Wie berechnet man die Feldlinien eines induzierten Magnetfelds in einem Kondensator?

Unter der Annahme, dass die Annäherung, dass das elektrische Feld im Raum konstant ist, sich aber mit der Zeit ändert, vernünftig ist, dann seitdem$\vec j = 0$zwischen den Platten, eine mögliche Lösung für die$\vec \nabla \times \vec B$Gleichung, die auch erfüllt$\vec \nabla \cdot \vec B = 0$Ist$\vec B = \frac{1}{2c^2} \vec r \times \frac{\partial \vec E}{\partial t}$. Um zu sehen, was andere Lösungen sein können, stellen Sie sich eine andere Lösung vor$\vec B_2$, die beide Gleichungen erfüllt. Der Unterschied$\vec \Delta = \vec B-\vec B_2$erfüllt$\vec \nabla \times \vec \Delta = 0$, kann also als Gradient eines Skalarfeldes geschrieben werden. Seit der Abweichung von$\vec \Delta$ebenfalls Null ist, erfüllt dieses Skalarfeld die Laplace-Gleichung. Addieren Sie den Gradienten einer beliebigen Lösung zur Laplace-Gleichung$\vec B$wird eine andere Lösung geben. Sie müssen Randbedingungen hinzufügen, dh sich mit der Form der Kondensatorplatten und dem Ladestrom befassen, um diese Randbedingungen festzulegen und eine eindeutige Lösung zu erhalten.

Ein konkretes Beispiel liefert Problem 6.14 in JD Jacksons Classical Electrodynamics, dritte Auflage, wo er nach den Feldern in einem Kondensator mit kreisförmigen Platten in quasistatischer Näherung fragt.

Unter Verwendung der integralen Form des Ampére-Maxwell-Gesetzes ohne den Strom, der über die Platten hinweg Null ist:

$$\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mu_0 \varepsilon_0 \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \iint_{\Sigma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}$$

Wir können sehen, dass die linke Seite an den Rändern der Platten maximal ist, weil das Integral der rechten Seite die gesamte Fläche umfasst. Die B-Vektoren zeigen im Uhrzeigersinn, wenn sie von der positiven zur negativen Seite gesehen werden$\mathbf E$nimmt zu. Für Regionen, die näher am Zentrum liegen, ist die Richtung dieselbe, aber die Größe von$\mathbf B$ist aufgrund der kleineren umschlossenen Fläche kleiner.