Wenn Arbeit ein skalares Maß ist, warum stellen wir sie dann manchmal als das Produkt aus Kraft (ein Vektor) und Weg (skalar) dar?

Stellen Sie sich ein Objekt vor, das um 3/4 der Entfernung um eine kreisförmige Bahn geschoben wird. Die an dem Objekt geleistete Arbeit wäre der Abstand von 3/4 des Umfangs der Spur multipliziert mit der auf das Objekt ausgeübten Kraft (vorausgesetzt, es wurde mit einer konstanten Kraft gedrückt). Da wir einen Vektor mit einem Skalar multiplizieren, warum ist Arbeit eine skalare Messung? Oder wäre die am Objekt verrichtete Arbeit eigentlich nur Kraft mal Weg? Danke.

Antworten (4)

Arbeit ist das Skalarprodukt einer Vektorkraft und einer Vektorverschiebung, daher ein Skalar.

Es reicht nicht aus, nur die skalare Entfernung zu kennen, um die Arbeit zu berechnen. Dieser Abstand kann in der gleichen Richtung wie die Kraft sein, aber er kann senkrecht oder sogar entgegengesetzt sein. All dies würde unterschiedliche Werte für die geleistete Arbeit ergeben.

Die allgemeine Definition von Arbeit ist

W = ∫ F ⋅ D X
Was im Wesentlichen besagt: „Addieren Sie alle Skalarprodukte zwischen der Vektorkraft F und die Vektorverschiebung D X entlang des Weges, auf dem sich das Objekt bewegt." Da wir Skalarprodukte addieren, die skalare Größen sind, ist die von einer Kraft verrichtete Arbeit auch eine skalare Größe.

Bei bestimmten Fällen kann es zu Verwirrung kommen. Wenn zum Beispiel die Kraft immer parallel zum Weg zeigt, dann wird das Skalarprodukt zum Produkt der Beträge

W = ∫ F D X

Und dann, wenn die Kraft in ihrer Größe konstant ist, erhalten wir die "algebrabasierte physikalische Arbeit".

W = F ∫ D X = F Δ X

Aber jetzt haben wir eine skalare Kraftgröße F multipliziert mit einem skalaren Abstand Δ X . In dieser Gleichung F ist kein Vektor, sondern seine Größe, und Δ X ist kein Vektor, sondern die gesamte Pfadlänge.

Bei der Arbeit werden Sie niemals einen Vektor mit einem Skalar multiplizieren, da dies zu einer Vektorgröße führt, die nicht funktioniert (Wortspiel immer beabsichtigt), da die Arbeit eine skalare Größe ist.

