Alternativen zur axiomatischen Methode

Rota selbst weist in seinem Artikel auf Methoden hin, die die axiomatische Methode ergänzen können:

• historische Analyse
• psychologische Erklärungen
• Umkehrüberlegungen

Rota macht die Mathematik dafür verantwortlich, dass Entwicklungen der analytischen Philosophie ahistorisch und von der Psychologie getrennt wurden. Was unfair ist, denn Mathematik war nie ahistorisch.

Unter den von Rota angedeuteten Methoden sind die Umkehrbetrachtungen die einzige wirkliche Alternative zur axiomatischen Methode. Seine Darstellung ist wieder etwas unfair:

Führen Sie folgendes Gedankenexperiment durch. Angenommen, Sie erhalten zwei formelle Präsentationen derselben mathematischen Theorie. Die Definitionen der ersten Darstellung sind die Sätze der zweiten und umgekehrt. Diese Situation tritt häufig in der Mathematik auf. Welche der beiden Darstellungen macht die Theorie „wahr“? Offensichtlich auch nicht: Was wir haben, sind zwei Präsentationen derselben Theorie.

Das Programm der umgekehrten Mathematik wurde 1975 von Harvey Friedman gegründet. Rota wusste es sicherlich, und ich behaupte, es war die Motivation, warum er diesen Absatz schrieb. Lassen Sie mich einige Gründe nennen, warum sich die umgekehrte Mathematik von der axiomatischen Methode unterscheidet:

• Die auf ZFC basierende axiomatische Methode ist absolute Mainstream-Mathematik, während die umgekehrte Mathematik nur ein spezielles Thema in der mathematischen Logik ist, das von sehr wenigen Menschen studiert wird
• Sätze der Form "Folgende Charakterisierungen sind äquivalent: 1. ... 2. ... 3. ... " sind in der Mathematik üblich, aber umgekehrte Mathematik geht darüber hinaus, indem sie auch die strikte Ungleichheit zwischen verschiedenen Systemen beweist
• Eine übliche Methode in der Rückwärtsmathematik, um die strikte Eindämmung zwischen zwei Systemen zu beweisen, besteht darin, zu zeigen, dass das Größere die Konsistenz des Kleineren beweist
• das Reverse-Mathematik-Programm arbeitet über eine Basistheorie, die axiomatisch präsentiert wird, die Beweise der Äquivalenz oder Konsistenz sind ebenfalls axiomatisch, aber die Schlussfolgerungen der strengen Eindämmung (oder Ungleichheit) gehen über die axiomatische Methode hinaus

Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob Asaf Karagila zustimmen würde, dass die Art und Weise, wie (sorgfältig angepasste Versionen von) Gödels Theoremen als Metatheoreme verwendet werden, um die strikte Eindämmung in der umgekehrten Mathematik zu beweisen, als über die axiomatische Methode hinausgeht. Selbst wenn ich es ausführlicher ausführen würde, könnte es sich für ihn immer noch "wie viele Worte ohne viel Bedeutung anfühlen". Und vielleicht würde ich wirklich den Punkt verfehlen, indem ich zu nahe an Rotas impliziten Hinweisen und vereinfachten Bildern bliebe. Der eigentliche Punkt könnte sein, dass Harvey Friedman (und einige andere) Hilberts Traum, eine Grundlage der Mathematik zu finden, die diesen Namen verdient, nicht aufgegeben haben. Im Gegensatz zu ZFC, einer Basistheorie wie Friedman':

Dieser "privilegierte" Status arithmetischer Anweisungen ist gewissermaßen der Grund, warum ich protestiere, dass PA kein schwaches System ist. Ich finde EFA in dieser Hinsicht viel besser, da der "Mathematiker auf der Straße" mit einem "vernünftigen" Hintergrund in mathematischer Logik (wie Scott Aaronson ohne Zweifel hat) in einer viel besseren Position sein wird, um die Bedeutung der Unabhängigkeitsergebnisse zu verstehen für dieses spezifische System (so dass es keine Schnittelimination beweisen kann), was es bedeutet, dieses System zu akzeptieren (die erlaubten Berechnungen sind nicht mehr "durchführbar") und was es bedeutet, über dieses System hinauszugehen (Potenzierung ist eine analytische Funktion in komplexer Funktion Theorie, Superexponentiation jedoch nicht).

