Welche exakten Lösungen der klassischen Yang-Mills-Gleichungen sind bekannt?

Ich interessiere mich für den Fall der reinen Spurweite (unabhängig von den Feldern) in der Minkowski-Raumzeit mit einfachen Spurgruppen. Es wäre schön, wenn jemand einen Übersichtsartikel finden könnte, der alle diese Lösungen bespricht

BEARBEITEN: Ich denke, diese sind für die Physik entsprechender QFTs im Hochenergie- / Kleinmaßstabsregime relevant. Dies liegt daran, dass das Pfadintegral für eine reine Eich-Yang-Mills-Theorie die Form hat

∫ exp ⁡ ( ich S [ EIN ] ℏ ) D EIN

Bei hohen Energien haben wir das Verhalten der Renormierungsgruppe g → 0 (asymptotische Freiheit), die äquivalent durch Fixierung beschrieben werden kann g und vermieten ℏ → 0 .

BEARBEITEN: Für den Zweck dieser Frage ist eine "exakte" Lösung eine Lösung in geschlossener Form Modulo-Einzelvariablenfunktionen, die durch bestimmte ODEs und Anfangs- / Randbedingungen definiert sind.

Wenn es eine solche Lösung gibt, ist sie meiner bescheidenen Meinung nach zu nichts gut - sie kann nicht physisch sein. Es braucht zumindest Renormalisierungen und vielleicht die Lösung des Infrarotproblems. Ich kann Ihnen nur ein Spielzeugmodell anbieten, um die Schwierigkeiten zu erklären: docs.google.com/…
@Vladimir: Vielleicht bedeutet das OP mit "reinem Messgerät" "ohne Materie", keine Lösung, die ein reines Messgerät in dem Sinne ist, dass es sich um eine Messgerättransformation der trivialen Lösung A = 0 handelt . Zumindest ist dies die einzige Lesart, die die Frage nicht trivial macht.
Vielleicht hilft eine Beschreibung der Motivation. Die Ferneigenschaften reiner Eichtheorien im Minkowski-Raum sind stark quantenmechanisch, daher ist es schwer vorstellbar, dass es viele physikalische Motivationen gibt, klassische Lösungen zu betrachten. Vielleicht gibt es eine mathematisch-physikalische Motivation, eine spezielle Struktur, die diese Lösungen haben, oder vielleicht sind dies Spielzeugmodelle für andere nichtlineare Differentialgleichungen usw. usw.
Moshes Kommentar ist etwas abstrakt. Konkreter betrachtet man QCD. Die niederenergetische Lösung sind gebundene Zustände von Quarks, die aus dem Anti-Screening-Defekt des Vakuums entstehen, dh seiner Fähigkeit, virtuelle Paare aus dem Vakuum herauszuziehen. Dies hat keine klassische Analogie, daher wird keine klassische Lösung diesen Effekt zeigen.
@SHuntsman: Beschäftigt sich Rubakovs Buch nicht überwiegend mit Lösungen in euklidischer Signatur?
@genneth, ich habe auch versucht, die Suche nach einer Antwort zu lenken. Aus den oben genannten Gründen bezweifle ich also, dass eine theoretische HEP-Person eine Motivation hätte, daran zu arbeiten. Andererseits kenne ich einige numerische Relativisten, die sich die YM-Gleichungen sehr genau angesehen haben, um ihre Methoden zur Lösung der Einstein-Gleichungen zu überprüfen. Dies wäre ein anderer Zweig der Literatur. Außerdem macht die Beantwortung von Long-List-Fragen ohne Motivation nicht so viel Spaß, zumindest für mich ...
Squark: Das Argument in Ihrer Bearbeitung funktioniert in der euklidischen Signatur, wo Sie Sattelpunktmethoden anwenden können. Sie suchen also nach euklidischen Lösungen endlicher Wirkung, Instantonen. An einem anderen Punkt: Sie müssten angeben, an welcher Art von Lösung Sie interessiert sind, ansonsten irgendwelche Anfangsdaten auf einer Cauchy-Fläche setzen und sie entwickeln lassen - das ist eine klassische Lösung, und davon gibt es viele.
Außerdem bin ich mir nicht sicher, was die Motivation für eine „genaue“ Lösung ist und was Sie damit meinen. Meinst du eine Lösung in geschlossener Form? viele der bekannten Lösungen für YM + Materie zum Beispiel sind in diesem Sinne nicht „exakt“, da sie eine numerische Lösung einer ODE erfordern.
@Moshe: Es scheint mir, dass Sattelpunktmethoden unabhängig von der asymptotischen Freiheit angewendet werden können, aber mir fehlt möglicherweise etwas. Ich denke, mein Argument sollte auch in der Minkowski-Raumzeit funktionieren. Tatsächlich vermute ich folgendes: Jeder klassischen Lösung der YM-Gleichungen sollte ein Zustand in der QFT entsprechen, da die Erwartungswerte von (eichinvarianten) Observablen in der Nähe eines gegebenen Raumzeitpunktes klein bzgl. ihrer klassischen Werte sind die Längenskala der QFT. Dies sollte natürlich präzisiert werden
@Moshe: In Bezug auf "exakt" stimme ich zu, dass es eine etwas vage Vorstellung ist. Ich denke, es ist eine gute Idee, "exakt" als "auf ODE reduzierbar" zu definieren.
@Squark, Sattelpunktmethoden gelten nicht für oszillierende Integrale, nicht einmal für eindimensionale Integrale (stattdessen haben Sie die steilste Abstiegsmethode, die subtiler ist). Im Allgemeinen entsprechen klassische Lösungen ungefähr kohärenten Zuständen oder anderen Konfigurationen vieler Quanten. Schwer vorstellbar, wenn auch vielleicht nicht unmöglich, dass asymptotische Freiheit Ihnen dabei hilft. Vielleicht, wenn Sie sich eine besondere Situation ausdenken, aber mir fällt gerade keine ein.
Außerdem hat das klassische YM keine Skala, was würde also die Skala (z. B. die Masse) einer Lösung festlegen? Entweder ist es ein Modul, oder es ist Null oder Unendlich,
@Moshe, ich verwende Sattelpunktmethoden nicht direkt. Das Verringern der bloßen Kopplungskonstante entspricht dem Verringern von hbar. Es ist auch äquivalent zum Verringern der renormierten Kopplungskonstante als Lambda mit festem Maßstab. Das Verringern der renormierten Kopplungskonstante ist äquivalent zum Ändern des Maßstabs (Vergrößern/Verkleinern) auf eine nicht-triviale Weise, die durch die Renormierungsgruppe definiert ist. Aufgrund der asymptotischen Freiheit entspricht jedoch eine kleine Kopplungskonstante garantiert einer kleinen Längenskala. Daher ist das Hineinzoomen auf kleine Längenskalen dasselbe wie das Verringern von hbar.
@Moshe, in Bezug auf den Maßstab kommen klassische Lösungen offensichtlich in Familien, die durch Dilatation erzeugt werden. Die einzige Ausnahme ist, wenn die Lösung skaleninvariant ist, dann aber am Ursprung singulär sein muss. Warum ist das ein Problem?
Ich habe Schwierigkeiten mit dem Chat. Lassen Sie mich nur sagen, dass mir nicht klar ist, dass glatte klassische Lösungen, eine große Sammlung weicher Quanten, von der asymptotischen Freiheit profitieren. Ich denke, wenn Sie eine Situation zusammenstellen, in der klassische Lösungen relevant sind, können Sie einen Hinweis darauf erhalten, welche Art von Lösungen existieren können. Darüber hinaus habe ich wirklich nichts Nützliches zu sagen ...

