Welche Form für Übertragungsfunktionen soll für Filter und Bode-Plots verwendet werden?

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Welche Form für Übertragungsfunktionen soll für Filter und Bode-Plots verwendet werden?

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Filter
Physik
Bode-Plot
Übertragungsfunktion

Defindun

Ich habe einige verschiedene Formen für die Gleichung einer Übertragungsfunktion gesehen und frage mich, welche am richtigsten ist und warum? Hängt es vom Filtertyp etc. ab?

Nehmen wir ein Beispiel und seine Übertragungsfunktion:

H (w) = \frac{v_{Ö} (w)}{v_{ich} (w)} = \frac{R_{2} J w L}{R_{1} (R_{2} + J w L) + R_{2} J w L}

$H(w)=\frac{V_o(w)}{V_i(w)}=\frac{R_2jwL}{R_1(R_2+jwL)+R_2jwL}$                        <a href="https://translate.google.com/website?sl=en&tl=de&hl=en-US&u=https://i.stack.imgur.com/awzWu.jpg" rel="nofollow noreferrer"><img src="https://i.stack.imgur.com/awzWu.jpg" alt="Filter."></a> Mit etwas Algebra können Sie es in zwei verschiedenen Formen erhalten: <msub><mi>H</mi><mn>1</mn></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>w</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mstyle scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"><mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo></mrow></mstyle><mfrac><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub><mrow><msub><mi>R</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub></mrow></mfrac><mstyle scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"><mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo></mrow></mstyle><mfrac><mrow><mi>j</mi><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>w</mi><mo>+</mo><mstyle scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"><mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mo></mrow></mstyle><mfrac><mrow><msub><mi>R</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mrow><mi>L</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mi>R</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub></mrow></mfrac><mstyle scriptlevel="0"><mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"><mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mo></mrow></mstyle></mrow></mfrac></math>" role="presentation" style="position: relative;">H1( w ) = (R2R1+R2)jw _j w + (R1R2L (R1+R2) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <msub> <mi> H </mi> <mn> 1 </mn> </msub><mo stretchy="false"> ( </mo><mi> w </mi><mo stretchy="false"> ) </mo><mo> = </mo><mstyle scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em"> ( </mo> </mrow> </mstyle><mfrac> <msub> <mi> R </mi> <mn> 2 </mn> </msub> <mrow> <msub> <mi> R </mi> <mn> 1 </mn> </msub> <mo> + </mo> <msub> <mi> R </mi> <mn> 2 </mn> </msub> </mrow> </mfrac><mstyle scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em"> ) </mo> </mrow> </mstyle><mfrac> <mrow> <mi> J </mi> <mi> w </mi> </mrow> <mrow> <mi> J </mi> <mi> w </mi> <mo> + </mo> <mstyle scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em"> ( </mo> </mrow> </mstyle> <mfrac> <mrow> <msub> <mi> R </mi> <mn> 1 </mn> </msub> <msub> <mi> R </mi> <mn> 2 </mn> </msub> </mrow> <mrow> <mi> L </mi> <mo stretchy="false"> ( </mo> <msub> <mi> R </mi> <mn> 1 </mn> </msub> <mo> + </mo> <msub> <mi> R </mi> <mn> 2 </mn> </msub> </mrow> </mfrac> <mstyle scriptlevel="0"> <mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em"> ) </mo> </mrow> </mstyle> </mrow> </mfrac> </math><script type="math/tex" id="MathJax-Element-3">H_1(w)=\bigl(\frac{R_2}{R_1+R_2}\bigr)\frac{jw}{jw+\bigl(\frac{R_1R_2}{L(R_1+R_2}\bigl)}Wo

\frac{R_{1} R_{2}}{L (R_{1} + R_{2})}

$\frac{R_1R_2}{L(R_1+R_2)}$ ist der Pol (und

j w

$jw$ ist eine Null?).