Verzeihen Sie mir ein weiteres Zitat , um wirklich darauf hinzuweisen, dass EFA nicht willkürlich ist:

Zumindest für Fragmente der Arithmetik wurde eine explizitere Trennlinie zwischen schwachen und starken Systemen verwendet (im zitierten Kapitel 2 ): ​​„Die Grenze zwischen starken und schwachen Fragmenten wird etwas willkürlich zwischen jenen Theorien gezogen, die die arithmetische Version von beweisen können das Cut-Elimination-Theorem und diejenigen, die dies nicht können; in der Praxis ist dies gleichbedeutend damit, ob die Theorie beweisen kann, dass die superexponentielle Funktion total ist.

Gemäß dieser Trennlinie ist Friedmans Exponentialfunktionsarithmetik (EFA) ein schwaches Fragment der Arithmetik. Aber wenn es um die Frage geht, ob Unabhängigkeitsergebnisse für P != NP bewiesen werden können, dann scheint EFA ein wirklich interessanter Kandidat zu sein, gerade weil es keine Schnittelimination beweisen kann. Es würde ein interessantes Licht auf die Rolle der Argumentation höherer Ordnung werfen.

Die psychologischen Erklärungen sind schwieriger, zumindest für mich. Ich weiß nicht viel über die Rolle der Psychologie in der Mathematik, aber ich stimme Rota zu, dass die Psychologie zu wichtig für die Philosophie ist, um sie an die psychologische Fakultät zu delegieren. Aber auch in der Mathematik geht es bei einem Beweis immer noch darum, einem anderen Mathematiker zu erklären ("ihn zu überzeugen"), warum eine bestimmte Tatsache wahr ist, und dafür ist die Psychologie nicht unerheblich. Und auch die Psychologie spielt eine Rolle, wenn es darum geht, aus mathematischen Sätzen falsche Schlüsse zu ziehen .

Die historische Analyse hilft wirklich, die Dinge in der Mathematik (und Philosophie) auf eine Art und Weise in Ordnung zu bringen, die die axiomatische Methode niemals erreichen kann. Ich darf mich hier nochmal selbst zitieren :

Apropos Politik, man sollte sich der Tatsache bewusst sein, dass Cantors (Philosophie dahinter) Mengenlehre und sein Beharren darauf, dass die einzig wirkliche Frage Konsistenz sei, politisch motiviert war ( http://philosophy.stackexchange.com/questions/4175/cantor- and-infinities/4287#4287 ), um Machtmissbrauch durch etablierte Mathematiker wie Leopold Kronecker zu verhindern. (Er gründete sogar die "Deutsche Mathematiker Vereinigung" für denselben Zweck.) Und es ist mir nicht klar, wie viel Alfred Tarski und John von Neumann eine Rolle bei der Etablierung der Logik erster Ordnung + ZFC als unbestrittene Grundlagen der Mathematik gespielt haben. Zumindest Tarski hatte die „Macht des Establishments“ schon einmal erlebt ( https://en.wikipedia.org/wiki/Tarski%27s_theorem_about_choice), und beide hatten die Erfahrung, Arbeiten aus ihrer eigenen Sprache ins Deutsche und später ins Englische zu übersetzen. Sie wussten also um den Wert etablierter Grundlagen für das Betreiben von Mathematik im Gegensatz zu fruchtlosen Diskussionen (die am Ende von der Macht des Establishments entschieden würden).

Dieses Zitat zeigt, dass sich die aktuelle Art und Weise, wie die axiomatische Methode in der Mathematik verwendet wird, grundlegend von der Art und Weise unterscheidet, wie die alten Griechen die axiomatischen Methoden in der euklidischen Geometrie verwendeten. Kann es überhaupt als dieselbe Methode angesehen werden? Es ist die gleiche Methode im Kontext von Agrippas Trilemma , aber es ist nicht die gleiche Methode im Kontext der mathematischen Praxis.

