Wenn sich die Graphen von f(x)f(x)f(x) und f−1(x)f−1(x)f^{-1}(x) an einer ungeraden Anzahl von Punkten schneiden, ist mindestens eins Punkt auf der Linie y=xy=xy=x?

Ich las über Schnittpunkte von F ( X ) Und F − 1 ( X ) auf dieser Seite. ( Beweis: Wenn die Graphen von j = F ( X ) Und j = F − 1 ( X ) schneiden, sie tun dies auf der Linie j = X ) Dann sah ich, dass diese Aussage von NS geschrieben wurde: „Wenn die Grafiken von F ( X ) Und F − 1 ( X ) sich in einem einzigen Punkt schneiden, dann liegt dieser Punkt auf der Geraden j = X .

Es ist auch wahr, dass, wenn die Graphen von F ( X ) Und F − 1 ( X ) an einer ungeraden Anzahl von Punkten schneiden, dann liegt mindestens ein Punkt Punkt auf der Geraden j = X . Dies folgt unmittelbar aus der Beobachtung, dass die Schnittpunkte in Bezug auf diese Linie symmetrisch sind ..." Ich möchte wissen, ob es wahr ist oder nicht, und wenn es wahr ist, wie können wir es algebraisch beweisen?

Mein Versuch: Ich habe viele Funktionen ausprobiert und diese Aussage war wahr, aber ich kann es nicht beweisen. (Oder widerlegen.)

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Das Argument ist hauptsächlich ein Zählargument, das nur ein wenig Algebra zu den Funktionen selbst beinhaltet.

Die Funktionen F ( X ) Und F − 1 ( X ) schneiden sich entweder in einer endlichen Anzahl von Punkten oder in einer unendlichen Anzahl von Punkten. Wenn die Anzahl der Schnittpunkte unendlich ist, ist sie weder ungerade noch gerade. Wir müssen also nur eine endliche Anzahl von Schnittpunkten berücksichtigen.

Wenn ( P , Q ) ist einer der Schnittpunkte, das heißt Q = F ( P ) = F − 1 ( P ) . Aber von Q = F ( P ) das können wir ableiten F − 1 ( Q ) = P , und von Q = F − 1 ( P ) das können wir ableiten F ( Q ) = P , Deshalb P = F ( Q ) = F − 1 ( Q ) , das heißt, und die beiden Funktionen schneiden sich auch bei ( Q , P ) .

Betrachten Sie also die Menge der Schnittpunkte, die über der Linie liegen j = X . Angenommen, es gibt sie N dieser Punkte, wo N ≥ 0. Für jeden Punkt ( P , Q ) über der Linie j = X (das ist wo Q > P ), gibt es einen entsprechenden Punkt ( Q , P ) unter dem Strich j = X , und umgekehrt. Daher gibt es N Punkte unter der Linie j = X .

Lassen Sie die Anzahl der Schnittpunkte auf der Linie j = X Sei M . Dann ist die Gesamtzahl der Schnittpunkte N über der Linie, N unter der Linie und M auf der Linie (wo M ≥ 0 ), Für insgesamt

2 N + M .
Jetzt, M hat die gleiche Parität wie 2 N + M . Wenn die Gesamtzahl der Kreuzungen 2 N + M ist seltsam, daraus folgt M ist ungerade. Aber Null ist nicht ungerade; alle nicht negativen ungeraden Zahlen sind positiv. Also die Gesamtzahl der Kreuzungen auf der Linie j = X in diesem Fall ist eine ungerade positive Zahl. Insbesondere ist es zumindest 1.

In diesem Beweis gehen wir niemals davon aus, dass es irgendwelche Schnittpunkte oberhalb der Linie gibt j = X , auch nicht, dass es irgendwelche unter der Linie oder auf der Linie gibt. Aber wir zeigen, dass bei einer insgesamt ungeraden Anzahl von Schnittpunkten die Anzahl der Schnittpunkte auf der Geraden positiv ist.

Dein Beweis ist wunderbar! Aber was ist mit geraden Schnittpunkten? Was können wir dazu sagen?
Ich denke, wenn die Anzahl der Schnittpunkte gerade ist, liegen alle Punkte auf der j = X Linie. Zum Beispiel F ( X ) = X und dann F − 1 ( X ) = X 2 , X ≥ 0 . Daher sind Schnittpunkte ( 0 , 0 ) Und ( 1 , 1 ) .
Versuchen F ( 1 ) = 2 , F ( 3 ) = 0 , und für alle X außer 0 Und 3 , F ( X ) = X − 1. Die Schnittpunkte sind ( 1 , 2 ) Und ( 2 , 1 ) . Wenn Sie einschränken F zu kontinuierlichen Funktionen, aber ich denke, es ist möglicherweise nur möglich, eine fallende Funktion mit einer ungeraden Anzahl von Schnittpunkten oder eine steigende Funktion mit allen Schnittpunkten auf der Linie zu haben j = X .
Okay, betrachten wir stetige Funktionen. Können Sie eine Funktion bereitstellen, bei der die Anzahl der Schnittpunkte mit der Umkehrung gerade ist und mindestens einer der Punkte nicht lokalisiert ist? j = X ?
Wenn meine Gedanken zu kontinuierlichen Funktionen richtig sind, sind die einzigen Möglichkeiten eine ungerade Anzahl von Schnittpunkten oder alle Schnittpunkte an j = X , also wäre die antwort nein. Ich habe nur noch keinen vollständigen Beweis im Kopf. (Um genau zu sein, denke ich über kontinuierliche Funktionen in verbundenen Domänen nach; wenn Sie eine getrennte Domäne zulassen, ist es meiner Meinung nach möglich, eine gerade Anzahl von Schnittpunkten zu haben und keine davon j = X . )
Okay, vielen Dank für eure Antworten. Großartig!
Wenn sich die Graphen von f(x)f(x)f(x) und f−1(x)f−1(x)f^{-1}(x) an einer ungeraden Anzahl von Punkten schneiden, ist mindestens eins Punkt auf der Linie y=xy=xy=x?
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