Welche flächen- und eckentransitiven Polyeder sind nicht kantentransitiv?

Eine Art, die ich kenne, um die platonischen Körper zu definieren, ist, dass sie die einzigen konvexen Polyeder sind, die Kanten, Flächen und Ecken transitiv sind.

Wenn wir nur die Vertextransitivität beibehalten, findet man eine neue Körperfamilie, die 13 (14?) Archimedischen Körper + die unendliche Reihe von Prismen und Antiprismen.

In ähnlicher Weise findet man die 13 katalanischen Körper und die unendliche Reihe von Bipyramiden und Trapezoedern, wobei nur die Transitivität der Fläche beibehalten wird. Diese Körper sind die Duale der eckentransitiven Körper.

2 katalanische Körper und 2 archimedische Körper sind ebenfalls kantentransitiv.

Aber die Definition der platonischen Körper als Kante, Fläche und Ecke transitiv scheint zu implizieren, dass es Fläche+Ecke transitive Körper gibt, die nicht Kanten transitiv sind. Etwas zwischen Katalanisch und Archimedisch. Wenn dies nicht der Fall ist, würde die Transitivität von Flächen und Ecken ausreichen, um die platonischen Körper zu definieren.

Welches sind diese flächen- und eckentransitiven Körper? (ohne die platonischen Körper)

Antworten (2)

Ich kenne nur ein Beispiel (von dem ich vermute, dass es das einzige konvexe Beispiel ist, obwohl ich dafür keinen Beweis habe), und das ist ein nicht regelmäßiges Tetraeder, das aus 4 kongruenten spitzwinkligen Dreiecken besteht. Da die Kanten unterschiedlich lang sind, kann es unmöglich kantentransitiv sein. Die Flächen sind kongruent, also ist es flächentransitiv, und die Scheitelpunkte haben alle dieselbe Scheitelpunktfigur, also ist es auch eckentransitiv.Ein Bild, das ein Beispiel dieser Form darstellt

Es mag nicht-konvexe Beispiele geben oder auch nicht, aber ich weiß nichts darüber.

Interessant, Bilder?
Diese wollte ich gerade hinzufügen
Du hast, wonach ich gesucht habe, ich lasse die Frage noch ein bisschen offen, um zu sehen, ob wir mehr finden können. Zwei weitere Fragen kommen mir in den Sinn, warum ist das nicht in der katalanischen/archimedischen Liste? Und ist es sef-dual?
Es ist nicht in diesen Listen, weil es kein katalanischer oder archimedischer Körper ist. Es ist nicht archimedisch, weil seine Flächen nicht regelmäßig sind, und es ist nicht katalanisch, weil es nicht dual zu einem archimedischen Körper ist. Ich glaube jedoch, dass das Dual jedes Polyeders in dieser Familie auch in der Familie sein wird. (und das würde Sinn machen, wenn das Tetraeder selbstdual ist).

Diese werden edle Polyeder genannt . Die von AshSeifert erwähnten disphenoiden Tetraeder sind tatsächlich die einzigen nichtregulären konvexen Beispiele. Dies wurde 1906 von M. Brückner bewiesen.

Über die konvexen Polyeder hinaus sind auch die Kronenpolyeder edel.

Ein interessantes Dokument darüber, einschließlich einiger von Brückners Figuren, finden Sie unter Exploring Noble Polyhedra With Stella4D

Welche flächen- und eckentransitiven Polyeder sind nicht kantentransitiv?
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