Wer hat die Notation y|x=ay|x=ay|_{x=a} eingeführt?

Question

Wer hat die Notation y|x=ay|x=ay|_{x=a} eingeführt?

Michael Bachold

Wenn eine Variable $y$ hängt von anderen Variablen ab, sagen wir $y=c x^3$ , schreibt man oft

j |_{X = 2}

$y|_{x=2}$ sagen "

y

$y$ Wenn

x

$x$ Wert hat

2

$2$ ". Dies könnte im Zusammenhang mit Derivaten, wo wir finden, bekannter sein

{\frac{d y}{d x} |}_{x = 2} = 12 c

$\left. \frac{dy}{dx}\right|_{x=2}=12c$ . Es kommt auch in anderen Bereichen der Mathematik vor. Zum Beispiel die Faser eines Bündels

E

$E$ über einen gewissen Punkt

p

$p$ wird oft mit bezeichnet

E |_{p}

$E|_p$ . Wenn wir ein Faserbündel als einen von Punkten der Basis abhängigen Raum interpretieren, scheint dies analog zum vorherigen Beispiel zu sein.

Beachten Sie das im Beispiel $y=cx^3$ es wäre falsch zu schreiben $y(2)=8c$ seit $y$ ist keine Art Karte $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .

Frage 1: Wer hat diese Taktnotation eingeführt?

Frage 2: Wie haben sich die Menschen in der Frühzeit ausgedrückt? $y$ unter der Bedingung, dass $x=2$ "? Ich vermute, sie haben nur Wörter verwendet, aber gab es eine alternative Notation? Oder haben sie die Notation für die Anwendung von Funktionen missbraucht, wie in $y(2)$ , nachdem Euler/Bernoulli es eingeführt hatten?

Mauro ALLEGRANZA

Ich habe in Euler (noch) kein Beispiel für zB gefunden

f (2)

$f(2)$ aber die Verwendung von Klammern zum "Gruppieren" ist ganz natürlich ... Er schreibt

\sqrt{x}

$\sqrt x$ aber natürlich braucht er

\sqrt{(x + 2)}

$\sqrt {(x+2)}$ . Er nutzt

\cos Φ

$\cos \Phi$ aber ich bin mir ziemlich sicher, dass er das auch nutzt

\cos (Φ + π)

$\cos (\Phi + \pi)$ ... Der nächste Schritt (Cuachy) ist zu verwenden

f (x)

$f(x)$ Und

f (x + i)

$f(x+i)$ .

Michael Bachold

Danke @MauroALLEGRANZA, ich habe Schwierigkeiten, Ihre Kommentare in den Kontext dieser Frage zu stellen. Zum Beispiel

\cos

$\cos$ Und

l

$l$ sind Funktionen, also scheint es richtig zu schreiben

l (e)

$l(e)$ und nicht

l |_{x = e}

$l|_{x=e}$ . Aber vielleicht wollten Sie eine andere Botschaft übermitteln.

Michael Bachold

Ich schätze Ihre Vermutungen. Zu der Bemerkung über das Natürlichsein: wenn ich schreibe

y = f (x) = c x^{3}

$y=f(x)=cx^3$ Und

y = g (c) = c x^{3}

$y=g(c)=cx^3$ , somit

f (2) = 8 c

$f(2)=8c$ Und

g (2) = 2 x^{3}

$g(2)=2x^3$ , fändest du es immer noch selbstverständlich zu schreiben

y (2) = 8 c

$y(2)=8c$ ? Ich würde argumentieren, dass das Schreiben eines der oben genannten Punkte immer noch nicht ausreicht

y

$y$ eine Funktion des Typs

R \to R

$\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ .

Michael Bachold

Einige Kommentare wurden aus dieser Diskussion gelöscht. Zur Vollständigkeit:

l

$l$ war eine ältere Notation für

\log

$\log$ . Und es wurde angedeutet, dass es natürlich sein könnte zu schreiben

y (2) = 8 c

$y(2)=8c$ wenn man vorher geschrieben hätte

y = f (x) = c x^{3}

$y=f(x)=cx^3$ .

Antworten (2)

Wer hat die Notation y|x=ay|x=ay|_{x=a} eingeführt?

Ich habe in Euler (noch) kein Beispiel für zB gefunden $f(2)$ aber die Verwendung von Klammern zum "Gruppieren" ist ganz natürlich ... Er schreibt $\sqrt x$ aber natürlich braucht er $\sqrt {(x+2)}$ . Er nutzt $\cos \Phi$ aber ich bin mir ziemlich sicher, dass er das auch nutzt $\cos (\Phi + \pi)$ ... Der nächste Schritt (Cuachy) ist zu verwenden $f(x)$ Und $f(x+i)$ .
Danke @MauroALLEGRANZA, ich habe Schwierigkeiten, Ihre Kommentare in den Kontext dieser Frage zu stellen. Zum Beispiel $\cos$ Und $l$ sind Funktionen, also scheint es richtig zu schreiben $l(e)$ und nicht $l|_{x=e}$ . Aber vielleicht wollten Sie eine andere Botschaft übermitteln.
Ich schätze Ihre Vermutungen. Zu der Bemerkung über das Natürlichsein: wenn ich schreibe $y=f(x)=cx^3$ Und $y=g(c)=cx^3$ , somit $f(2)=8c$ Und $g(2)=2x^3$ , fändest du es immer noch selbstverständlich zu schreiben $y(2)=8c$ ? Ich würde argumentieren, dass das Schreiben eines der oben genannten Punkte immer noch nicht ausreicht $y$ eine Funktion des Typs $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ .
Einige Kommentare wurden aus dieser Diskussion gelöscht. Zur Vollständigkeit: $l$ war eine ältere Notation für $\log$ . Und es wurde angedeutet, dass es natürlich sein könnte zu schreiben $y(2)=8c$ wenn man vorher geschrieben hätte $y=f(x)=cx^3$ .