$H_2(w)=\bigl(\frac{L}{R_1}\bigr)\frac{jw}{1+j\Biggl(\frac{w}{\bigl(\frac{R_1R_2}{L(R_1+R_2)}\bigl)}\Biggr)}$ Wo $\frac{R_1R_2}{L(R_1+R_2)}$ ist der Pol (und $jw$ ist eine Null?).

$H_1(0)=0$ , $H_2(0)=0$ , $H_1(\infty)=\frac{R_2}{R_1+R_2}$ Und $H_2(\infty)=\frac{R_2}{R_1+R_2}$ .

Fragen:

Sie sind eindeutig gleich (wenn ich alles richtig berechnet habe), aber welche Form ist am richtigsten und am besten zu verwenden? Unterscheidet es sich vom Filtertyp, dh Tief- oder Hochpass usw.? Es scheint einfacher zu bedienen $H_1$ von der Konstante zu lesen $\frac{R_2}{R_1+R_2}$ als $w$ Ansatz $\infty$ , obwohl ich das Formular av gesehen habe $H_2$ öfter und es scheint Standard zu sein, dass zwei versuchen, ein " $1+...$ „im Nenner?

Danke schön!

Antworten (3)

Welche Form für Übertragungsfunktionen soll für Filter und Bode-Plots verwendet werden?

Andi aka · Answer 1

Ich würde den Verstärkungsfaktor als wichtig betrachten und für einen Hochpassfilter beträgt die Verstärkung: -

$\dfrac{R_2}{R_1+R_2}$ bei höheren Frequenzen. Ich würde es "K" nennen.

Auch für diesen Filtertyp ist der effektive Serienwiderstand eindeutig der parallele Wert von R1 und R2, daher würde ich das "R" nennen. Dann würde ich mit einer Übertragungsfunktion wie dieser enden: -

$H(s)=\dfrac{sK}{\frac{R}{L}+s}$

Dies ist sinnvoller, da es die Verstärkung (K) und die Zeitkonstante ( $\tau$ ) ausdrücklich. Wenn Sie Pole und Nullen sprechen, ist es wahrscheinlich besser, "s" zu verwenden, anstatt $j\omega$ .

Okey, also gibt mir die erste Form die Verstärkung K, wenn w gegen unendlich geht (hohe Frequenzen). Was ist die Denkweise, um zu der am besten geeigneten Formel zu gelangen? Steht im Zähler immer nur ein „jw“ (oder „s“) oder ist es vielleicht auch mal nur eine „1“?
Bei einem Hochpassfilter steht immer ein s oder jw im Zähler. In einem Tiefpassfilter (sagen wir, Sie haben die Induktivität durch einen Kondensator ersetzt) würde der Zähler kein s oder jw enthalten. Die am besten geeignete Formel ist diejenige, die am bequemsten verwendet wird oder eine Bedeutung darstellt, die Sie dem Leser vermitteln möchten. Meine Antwort vermittelt Kenntnisse über Verstärkung und Zeitkonstante, aber wenn eine Formel korrekt (aber neu angeordnet) ist, kann sie für einen anderen Zweck geeignet sein.
Okey, ich denke das erklärt es, danke! Und der "Grund", dass bei Hochpassfiltern immer ein "s" oder "jw" im Zähler steht, ist, dass H (w) gegen 0 gehen muss, wenn w gegen 0 geht? Das wäre die Definition eines Hochpassfilters, denke ich. Der beste Ansatz wäre also, die Funktion auf eine der oben genannten Formen zu vereinfachen, sie als H (0) und H (unendlich) und vielleicht H (Pole/Nullen) zu analysieren, dh zu sehen, wie sich die Funktion verhält. Und das sollte nicht von der „Art der Form“ abhängen. Wenn Sie möchten, können Sie die Formel dann anpassen, um sie für die jeweilige Aufgabe am aussagekräftigsten darzustellen.
Ja, richtig und richtig. Aber es gibt keine wirklich richtige Form; nur Alternativen. Wenn Sie sich beispielsweise Gleichungen 2. Ordnung angesehen haben (und dies ist Ihre Aufgabe, sollten Sie sich dafür entscheiden, LOL zu nehmen), gibt es viele Möglichkeiten, sie darzustellen, aber die Leute neigen dazu, einen "mechanischen technischen Ansatz" zu wählen, der die natürliche Resonanzfrequenz und das Dämpfungsverhältnis berücksichtigt gerade wegen der historischen Verbindung mit Schwungrädern und Federn und Masse.

divB · Answer 2

Die erste Version in der klassischen Form

H (S) = N (S) / D (S)

$H(s)=N(s)/D(s)$ wobei beide als geschrieben werden

(A_{1} + S) (A_{2} + S) \dots (A_{N} + S)

$(a_1+s)(a_2+s)\cdots (a_n+s)$ .

