaren sind, welche Eigenschaften Ihr Begriff der Unterscheidbarkeit haben soll, dann gilt die Mengenlehre , es ist nur eine Frage des Wie. Sie schreibt keine bestimmte Form der Unterscheidbarkeit vor, sondern erforscht vielmehr die Gemeinsamkeiten zwischen allen Formen der Unterscheidbarkeit.

Es scheint, dass die Antwort auf Ihre Frage stark damit verbunden ist, was „ein Ding“ ist. Sie wissen vielleicht, dass diese Frage, so abstrakt sie auch sein mag, in der Physik-Community im Zusammenhang mit der Quantenfeldtheorie und den Grundlagen der Quantenmechanik wiederholt gestellt wurde (siehe zum Beispiel Paul Teller und Chris Isham). Eine der Schlussfolgerungen ist, dass der Begriff einer Sache als einer Essenz, der Eigenschaften „haften“, abzulehnen ist. Das ist es, was Teller als das Problem mit dem „gekennzeichneten Tensorprodukt-Hilbert-Raum-Formalismus“ beschreibt, da er mit den tatsächlich beobachteten physikalischen Verhaltensweisen nicht vereinbar ist. Wenn Sie also eine universelle Definition von „Anzahl von Dingen“ wollen, kommen Sie nicht um diese Überlegungen herum, was ein Ding ist und was Unterscheidbarkeit aus physikalischer Sicht ist.

Nur um Ihnen ein Beispiel zu geben, nehmen wir an, Sie haben ein Photon in der rechten und eines in der linken Hand. Sie können sie unterscheiden, indem Sie sich darauf beziehen, in welcher Hand sie sich befinden. Die Anzahl der Möglichkeiten, sie in Ihre Tasche zu stecken, ist also 2 (zuerst die in Ihrer linken Hand, dann die in Ihrer rechten Hand oder umgekehrt). . Sobald sie jedoch in der Tasche sind, werden sie physisch nicht mehr zu unterscheiden, und „die Anzahl der Möglichkeiten, sie herauszunehmen“, ist 1 (der eine kommt heraus, dann der andere).