Mauro ALLEGRANZA · Answer 1

Du kannst sehen :

Giuseppe Peano , Lezioni di Analisi Infinitesimale , 2 Bände, 1893, Seite 17:

$[F (X)]_{X = A} = F (A) .$ $[f(x)]_{x=a}=f(a).$

Ich bin mir nicht sicher, ob es das früheste ist ... aber Peano war ein produktiver "Erfinder von Notationen".

Apropos: wie sie sich ausdrücken“ $y$ unter der Bedingung, dass $x=2$ "

siehe zB Seite 34 [gekürzt] :

lassen $y$ der natürliche Logarithmus von $x$ [...] Und $f(x) = \text {Log} x$ . Berechnen $\text {Log} 1001$ .

Hübsch. Das erinnert mich tatsächlich daran $y|_{x=a}$ ist der Substitution von Logikern sehr ähnlich, die Sie hier bereits beantwortet haben mathoverflow.net/questions/243084/…
@MichaelBächtold - Logiker haben die Substitution zwischen 1930 und 1950 "kodifiziert" und das Buch von Peano ist 1893. Es ist erwähnenswert, dass Peano (wie auch Frege) eine der Hauptquellen für Russel & Whiteheads Principia Mathematica (1910-1913) ist : die erste moderne Kodierung des mathematischen Protokolls.
Verstanden ... Es ist auch erwähnenswert, dass Alonzo Church , der die erste präzise Definition von "formaler Substitution" im Mathematikprotokoll lieferte, der moderne "Erfinder" der funktionalen Anwendung ist .
Es ist interessant, dass Sie sagen, dass die funktionale Anwendung mit dem Lambda-Kalkül „erfunden“ wurde. Ich hätte gesagt, dass Eulers $f(x)$ ist bereits funktionsfähige Anwendung. Aber wenn wir nicht finden können $f(2)$ in Euler, dann hat er es vielleicht tatsächlich nicht so gesehen, wie es später formalisiert wurde. Auch (in Tangenten gehend), kennst du die Alternative zur Lambda-Notation $x\mapsto x^2$ wurde zuerst verwendet? Oder vielleicht sollte ich das als separate Frage stellen ...

Michael Bachold · Answer 2

Bezüglich alternativer Notationen für $y|_{x=0}$ : Lagrange in Théorie des fonctions analytiques , 1797, S.57 schreibt:

(...) et si on désigne par $(y), (y'), (y''),$ usw. les valeurs de $y,y',y'',$ usw. Lorsch $x=0$ , auf einem en général
$j = (j) + X (j^{'}) + \frac{X^{2}}{2} (j^{″}) + \dots$ $y = (y) + x\,(y') + \frac{x^2}{2}(y'') +\ldots$

Dies wird 1825 in Martin Ohms Die Lehre vom Grössten und Kleinsten , S.5, weiterentwickelt, um andere Werte als Null zuzulassen:

Wenn $V$ ist eine Funktion von $x$ , Und $a$ ein Wert von $x$ , dann bezeichnen wir mit $V_a$ oder $(V)_a$ das, was daraus wird $V$ wenn wir schreiben $a$ überall statt $x$ .

(meine Übersetzung)

Diese Notation lässt Mehrdeutigkeiten zu, wenn andere Variablen beteiligt sind, die man ersetzen möchte. (Außerdem kommt es dem Notationsmissbrauch sehr nahe $V(a)$ .)

Die früheste Verwendung der "modernen" Notation, aber ohne den Balken, habe ich bisher in Todhunter's A History of the Calculus of Variations 1861, S.23 ff. gefunden.

(...) also die erste Zeile in zB (2) wird wirklich ausgeschrieben werden
$\begin{aligned} {ICH (P^{'} - \frac{D Q^{'}}{D X} + \frac{D^{2} R^{'}}{D X^{2}} - \dots) ω}_{X = β} \\ - & {ICH (P^{'} - \frac{D Q^{'}}{D X} + \frac{D^{2} R^{'}}{D X^{2}} - \dots) ω}_{X = a} \end{aligned}$ $\begin{align} &\left\{ I\left( P' -\frac{dQ'}{dx} + \frac{d^2R'}{dx^2} - \ldots \right)\omega \right\}_{x=\beta} \\ -& \left\{ I\left( P' -\frac{dQ'}{dx} + \frac{d^2R'}{dx^2} - \ldots \right)\omega \right\}_{x=\alpha} \end{align}$ und als Wert von $I$ Wenn $x=\beta$ wird im Allgemeinen nicht dasselbe sein wie wann $x=\alpha$ , können wir nicht, wie Lacroix es ausdrückt $A$ für $I$ in den Bedingungen enthalten in (2).

Obwohl die Notation ziemlich selbsterklärend ist, definiert Todhunter sie nicht explizit. Ich vermute also, dass es zu diesem Zeitpunkt bereits von jemand anderem verwendet wurde. Aber ich habe noch nicht alle von Todhunter zitierten Quellen überprüft.

Ich habe den Artikel 871 von Lacroix überprüft, der kurz zuvor von Todhunter zitiert wurde, und es gibt keine solche Notation in der Originalarbeit von 1814 books.google.com/books?id=RDpZIk1UnSAC&q=871
@ain92 danke dafür. Ich habe aufgehört zu suchen, aber ich interessiere mich immer noch für die Geschichte davon.

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