Solange Sie nicht klar spezifizieren, was Sie mit der axiomatischen Methode meinen, wird es sehr schwer zu erklären sein, wie sich eine Alternative von der axiomatischen Methode unterscheidet. Sie sehen vielleicht ein ähnliches Problem mit der stoischen Wut, die behauptet, dass die Wissenschaft ausschließlich die wissenschaftliche Methode verwendet , und ich frage mich, wie die Mathematik mit ihrer axiomatischen Methode und die Medizin mit (ihrem hippokratischen Eid und) ihren Doppelblindstudien (um Placebo-Effekte zu behandeln) nicht unterschiedliche Methoden verwendet haben . Auch hier argumentierte ich mit historischer Analyse, um darauf hinzuweisen, dass "Mathematik und Medizin wesentlich älter sind als die wissenschaftliche Methode".

Der Prozess der Mathematik hat sich weiterentwickelt. Wir haben gute Aufzeichnungen über voraxiomatische Mathematik, und jede davon war zu ihrer Zeit streng.

Die Mathematik begann als experimentelle Wissenschaft. Die Ägypter erfanden Formeln aus intuitiven Vorstellungen von Geometrie, und sie maßen, um die Genauigkeit ihrer Vermutungen zu bestimmen. Wir haben Manuskripte, die Formeln für Dinge wie den Kegelstumpf enthalten, die einfach falsch sind und später herausgeschnitten werden, da sie sich als nicht genau erwiesen haben.

Als sich die Mathematik bei der Vorhersage der Positionen von Dingen am Himmel als ausreichend erwiesen hatte, begann man, sie zu verwenden, um die Positionen von Dingen auf der Erde zu bestimmen. Die Ägypter entwickelten die für die Vermessung geeignete Trigonometrie aus der Astronomie heraus, aber erst nachdem letztere konsequent funktionierte. Sie haben experimentell Strenge durch Tests auferlegt. Und diese Mathematik war für ihre Zeit streng.

Die Pythagoräer passten diesen Experimentalismus in eine authentischere Art an, intern nach logischen Mustern aus mathematischen Ableitungen zu suchen. Aber sie fühlten ihre Methoden, die sich stark auf Brüche stützten, durch die Existenz irrationaler Zahlen bedroht. Hätten sie die innere Sicherheit, die moderne Mathematiker haben, wäre dies kein Grund zur Sorge. Sie empfanden ihre Intuition als nicht wirklich vertrauenswürdig. Aber die Mathematik, die sie machten, war für ihre Zeit streng.

Calculus entstand aus einem intuitiven Verständnis der kartesischen Geometrie. Die reellen Zahlen und ihre unendliche Teilbarkeit boten Newton zum Beispiel die Intuition von Zahlen als „Flüssen“ von Größen. Es war ein Begriff, der tief in das mechanische Bewusstsein eingebettet war und nur in Situationen Bestand hatte, in denen diese Korrelation von numerischer Evolution und Bewegung galt. Unendlich kleine Zahlen konnten verwendet werden, weil sie das Gefühl ausdrückten, dass alle realistischen mathematischen Situationen hochgradig differenzierbar waren. Es dauerte über ein Jahrhundert, diesen Ansatz vollständig aus der Mathematik zu entfernen. Aber auch hier war es zu seiner Zeit streng.

Jetzt haben wir die motivierenden physikalischen und metrischen Intuitionen aus der überwiegenden Mehrheit der Mathematik abstrahiert und sie nach dem Vorbild der griechischen Geometrie auf die Axiomatik reduziert. Wir haben die Begriffe formalisiert, die aus einem direkteren Studium deduktiver Systeme hervorgegangen sind.

Wir fühlen uns wohler, wenn wir Ergebnisse in eine Axiomatisierung gießen können, aber das Ausgangsmaterial für die moderne Mathematik entsteht nicht aus den Axiomen, sondern kommt wie immer aus intuitiven Modellen und wird in die validierende Axiomatisierung übersetzt.

Es ist auch nicht für die gesamte moderne Mathematik möglich. Das Studium des Universums aller Ordinalzahlen, etwas, das die Mengentheorie und die damit verbundene Logik nicht umfassen können, wurde fortgesetzt und nähert sich einer vollständigen Theorie. Dadurch wird diese Art von Mathematik „draußen“ platziert, wo sie für andere Zweige nicht nützlich ist. Aber damit ist noch lange nicht Schluss.