Antworten (4)

Wu und Yang (1968) fanden eine statische Lösung für die quellenlosen SU(2)-Yang-Mills-Gleichungen (siehe die folgenden zwei relativ neuen Artikel, die eine ziemlich detaillierte Beschreibung der Lösung enthalten: Marinho, Oliveira, Carlson, Frederico und Ngome Die Lösung stellt eine Verallgemeinerung des abelschen Dirac-Monopols dar. Das Vektorpotential ist gegeben durch:

EIN ich a = g ϵ ich a j x j f ( r ) r 2

wo f ( r ) erfüllt eine nichtlineare radiale Gleichung (die Wu-Yang-Gleichung), die aus der Substitution dieses Ansatzes in die Yang-Mills-Feldgleichungen erhalten wird. Der Wu-Yang-Monopol hat eine Singularität am Ursprung, in der die magnetische Energiedichte divergiert. Der erste Artikel enthält Hinweise auf phänomenologische Arbeiten zum Wu-Yang-Monopol.

OK, aber was ist mit nicht-singulären Lösungen?
Wenn Sie die Funktion zulassen f zeitabhängig sein f ( r , t ) , ist bekannt, dass dieser Ansatz reguläre Lösungen zulässt. Ich konnte keine Referenzen für diese Lösungen finden, aber ich denke, dass es nicht zu schwer ist, sie zu reproduzieren.

Es gibt eine alte Rezension, Alfred Actor, Classical solutions of SU(2) Yang—Mills theories, Rev. Mod. No. Phys. 51, 461–525 (1979), die einige der bekannten Lösungen der SU(2)-Eichtheorie im Minkowski-Raum (Monopole, ebene Wellen usw.) und im euklidischen Raum (Instantonen und ihre Cousins) enthält. Für allgemeine Messgerätgruppen können Sie Lösungen erhalten, indem Sie SU(2)s einbetten. Für Instantonen ist die allgemeinste Lösung bekannt, die zuerst von ADHM (Atiyah, Hitchin, Drinfeld, Manin) für die klassischen Gruppen SU, SO, Sp und dann von Bernard, Christ, Guth, Weinberg für außergewöhnliche Gruppen ausgearbeitet wurde. Die neueste Wendung in der Instanton-Geschichte ist die Konstruktion von Lösungen mit nichttrivialer Holonomie: „Periodische Instantons mit nichttrivialer Holonomie“. Kraan, van Baal, Nucl.Phys. B533 (1998) 627-659. Es gibt eine schöne Sammlung von Vorlesungsunterlagen von David Tongauf topologische Lösungen mit unterschiedlicher Kodimension (Instantonen, Monopole, Wirbel, Domänenwände). Beachten Sie jedoch, dass diese Lösungen mit Ausnahme von Instantons normalerweise zusätzliche Skalare und gebrochene U (1) erfordern, wie Sie es in Susy-Eichtheorien finden können.

