Wie erhält man Anfangsbedingungen, um ein schwarzes Kerr-Loch abzubilden?

Ich lese Gravitationslinsen durch Spinning Black Holes in Astrophysics und im Film Interstellar, um einen Raytracer-Code zu erstellen, um Kerr-Schwarze Löcher abzubilden. Das Papier stellt einen Bezugspunkt-Beobachter senkrecht zu den Zeitblättern des Kerr-Schwarzen Lochs mit Boyer-Lindquist-Koordinaten und eine Kamera mit einem eigenen Bezugssystem vor. Die Beziehung zwischen diesem Referenzsystem wird in diesem Bild aus dem Papier dargestellt:

Referenzsystem der Kamera und FIDO

Das Papier bietet in Anhang A.1 eine Möglichkeit, Anfangsbedingungen im Referenzsystem der Kamera in das Referenzsystem Fiducial Observer zu transformieren. Dies geschieht wie folgt:

  1. Geben Sie den Standort der Kamera an ( R C , θ C , ϕ C ) , und seine Geschwindigkeit β und die Komponenten B R , B θ , B φ seiner Bewegungsrichtung relativ zum FIDO an seinem Standort; und geben Sie die Einfallsrichtung des Strahls an ( θ C S , ϕ C S ) am lokalen Himmel der Kamera.
  2. Berechnen Sie im richtigen Bezugssystem der Kamera die kartesischen Komponenten (obere Abbildung) des Einheitsvektors N die in Richtung des einfallenden Strahls zeigt
    N X = Sünde ⁡ θ C S cos ⁡ ϕ C S , N j = Sünde ⁡ θ C S Sünde ⁡ ϕ C S , N z = cos ⁡ θ C S
    .
  3. Berechnen Sie mit den Gleichungen für die relativistische Aberration die Bewegungsrichtung des einfallenden Strahls, N F , gemessen vom FIDO in kartesischen Koordinaten, ausgerichtet mit denen der Kamera:
    N F j = − N j + β 1 − β N j , N F X = − 1 − β 2 N X 1 − β N j , N F z = − 1 − β 2 N z 1 − β N j
    4. Berechnen Sie daraus die Komponenten von nF auf der sphärischen Orthonormalbasis des FIDO :
    N F R = B ϕ κ N F X + B R N F j + B R B θ κ N F z
    N F θ = B θ N F j − κ N F z
    N F ϕ = − − B R κ + B ϕ N F j + B θ B ϕ κ N F z

Wo κ = 1 − B θ 2 = B R 2 + B ϕ 2 .

Die Frage ist, wie man die Gleichungen in Punkt 4 (diese letzten Gleichungen) erhält. Ich weiß nicht, wie ich das Referenzsystem des FIDO mit dem der Kamera in Beziehung setzen soll. Ich weiß, dass die Beziehung im Bild ist, aber ich weiß nicht, wie ich diese Gleichungen richtig erhalten soll.

Können Sie eine detaillierte Berechnung liefern, wie Sie zu diesen letzten Gleichungen gelangen?

Alle Informationen, die in dieser Frage fehlen, finden Sie im Papier.

Antworten (1)

Letztendlich konvertieren wir nur zwischen einem sphärischen Koordinatensystem und einem kartesischen. Ich werde versuchen, mich an die Notation des Papiers zu halten, mit einer entscheidenden Änderung: Komponenten von Vektoren werden mit hochgestellten Zeichen bezeichnet, während tiefgestellte Zeichen dafür reserviert werden, zu identifizieren, auf welchen Vektor aus einer Menge verwiesen wird.

Wir haben einen Vektor N (aka N F ), und wir kennen seine Komponenten in kartesischen Koordinaten N X , N j , N z . Wir wollen seine sphärischen Koordinaten N R ^ , N θ ^ , N ϕ ^ . Die Basisvektoren für das kartesische System sind e X , e j , e z , und für das sphärische System sind e R ^ , e θ ^ , e ϕ ^ , wobei die Hüte uns daran erinnern, dass dies eher eine orthonormale Basis als die ebenso häufige orthogonale Koordinatenbasis ist. 1 Wir müssen eine Basis durch die andere ausdrücken, wobei wir davon ausgehen können, dass wir die Komponenten haben B R ^ , B θ ^ , B ϕ ^ des Einheitsvektors B zeigt die Bewegungsrichtung der Kamera an. 2 Die genaue Definition der Basis ist in §2.1, Punkt (iii) des Papiers angegeben.

Das Verfahren kann in diesen Schritten durchgeführt werden:

  1. Definieren e j = B . Dann können wir trivial schreiben e j in unserer Kugelbasis:

    (1) e j = B R ^ e R ^ + B θ ^ e θ ^ + B ϕ ^ e ϕ ^ .

  2. Wir suchen die sphärischen Komponenten von e X . Da nehmen wir e X ∈ Spanne ⁡ ( e R ^ , e ϕ ^ ) , wir wissen, dass wir schreiben können e X = e X R ^ e R ^ + e X ϕ ^ e ϕ ^ . Wir haben die Orthogonalitäts- und Normalisierungsbeschränkungen

    0 = e j ⋅ e X = B R ^ e X R ^ + B ϕ ^ e X ϕ ^ 1 = e X ⋅ e X = ( e X R ^ ) 2 + ( e X ϕ ^ ) 2 .
    Das Lösen dieses Gleichungssystems sagt uns
    (2) e X = B ϕ ^ κ e R ^ − B R ^ κ e ϕ ^ ,
    wo eine willkürliche Vorzeichenwahl getroffen wurde.

  3. Zwei Orthogonalitätsbeschränkungen, eine Normalisierungsbeschränkung und eine andere Vorzeichenwahl (die die Händigkeitsbeziehung zwischen den Koordinatensystemen bestimmt) bestimmen die drei sphärischen Komponenten von e z . Die Gleichungen sind

    0 = e j ⋅ e z = B R ^ e z R ^ + B θ ^ e z θ ^ + B ϕ ^ e z ϕ ^ 0 = e X ⋅ e z = B ϕ ^ κ e z R ^ − B R ^ κ e z ϕ ^ 1 = e z ⋅ e z = ( e z R ^ ) 2 + ( e z θ ^ ) 2 + ( e z ϕ ^ ) 2
    Die Lösung dieses Systems ergibt
    (3) e z = B R ^ B θ ^ κ e R ^ − κ e θ ^ + B θ ^ B ϕ ^ κ e ϕ ^ .

  4. Schließlich setzen wir einfach die Koeffizienten aus (1), (2) und (3) zusammen. Zum Beispiel,

    N R ^ = e X R ^ N X + e j R ^ N j + e z R ^ N z = B ϕ ^ κ N X + B R ^ N j + B R ^ B θ ^ κ N z .

1 Mit Koordinatenbasis meine ich eine, in der e R Skalen proportional zu R , so haben wir zum Beispiel “ e R “ = R anstatt “ e R ^ “ = 1 . Eine solche Basis wäre praktisch, wenn wir Vektoren betrachten würden, die an verschiedenen Punkten entstehen (wie es tatsächlich bei der tatsächlichen Integration der Nullgeodäten geschieht), aber da wir nur Richtungseinheitsvektoren an einem einzigen Punkt (dem Standort der Kamera) betrachten, verzichten wir darauf Wir haben nicht viel zu verlieren, wenn wir unsere Basis orthonormal machen.

2 Dass dies die Bewegungsrichtung ist, ist für diese Herleitung nicht relevant.

Wie erhält man Anfangsbedingungen, um ein schwarzes Kerr-Loch abzubilden?
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