Danke für die ausführliche Antwort! Arbeit wäre also wirklich das Punktprodukt aus Kraft und Weg? Würde dies bedeuten, dass, wenn beispielsweise ein Objekt um eine Runde geschoben würde und dort endete, wo es begonnen hat, die auf das Objekt ausgeübte Gesamtarbeit 0 Joule wäre? Es scheint kontraintuitiv, aber ich sehe, wie es funktioniert.
@ R_4127 Nein, wäre es nicht 0 . Angesichts dessen, wie wir zur endgültigen Gleichung gekommen sind Δ X ist nicht die Verschiebung vom Anfang bis zum Ende, sondern die zurückgelegte Strecke auf dem Weg, was nicht der Fall ist 0 .
So Δ X ist nicht die Größe der Verschiebung, sondern die „Entfernung“ der Verschiebung?
@R_4127 Es ist die Länge des Pfads. Es hat nichts mit einer Verschiebung zu tun (wie in X Finale − X Initial ). Aus diesem Grund bin ich in meiner Antwort die "Ableitung" der Gleichung durchgegangen. Bevor Sie eine physikalische Formel verwenden, müssen Sie sicherstellen, dass Sie wissen, was die Variablen bedeuten und wann die Gleichung angewendet werden kann. Hoffentlich hilft meine Antwort, diesen Kontext zu geben :)
@R_4127 Es ist nicht einmal die Länge des Pfads oder die Verschiebung. Es ist die Gesamtsumme des Skalarprodukts zweier Vektoren bei jedem winzigen Zeitschritt auf dem Weg. Bei einer schnurgeraden Linie ohne Richtungsänderung mit konstanter Kraft ist das zufällig Kraft mal Weg. Für alles, was um eine Runde geschoben werden soll, ändert die Kraft auch die Richtung, und das führt dazu, dass das Ergebnis nicht Null ist.
@Graham Eigentlich in meiner letzten Gleichung Δ X ist die Weglänge.
Ja, @R_4127, du hast Recht. Wenn ein Objekt herumgeschoben wird und mit der gleichen Geschwindigkeit an der gleichen Stelle landet, dann ist die verrichtete Arbeit null. Dies liegt daran, dass Δx Null ist. Wenn das Objekt die gleiche Position und Geschwindigkeit hat, dann ist die potentielle und kinetische Energie, die es vor und nach der Bewegung hatte, gleich - daher wurde keine Arbeit daran geleistet. Wie es zwischen Anfang und Ende gereist ist, hat keine Bedeutung. Denken Sie jedoch daran, dass dies Physik ist, nicht die reale Welt. In der Physik gibt es weder Reibung noch Luftwiderstand, weshalb die Arbeit, die Null ist, nicht intuitiv ist.
@DavidReidy Das ist völlig falsch. Bitte führen Sie den OP nicht in die Irre. Nur weil ein Objekt an der gleichen Position beginnt und stoppt, heißt das nicht, dass die Arbeit von einer bestimmten Kraft verrichtet wird 0 . Auch in meiner letzten Gleichung Δ X ist nicht die Verschiebung zwischen Anfang und Ende des Weges. Und schließlich kann die Physik durchaus Reibung und Luftwiderstand berücksichtigen.
@AaronStevens Wenn ein Objekt die gleichen Anfangs- und Endbedingungen hat, wurde keine Netzwerkarbeit daran durchgeführt, da sich weder seine potentielle Energie noch seine kinetische Energie netto ändern. In Bezug auf die Vernachlässigung von Reibung usw. handelt es sich eindeutig um eine klassische physikalische Frage, bei der es üblich ist, äußere Faktoren zu vernachlässigen, um ein Prinzip klarer zu veranschaulichen.
@DavidReidy Erstens, wenn sich die kinetische Energie eines Objekts ändert 0 , dann ist die Netzwerkarbeit auf dem Objekt erledigt 0 . Das hat nichts mit Anfangs- und Endstellung zu tun. Aber noch wichtiger für diese Antwort ist, dass es nur um die Arbeit einer Truppe geht, nicht um das Netzwerk. Das Netz kann sein 0 während einzelne Kräfte Nicht-Null-Arbeit leisten. Auf jeden Fall, Δ X in meiner Gleichung ist keine Verschiebung, und 0 Verdrängung sagt nichts über die Arbeit einzelner Kräfte oder gar über das Netz aller Kräfte aus.

Die Arbeit ist das Skalarprodukt der Kraft und der Verschiebung, und die Verschiebung ist ein Vektor; Wir müssen berücksichtigen, in welche Richtung es zeigt. Wenn sich ein Objekt im Kreis bewegt, muss es eine Zentripetalkraft haben, also keine konstante Kraft. Es könnte jedoch eine Kraft mit konstanter Größe haben . Die Zentripetalkraft steht senkrecht zur Verschiebung, also ist die von der Zentripetalkraft verrichtete Arbeit gleich Null.

Wenn Sie einen Ball betrachten, der in einem Winkel von 45 Grad geworfen wird, beginnt die Geschwindigkeit des Balls mit einer Aufwärtskomponente, während die Schwerkraft nach unten zeigt. Da der Winkel zwischen ihnen mehr als 90 Grad beträgt, ist das Skalarprodukt negativ; Die Schwerkraft verringert die kinetische Energie des Balls. Am Höhepunkt ihrer Flugbahn ist die Geschwindigkeit senkrecht zur Schwerkraft, und daher verrichtet die Schwerkraft in diesem Moment keine Arbeit (Sie können dies überprüfen, indem Sie eine Gleichung für ihre kinetische Energie in Bezug auf die Zeit schreiben und dann die Ableitung bilden in Bezug auf die Zeit). Sobald die Kugeln wieder herunterkommen, beträgt der Winkel zwischen ihrer Geschwindigkeit und der Schwerkraft weniger als 90 Grad, sodass die Schwerkraft daran arbeitet und sie beschleunigt.

