Wie gehe ich mit einem Quantenfeld im Nenner um?

Ich möchte Ihnen einen allgemeinen Überblick über die Integrationsprozedur von Klassen von Operatoren geben, nur um eine Vorstellung davon zu bekommen, wie man mit diesen mathematischen Objekten umgeht (was erlaubt ist und was keinen Sinn macht). Die Schlüsselbeziehungen, die Ihren Bediener vollständig bestimmen, sind in (1) unten zusammengefasst.

Im Allgemeinen, wenn Sie eine Klasse von Operatoren haben$\{A(s)\}_{s\in S}$, mit$A(s) : D \to H$für eine gemeinsame Domäne$D \subset H$($H$der Hilbertraum der Theorie ist) und mit$S$gegeben durch einen Satz, der mit einem positiven Maß ausgestattet ist$\mu$, ist es möglich, einen integrierten Operator zu definieren:

$$\int_S A(s) d\mu(s)$$ mit den folgenden Schritten.

Vorausgesetzt, für jeden$\phi\in D$, die Karte

$$S \ni s \mapsto ||A(s) \phi||$$ Ist $\mu$integrierbar und das für jeden $\phi\in D$Und $\psi \in H$, die Karte $$S \ni s \mapsto \langle \psi | A(s) \phi \rangle$$ ist dann messbar $$H \times D \ni (\psi,\phi) \mapsto Q(\psi, \phi):= \int_S \langle \psi | A(s) \phi \rangle d\mu(s)\:.$$ ist wohldefiniert, da $$|\langle \psi | A(s) \phi \rangle| \leq ||\psi|| ||A(s) \phi||\:$$ Das ist einfach bewiesen $Q(\cdot, \cdot)$ist im rechten Slot linear und im linken antilinear, außerdem gilt: $$|Q(\psi, \phi)|\leq C||\psi|| \:.$$ Der Satz von Riesz impliziert dies leicht für alle $\phi\in D$Es gibt einen eindeutigen Vektor, angezeigt durch $$\int_S A(s) \phi d\mu(s)$$ so dass, wenn $\psi\in H$: $$Q(\psi, \phi) = \left\langle \psi |\int_S A(s) \phi d\mu(s) \right\rangle \:.$$ Durch die Konstruktion, da $Q$rechtslinear ist, findet man das $$D \ni \phi \mapsto \int_S A(s) \phi d\mu(s)$$ ist auch linear.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass es unter recht milden Hypothesen einen eindeutigen linearen Operator gibt, der durch angezeigt wird$\int_S A(s) d\mu(s)$und definiert auf$D$, so dass:

$$\left\langle \psi |\int_S A(s) d\mu(s) \phi \right\rangle = \left\langle \psi |\int_S A(s)\phi d\mu(s) \right\rangle = \int_S \langle \psi | A(s) \phi \rangle d\mu(s)\tag{1}$$ für jeden $\phi \in D$Und $\psi \in H$. Aus diesen Identitäten können Sie einige Eigenschaften induzieren $A(s)$Zu $\int_S A(s) d\mu(s)$. Wenn zum Beispiel die $A(s)$s sind hermitesch, $\int_S A(s) d\mu(s)$Ist. Wenn $||A(s)|| <K <+\infty$für einige $K$und alles $s\in S$, Dann $\int_S A(s) d\mu(s)$ist begrenzt, und so weiter.

In Ihrem Fall$s=\theta$, erwarte ich, dass alle beteiligten Betreiber davon abhängen$\theta$in gewisser Weise (das Papier ist mir in Bezug auf diese Details ziemlich unklar), und Sie sollten (1) verwenden, um den gesuchten Operator zu definieren: Es gibt nur einen Operator, der ihn erfüllt. Offensichtlich$1/(T+T^\dagger)$ist zu verstehen als$(T+T^\dagger)^{-1}$(Umkehroperator).