Wenn a+b+ca+b+ca+b+c das Produkt abcabcabc teilt, ist dann (a,b,c)(a,b,c)(a,b,c) ein pythagoreisches Tripel?

Zuerst werde ich für diejenigen, die es nicht wissen, definieren, was pythagoreische Tripel sind.

Definition:

Ein pythagoräisches Tripel ist eine Gruppe von drei ganzen Zahlen$a$,$b$Und$c$so dass$a^2+b^2=c^2$, da der Satz des Pythagoras dies für alle behauptet$90^\circ$(rechtwinkliges) Dreieck$ABC$mit Seiten$a$,$b$Und$c$, man wird immer die Gleichung haben,$a^2+b^2=c^2$.

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Ich habe mir Pythagoräische Tripel angesehen und neben dem Wie eine andere Eigenschaft bemerkt$a^2+b^2=c^2$. Hier sind die ersten$30$Pythagoräische Tripel$(a,b,c)$geordnet vom kleinsten zum größten Wert, dh

$$(a,b,c)\qquad\text{ s.t. }\qquad a<b<c.\tag*{$\big(\text{s.t. = such that}\big)$}$$

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Ich bemerkte, dass$a^2=(c+b)(c-b)$, aber das ist ja trivial

$$\begin{align}a^2&=(c+b)(c-b)\tag{given} \\ &=c^2-b^2 \\ \Leftrightarrow\,\,\,\, a^2+b^2&=c^2.\end{align}$$

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Das ist mir aber auch aufgefallen, indem ich "$u\mid v$„gelesen werden als “$u$teilt$v$“, so scheint es

$$a+b+c\mid abc.$$ Zum Beispiel,$(a,b,c)=(3,4,5)$ist ein klassisches pythagoräisches Tripel;$3^2+4^2=5^2$.

Auch,

$$\begin{align}3+4+5&=12 \\ \& \quad3\times 4\times 5 &= 60. \\ \\ 12 &\,\mid 60 \\ \Leftrightarrow \,\,\,\,3+4+5&\,\mid 3\times 4\times 5.\end{align}$$ Das kann ich nicht beweisen$-$aber ich habe mit allen getestet$30$Pythagoreische Tripel oben, und ich bin auf kein Gegenbeispiel gestoßen. Gibt es einen Beweis? Ich weiß selbst nicht, wo ich anfangen soll.

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Vermutung:

Gegeben sind drei positive ganze Zahlen$a$,$b$Und$c$, Wenn$a < b<c$Und$a^2+b^2=c^2$, Dann

$$a+b+c\mid abc.$$

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Vielen Dank im Voraus.

Bearbeiten:

Meine Vermutung war ursprünglich umgekehrt; dh wenn$a+b+c\mid abc$Dann$a^2+b^2=c^2$. Aber$6$ist ein Gegenbeispiel, nämlich weil es sich um eine vollkommene Zahl handelt .