„ Wenn sich ein Objekt im Kreis bewegt, muss es eine Zentripetalkraft haben, also hat es keine konstante Kraft. “ Es wirkt keine konstante Nettokraft auf es. Aber es kann immer noch eine konstante Kraft darauf wirken. Diese Antwort ist leicht irreführend, weil sie darauf hindeutet, dass die einzige Arbeit, die Sie in Betracht ziehen, das Netzwerk ist, was nicht der einzige Fall ist. Kreisbewegung, selbst wenn es sich um eine gleichmäßige Kreisbewegung handelt, bedeutet nicht unbedingt, dass jede Arbeit, die Sie sich ansehen, eine sein wird 0 .
@AaronStevens "Es wirkt keine konstante Nettokraft." Das ist, was "Kraft" bedeutet, ohne Einschränkung. Wenn ich beispielsweise sage „Mein Gewicht ist X“, muss ich nicht „Das Gewicht meines gesamten Körpers“ angeben. "Kreisbewegung, selbst wenn es sich um eine gleichmäßige Kreisbewegung handelt, bedeutet nicht unbedingt, dass jede Arbeit, die Sie betrachten, 0 ist." Deshalb habe ich ausdrücklich gesagt: "Die von der Zentripetalkraft geleistete Arbeit ist null."

Der Grund dafür ist, dass Ihr Verständnis der Definition von Arbeit einen Fehler enthält:

"Produkt von ... Distanz (Skalar) "

Arbeit wird nicht über ein Produkt aus Kraft und „Weg“ definiert, sondern über einen Weg . Eine Verschiebung ist die Differenz zweier Positionen, die Punkte sind, und Verschiebungen sind Vektoren. Es ist also eigentlich das Skalarprodukt zweier Vektoren, das wiederum ein Skalar ist.

Das heißt, ich denke, wonach Sie hier fragen könnten, ist, dass manchmal eine einfache Skalarformel zu sehen ist, die so aussieht

W = F D

wobei wir nur die (skalaren) Größen von Kraft und Verschiebung berücksichtigen. Diese Formel funktioniert nur in einer Dimension (*), oder dass Kraft und Verschiebung auf derselben Linie wirken. Ansonsten sieht es so aus

W = F D cos ⁡ θ

Wo θ ist jetzt der Winkel zwischen ihren Wirkungslinien, und das ist jetzt genau das Skalarprodukt von Vektoren.

Es gibt keine "Vektor mal Skalar"-Formel für die Arbeit. So etwas wäre in der Tat, wie Sie vorschlagen, ein Vektor, und die Arbeit ist kein Vektor.

(*) Technisch gesehen ist es in einer Dimension auch ein Skalarprodukt zweier Vektoren, aber es gibt mathematisch gesehen wenig funktionalen Unterschied zwischen einem Vektor der Dimension 1 und einem Skalar. Trotzdem denke ich, dass es nützlich sein kann, diese Unterscheidung im Hinblick auf die konzeptionelle Klarheit im Auge zu behalten. Ein Vektor der Dimension 1 hat eine einzelne Komponente:

v = ⟨ v X ⟩

aber es gehört sozusagen zu einem anderen "Datentyp" als Skalare (reelle Zahlen) und dies hat einige wichtige algebraische Konsequenzen, wie zum Beispiel, dass Sie eine eindimensionale vektorielle Größe und eine skalare reelle Zahl nicht "sinnvoll" addieren können.

Wenn Arbeit ein skalares Maß ist, warum stellen wir sie dann manchmal als das Produkt aus Kraft (ein Vektor) und Weg (skalar) dar?
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