Warum würde die Funktion f(x)=1x5(exp(1x5)−1)f(x)=1x5(exp⁡(1x5)−1)f(x)= \frac{1}{x^5(\exp (\frac{1}{x^5})-1)} nicht stetig?

Question

Warum würde die Funktion f(x)=1x5(exp(1x5)−1)f(x)=1x5(exp⁡(1x5)−1)f(x)= \frac{1}{x^5(\exp (\frac{1}{x^5})-1)} nicht stetig?

Funktionen
Kontinuität
Mathematik
Grafikfunktionen

Skilopsaros

Ich habe die Funktion grafisch dargestellt

F (X) = \frac{1}{X^{5} (\exp (\frac{1}{X^{5}}) - 1)}

$f(x)=\frac{1}{x^5(\exp(\frac{1}{x^5})-1)}$ und das ist mir irgendwo in der Nähe aufgefallen

x = 1124.925

$x=1124.925$ Und

x = 1124.926

$x=1124.926$ die Funktion hörte auf, kontinuierlich zu sein. Ich habe es anfangs mit Desmos grafisch dargestellt, aber das Wiederholen mit anderer Grafiksoftware (GeoGebra) und dem Taschenrechner in meinem Telefon (FSC), da ich einen Fehler der Software leichter zu glauben fand, brachte die gleichen Ergebnisse. Ungefähr um denselben Wert sprangen alle davon ab

f_{(1124.925)} \approx 0.83

$f_{(1124.925)}\approx 0.83$ Zu

f_{(1124.926)} \approx 1.25

$f_{(1124.926)}\approx 1.25$ . Jetzt habe ich keine Ahnung, ob es irgendein Problem in meiner Mathematik gibt oder ob es damit zu tun hat, wie Computer Dinge berechnen. Wenn es kein Problem in der Software gibt, warum passiert das und warum ist diese Funktion nicht kontinuierlich?

( Hier ist der Desmos-Link )

Josef Dob

Die Funktionen in Ihrem Titel und im Text Ihres Beitrags sind nicht identisch.

Jolon B

Rauszoomen. Die Funktion ist an vielen verschiedenen Stellen unstetig (siehe z. B. x=1246).

Jair Taylor

Die Funktion ist stetig (überall in ihrem Bereich), da sie eine Zusammensetzung stetiger Funktionen ist. Das Problem ist, dass Fließkommaformate nur eine begrenzte Anzahl von Ziffern berechnen.

\exp (1 / x^{5})

$\exp(1/x^5)$ liegt ganz in der Nähe

1

$1$ für die

x

$x$ in diesem Bereich, so dass die Genauigkeit begrenzt ist. Einige Systeme haben spezielle Implementierungen von

f (x) = e^{x} - 1

$f(x) = e^x - 1$ weniger fehleranfällig als Rechnen

e^{x}

$e^x$ und subtrahieren

1

$1$ . Wenn Sie dies verwenden, erhalten Sie wahrscheinlich glattere Ergebnisse. Auch nur die Annäherung

e^{x} - 1 \approx x + x^{2} / 2

$e^x -1 \approx x +x^2/2$ wäre auf viele Stellen genau

x

$x$ so klein.

Antworten (2)

Warum würde die Funktion f(x)=1x5(exp(1x5)−1)f(x)=1x5(exp⁡(1x5)−1)f(x)= \frac{1}{x^5(\exp (\frac{1}{x^5})-1)} nicht stetig?

Die Funktionen in Ihrem Titel und im Text Ihres Beitrags sind nicht identisch.
Rauszoomen. Die Funktion ist an vielen verschiedenen Stellen unstetig (siehe z. B. x=1246).
Die Funktion ist stetig (überall in ihrem Bereich), da sie eine Zusammensetzung stetiger Funktionen ist. Das Problem ist, dass Fließkommaformate nur eine begrenzte Anzahl von Ziffern berechnen. $\exp(1/x^5)$ liegt ganz in der Nähe $1$ für die $x$ in diesem Bereich, so dass die Genauigkeit begrenzt ist. Einige Systeme haben spezielle Implementierungen von $f(x) = e^x - 1$ weniger fehleranfällig als Rechnen $e^x$ und subtrahieren $1$ . Wenn Sie dies verwenden, erhalten Sie wahrscheinlich glattere Ergebnisse. Auch nur die Annäherung $e^x -1 \approx x +x^2/2$ wäre auf viele Stellen genau $x$ so klein.

Josef Dob · Answer 1

Unter der Annahme, dass der Nenner niemals Null ist und x niemals Null ist, ist Ihre Funktion als Zusammensetzung stetiger Funktionen ebenfalls stetig. Tatsächlich ist es mit der gleichen Begründung sogar auf R_>0 differenzierbar.

Die von Ihnen verwendete Plot-Software nähert sich den Funktionswerten an; Es wird nicht für jeden (mehr als zählbaren) Wert von x ausgewertet und es wird nur die Maschinenpräzision verwendet, was bedeutet, dass es mindestens zwei mögliche Quellen für die im Plot wahrgenommenen Fehler gibt (sowie die Möglichkeit, dass das eigentliche Plotten ist Defekt).

Claude Leibovici · Answer 2

Es wurde fast alles gesagt.

Berechnen Sie für $x=1000$ ; der Funktionswert ist

0,9999999999999995000000000000000833333333333333333

$0.9999999999999995000000000000000833333333333333333$ Für große Werte von

x

$x$ , verwenden Sie stattdessen

F (X) \sim 1 - \frac{1}{2 X^{5}} + \frac{1}{12 X^{10}} + Ö (\frac{1}{X^{20}})

$f(x)\sim1-\frac{1}{2 x^5}+\frac{1}{12 x^{10}}+O\left(\frac{1}{x^{20}}\right)$ was das gleiche Ergebnis liefert.

Warum würde die Funktion f(x)=1x5(exp(1x5)−1)f(x)=1x5(exp⁡(1x5)−1)f(x)= \frac{1}{x^5(\exp (\frac{1}{x^5})-1)} nicht stetig?

Skilopsaros

Josef Dob

Jolon B

Jair Taylor

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Josef Dob

Claude Leibovici

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