Die zweite Form zeigt explizit die Pol- und Nullfrequenz und die DC-Verstärkung an :

A_{0} \frac{1}{(1 + S / ω_{0}) (1 + S / ω_{1})}

$A_0 \frac{1}{(1+s/\omega_0)(1+s/\omega_1)}$ usw.

Wie Sie sagten, sind beide Formen identisch und filterunabhängig. Sie sind nur zwei (gleich gültige) Darstellungen und gleichermaßen richtig.

Ersteres wird meiner Meinung nach häufiger in der Steuerungstheorie verwendet, während das zweite eher in Schaltkreisen verwendet wird.

Ich persönlich bevorzuge den zweiten, weil man sofort die Pole und Nullen und die DC-Verstärkung sieht.

Wenn Sie zu Systemen höherer Ordnung gehen, stellen Sie fest, dass es für die erste Darstellung nicht so einfach ist, die DC-Verstärkung auf den ersten Blick zu "sehen". Du musst sie ausmultiplizieren:

H (S) = \frac{(B_{1} + S) (B_{2} + S)}{(A_{1} + S) (A_{2} + S)} = \frac{B_{1} B_{2}}{A_{1} A_{2}} \frac{(1 + \frac{S}{B_{1}}) (1 + \frac{S}{B_{2}})}{(1 + \frac{S}{A_{1}}) (1 + \frac{S}{A_{2}})}

$H(s)=\frac{(b_1+s)(b_2+s)}{(a_1+s)(a_2+s)} = \frac{b_1 b_2}{a_1 a_2} \frac{(1+\frac{s}{b_1})(1+\frac{s}{b_2})}{(1+\frac{s}{a_1})(1+\frac{s}{a_2})}$

In Ihrem speziellen Beispiel gibt es keine DC-Verstärkung , da sie induktiven Charakter hat. L/R1 ist jedoch die "Differentiatorverstärkung".

Folgendes Beispiel macht es meiner Meinung nach deutlicher: Angenommen, Sie haben einen idealen Integrator, gefolgt von einem Dublett:

H (S) = \frac{1}{S} K \frac{S + z_{1}}{S + P_{1}}

$H(s) = \frac{1}{s} K \frac{s + z_1}{s + p_1}$

Angenommen, das Dublett tritt nach der Integrationsfrequenz auf (z. B. ein parasitärer Pol und eine Null aufgrund des endlichen Ausgangswiderstands eines Operationsverstärkers). Können Sie daraus sofort ablesen, wie viel „V pro s“ der Integrator aus obiger Formel integriert?

Wenn ich jedoch z1 und p1 faktorisiere:

H (S) = \frac{1}{S} \frac{K z_{1}}{P_{1}} \frac{1 + \frac{S}{z_{1}}}{1 + \frac{S}{P_{1}}}

$H(s) = \frac{1}{s} \frac{K z_1}{p_1} \frac{1 + \frac{s}{z_1}}{1 + \frac{s}{p_1}}$

Beachten Sie das für

S ≫ {z_{1}, P_{1}}

$s \gg \{z_1,p_1\}$ :

\frac{1 + \frac{S}{z_{1}}}{1 + \frac{S}{P_{1}}} \approx 1

$\frac{1 + \frac{s}{z_1}}{1 + \frac{s}{p_1}} \approx 1$

Jetzt können Sie schnell erkennen, dass die Integrationskonstante K z1/p1 ist.