Das OP wollte Loretzsche Lösungen der reinen Eichtheorie. Ich weiß, das lässt nicht viel übrig.

Exakte Lösungen könnten nicht der richtige Weg sein, um das Infrarotverhalten der Yang-Mills-Theorie zu verstehen. Wie wir aus der Quantenfeldtheorie wissen, können wir mit einer gewissen Näherung (schwache Kopplung) beginnen. Vor diesem Hintergrund kann bewiesen werden, dass für eine Spurweitenkopplung, die formal ins Unendliche geht , Folgendes gilt (siehe http://arxiv.org/abs/0903.2357 ).

EIN μ a ( x ) = η μ a ϕ ( x ) + Ö ( 1 / N g )

Sein η μ a eine Reihe von Konstanten und ϕ ( x ) eine Lösung der Gleichung

◻ ϕ ( x ) + λ ϕ ( x ) 3 = 0.

bereitgestellt λ = N g 2 . Dies ist der Inhalt des sogenannten Abbildungssatzes. Der relevante Aspekt dieses Theorems ist, dass man einen Satz exakter Lösungen für das Skalarfeld in der Form angeben kann

ϕ ( x ) = μ ( 2 λ ) 1 4 s n ( p ⋅ x + θ , ich )

Sein μ und θ Konstanten, sn eine elliptische Jacobi-Funktion und vorausgesetzt, dass die folgende Dispersionsrelation gilt

p 2 = μ 2 ( λ 2 ) 1 2 .

Das heißt, man hat massive klassische Lösungen, selbst wenn wir von masselosen Gleichungen ausgegangen sind. Wir können also von diesen klassischen Näherungslösungen ausgehen, um eine Infrarot-Quantenfeldtheorie für das Yang-Mills-Feld aufzubauen und auf diese Weise eine Massenlücke darzustellen (siehe http://arxiv.org/abs/1011.3643 ).

Terry Tao hat darauf hingewiesen – siehe en.wikipedia.org/wiki/… “ – dass das sogenannte „Abbildungstheorem“ falsch ist. Haben Sie tatsächlich überprüft, ob dies eine Lösung der Yang-Mills-Gleichungen ist?
Terry stimmte dem Beweis zu, der in dem oben zitierten Papier gegeben wurde. Bitte siehe wiki.math.toronto.edu/DispersiveWiki/index.php/… : Dies ist keine exakte Lösung, sondern, wie ich beweise, eine asymptotische.
Erstens spiele ich das UV-Verhalten nicht auf das IR-Verhalten an. 2. Ich bin mir nicht sicher, ob ich ganz verstehe, was Sie hier sagen. Wollen Sie sagen, dass Lösungen dieser nichtlinearen PDE, die die Bewegungsgleichung für die masselose Phi^4-Theorie ist, Näherungslösungen der Yang-Mills-Gleichung ergeben? Und dass die Näherung für große N gut ist?
@Squark. Ok, tut mir leid, dass ich hier nicht hilfreich bin. Jedenfalls ist dies ein Theorem. Lassen Sie es mich ganz anders sagen, mit einem Verweis auf Smilgas Buch amazon.com/LECTURES-QUANTUM-CHROMODYNAMICS-V-Smilga/dp/… . Man kann Lösungen im Formular suchen EIN 0 = 0 und EIN ich nur abhängig von t und nicht x . Man kann genaue Lösungen finden, indem man nimmt
EIN 1 1 ( t ) = EIN 2 2 ( t ) = EIN ( t )
und man hat für die Bewegungsgleichungen
EIN ¨ ( t ) + 2 g 2 EIN ( t ) 3 = 0.
Dies ist die Gleichung des quartischen Skalarfelds und der Zweien, die sich einfach neu zuordnen. Diese Beobachtung ist der Ausgangspunkt für mein Theorem.

Eine Reihe exakter Lösungen (meistens solche, die unter einer bestimmten Untergruppe der vollständigen Symmetriegruppe des betreffenden Systems unveränderlich sind) für die SU(2)-Yang-Mills-Gleichungen, einschließlich des Falls der Minkowski-Signatur, können ebenfalls in dieser Übersicht gefunden werden Papier:

RZ Zhdanov, VI Lahno, Symmetry and Exact Solutions of the Maxwell and SU(2) Yang-Mills Equations, arXiv:hep-th/0405286

Auch wenn man bereit ist, die Minkowski-Signatur beizubehalten und gleichzeitig eine andere globale Topologie als zulässt R 4 , könnte dieses Papier von Interesse sein:

AD Popov, Explizite Nicht-Abelsche Monopole und Instantons in SU (N) Pure Yang-Mills Theory, Phys. Rev. D77 (2008), 125026, arxiv:0803.3320

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