Die Axiomatisierung ist also nur die neueste Form der Mathematik, und es ist nicht einmal die Form, die die gesamte aktuelle Mathematik annimmt. Es ist ein leistungsstarkes Tool zum Überprüfen von Ergebnissen, aber es ist nicht gut darin, sie zu generieren. Auch wenn es eine Hauptmethode bleibt, ist es nicht wirklich die Methode, sondern nur das Mittel, um sicherzustellen, dass die anderen Methoden miteinander verbunden bleiben und in der Lage sind, sich zu teilen.

Die nicht-axiomatische Methode ist in der Arbeit angewandter Mathematiker üblich. Um die Wende des 20. Jahrhunderts erkannten führende Mathematiker wie Felix Klein zwar die Bedeutung von Axiomatisierungen an, warnten jedoch davor, dass sie eine zweite Geige gegenüber anderen fruchtbaren Entwicklungen sein könnten, bei denen solche Axiomatisierungen nicht so relevant sind. Klein beauftragte ein Team hochkarätiger Gelehrter mit der Entwicklung einer mehrbändigen Enzyklopädie von Anwendungen der Mathematik in Bereichen, die von der Physik bis zum Ingenieurwesen reichen. Axiomatisierungen sind für diese wichtigen mathematischen Entwicklungen nahezu irrelevant.

Felix Klein ist einer der Superstars der Mathematik des 20. Jahrhunderts und die Gültigkeit seiner Arbeit ist unbestritten. Beachten Sie, dass der Begriff "Strenge" in der Formulierung Ihrer Frage nicht vorkam. Seine Bedeutung ist zweifelhaft und besonders bei der Philosophie könnte SE naiv wirken. Viele Mathematiker (wenn auch keineswegs alle) neigen dazu, "rigorose Mathematik" mit "Mathematik in einem axiomatischen ZFC-Rahmen" zu identifizieren, und von diesem Standpunkt aus könnte es sicherlich keine rigorose Arbeit außerhalb des axiomatischen Rahmens geben, ja. Aber das ist eine eher reduzierende Sichtweise, die wohl viele Redakteure der Philosophy SE nicht teilen würden.

Hier ist ein nützlicher Beitrag, den Sie konsultieren sollten, wenn Sie der Meinung sind, dass die meisten mathematischen Aktivitäten etwas mit axiomatischen Rahmenwerken zu tun haben.

Während sich die einmal entdeckten Fakten der Mathematik niemals ändern werden

Das stimmt zwar, aber die relative Bedeutung dieser Tatsachen an der Grenze der Mathematik wird sich ändern; Beispielsweise wurde die Gruppentheorie einst „Gruppenpest“ genannt, während sie heute allgemein als Mathematik der Symmetrie anerkannt und bekannt ist, obwohl Symmetrie ein umfassenderes Konzept als dieses ist, Beweis: Schauen Sie sich das Konzept des Groupoids an, das ein umfassenderes Konzept ist, und zwar genau definiert.

Euklid wird allgemein als Musterbeispiel der axiomatischen Methode bezeichnet; aber schauen Sie sich den Begriff „Geometrie“ an; geo, der Erde, Maßeinheit, und von dort aus kann man erkennen, woher die Mathematik als Geometrie, die Messung oder die Maßeinheit der Erde kam.

Feynman teilte die Wissenschaft grob in Mathematik im griechischen Stil und im babylonischen Stil ein; Ersteres nimmt in der Diskussion über die Philosophie der Mathematik den Löwenanteil der Aufmerksamkeit ein, aber die bloße Tatsache, dass Feynman die Wissenschaft in diese beiden Teile unterteilt hat, sollte uns darauf aufmerksam machen - und ich verwende dieses Wort absichtlich und absichtlich - dass die Letzteres ist wichtig und wird zu wenig untersucht und zu wenig theoretisiert; Eine solche Studie könnte man eine Anthropologie der Mathematik nennen, die Studie darüber, wie Männer (und Frauen) Mathematik machen und warum.