Okey, also ist in der zweiten Form A_0 die DC-Verstärkung und ist L/R_1, dh der Wert bei w nahe 0. Während in der ersten Form der Faktor R_2/(R_1+R_2) die Verstärkung ergibt, wenn w gegen unendlich geht ( hohe Frequenzen)? Und kann ich die Pole und Nullen nicht auch in der ersten Form sehen? Es ist das gleiche im Nenner? R_1R_2/(L(R_1+R_2)).
In Ihrem Fall haben Sie keine "DC-Verstärkung", aber Sie sehen die "Differenzierungskonstante", die Sie von Ihrem ersten nicht sofort sehen würden. Ich habe meine Antwort aktualisiert, um sie etwas klarer zu machen.

Verbale Kint · Answer 3

Die Verwendung der schnellen analytischen Schaltungstechniken oder FACTs ist der beste Weg, um die richtige Formel mit niedriger Entropie in kürzester Zeit zu bilden. Es kann gezeigt werden, dass jede Schaltung erster Ordnung in die folgende Form gebracht werden kann: $H(s)=\frac{H_0+sH^1\tau_1}{1+s\tau_1}$ in welchem $H_0$ ist die Verstärkung der Schaltung bei Gleichstrom ( $s = 0$ ), $H^1$ ist die Verstärkung, wenn das energiespeichernde Element (hier der Induktor) in seinen Hochfrequenzzustand versetzt wird (ein offener Stromkreis für den Induktor) und schließlich, $\tau_1$ ist die ermittelte Zeitkonstante, wenn die Erregerquelle auf 0 V eingestellt wird.

Die folgende Zeichnung zeigt die 3 Schritte zur Bestimmung der Übertragungsfunktion, ohne eine einzige Zeile Algebra zu schreiben:

Bei Gleichstrom ist die Induktivität also kurzgeschlossen $H_0 = 0$ . Nun, fertig $V_{in}$ auf 0 V und ersetzen Sie ihn durch einen Kurzschluss, um den "gesehenen" Widerstand zwischen den Anschlüssen der Induktivität zu bestimmen: Sie "sehen" $R=R_1||R_2$ was unmittelbar zur Schaltungszeitkonstante führt $\tau_1=\frac{L_1}{R_1||R_2}$ . Wir wissen also, dass der Pol der Kehrwert der Zeitkonstante in einer Schaltung 1. Ordnung ist $\omega_p=\frac{R_1||R_2}{L_1}$ . Nun, fertig $L_1$ im hochfrequenten Zustand und lösen Sie die Übertragungsfunktion durch sofortige Inspektion: $H^1=\frac{R_2}{R_1+R_2}$ . Das ist es, wir haben alles, was wir brauchen, um die Übertragungsfunktion zu bestimmen:

$H(s)=\frac{sH^1\tau_1}{1+s\tau_1}$

Dies ist jedoch nicht die korrekte Schreibweise dieser Übertragungsfunktion. Faktor $s\tau_1$ in Zähler und Nenner und Sie erhalten am Ende den folgenden Ausdruck, der wirklich eine Formel mit niedriger Entropie ist :

$H(s)=H^1\frac{1}{1+\frac{\omega_p}{s}}$

Dies ist die korrekte Schreibweise dieser Übertragungsfunktion, die die Hochfrequenz-Plateauverstärkung (Ihr Designziel) und den umgekehrten Pol im Nenner zeigt. Dies ist die kompakteste Form, die Sie sich vorstellen können und die Ihnen den Einblick gibt, den Sie für Ihre Designziele benötigen. Das folgende Mathcad-Blatt zeigt die resultierenden Diagramme in verschiedenen Formen:

Die schnellen analytischen Techniken sind wirklich gut geeignet, um diese linearen Schaltungen (passiv oder aktiv) bis zur Ordnung zu lösen $n$ da sie dieses Low-Entropie -Format immer in kürzester Zeit liefern . Noch besser, Sie kommen oft dorthin, ohne eine Zeile Algebra zu schreiben. Ein Tutorial ist hier für diejenigen, die das Thema weiter vertiefen möchten (sehr empfehlenswert für Studenten und Ingenieure).

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