Es wird allgemein gesagt, dass die Pythagoräer durch die Entdeckung der irrationalen Zahlen aus dem Gleichgewicht gebracht wurden; da ihre Philosophie auf Verhältnissen beruhte; Verhältnisse zweier endlicher Zahlen.
Dennoch ist es natürlich, ein Verhältnis zweier unendlicher Zahlen zu betrachten; und die meisten davon werden sich einem Irrationalen nähern. Immerhin betrachtet man leicht 1,2,3,...; so könnte man zu 1/2, 11/22, 111/222 ... geführt werden; und man muss dann nur zeigen, dass einige unendliche Verhältnisse nicht durch übliche Techniken auf endliche reduziert werden können: zum Beispiel (5 x 1111 ...) / (6 x 1111 ...) = 5/6. Nun, dies verwendet natürlich ungenaue Techniken, soweit es die moderne zeitgenössische Mathematik betrifft; aber unterschiedliche Maßstäbe der Strenge in der Antike ...
Archimedes hatte viel später als die Pythagoräer eine Methode der Erschöpfung entwickelt; ein Vorläufer des Kalküls.
Man könnte argumentieren, dass dies ein Ergebnis der „irrationalen“ Entdeckung ist; aber angesichts des Apeiron von Anaximander, dem Grenzenlosen ; die Idee des Unendlichen als etwas Unbegrenztes war bereits da.
Wie historisch fundiert ist die „Standard“-Erzählung der Irrationalen und der Pythagoreer? Das heißt, ihre gesamte Philosophie wurde gestört :
Die Pythagoräer predigten, dass alle Zahlen als Verhältnis ganzer Zahlen ausgedrückt werden könnten, und die Entdeckung irrationaler Zahlen soll sie schockiert haben
und
Pappus sagt lediglich, dass das Wissen um irrationale Zahlen aus der pythagoräischen Schule stammte und dass das Mitglied, das das Geheimnis zuerst preisgab, durch Ertrinken umkam
Nach meinem Verständnis ist es keineswegs "historisch korrekt", zu sagen, dass die Pythagoräer die irrationalen Zahlen entdeckt haben.
Die archaische griechische Mathematik teilte die (implizite) Annahme, dass es bei zwei Größen, z. B. zwei Längenabschnitten a bzw. b , immer möglich ist, einen Abschnitt der "Einheitslänge" u zu finden, der beide "misst", dh so dass [unter Verwendung moderner algebraischer Formeln, die der griechischen Mathematik völlig fremd sind]:
a=n×u und b=m×u , für geeignete n,m .
Aus obiger Annahme folgt:
a/b = n×u / m×u = n/m .
Die Annahme läuft darauf hinaus, dass das Verhältnis zwischen zwei Größen immer ein Verhältnis zwischen ganzen Zahlen ist (dh modern ausgedrückt: eine rationale Zahl).
Beachten Sie jedoch, dass für die griechische Mathematik die einzigen Zahlen die natürlichen sind und sie von Größen unterschieden werden müssen : ein Segment, ein Quadrat, ... die durch Zahlen „gemessen“ werden, die das Verhältnis zwischen der gemessenen Größe und der relevanten „Einheit“ ausdrücken. Größe.
Für die alten Griechen gibt es keine rationalen Zahlen; aber nur Größen messbar mit Vielfachen einer geeigneten Einheit eins.
Die Entdeckung der Existenz irrationaler Größen durch den Beweis, dass der Fall, in dem b die Seite des Quadrats und a seine Diagonale ist, nicht als Verhältnis zwischen (natürlichen) Zahlen ausgedrückt werden kann, führt die griechische Mathematik zur Rücknahme des Obigen (implizit ) Annahme, die wir als "Kommensurabilitätsannahme" bezeichnen können, und zur Axiomatisierung der Geometrie, dh dem systematischen Versuch, alle notwendigen Annahmen explizit aufzulisten.
Zusammenfassend lässt sich sagen, dass es in der antiken griechischen Mathematik weder „irrationale“ noch „unendliche“ Zahlen gab.
Es stimmt nicht, dass antike Mathematiker andere rationale Maßstäbe hatten, und genau darum geht es. Sie erwarteten rigorose Demonstrationen. Erst als das Konzept der Grenze und der Infinitesimalzahlen erfunden wurde, konnten wir Irrationale rigoros behandeln.
(5 x 11111...)/(6 x 11111...) ist nicht gleich 5/6
(5 x 11111...) ist gleich unendlich und (6 x 11111...) ist gleich unendlich.
(unendlich)/(unendlich) ist immer undefiniert.
Die obskure Natur der Pythagoras-Schule macht es schwer zu wissen, wer die irrationalen Zahlen entdeckt hat (Hippasus?). Wahrscheinlich fanden sie die Schwierigkeit, als sie ein rechtwinkliges Dreieck untersuchten, dessen Seiten a und b beide gleich eins sind. Vielleicht haben sie zu ihrem Entsetzen herausgefunden, dass die Zahl Zwei kein perfektes Quadrat ist (z. B. sind 4, 9, 16, ... perfekte Quadrate und ergeben eine ganze Zahl, wenn ihre Quadratwurzel gezogen wird).
Pythagoras argumentierte „alles sind Zahlen“ und auch, dass für jedes rechtwinklige Dreieck die Quadrate der Seiten a und b genau gleich dem Quadrat seiner Hypotenuse (Linie c) sind, aber dies kann anders gesagt werden, das Quadrat, das auf dem errichtet wird Die Diagonale eines Quadrats hat die doppelte Fläche des ursprünglichen Quadrats. Die Schwierigkeit, die sie hatten, war der Versuch, ein Verhältnis von zwei ganzen Zahlen zu erstellen, das die Quadratwurzel von zwei erklären würde. Sie versuchten und versuchten und versuchten, und sie konnten kein solches Verhältnis finden. Jemand (Euklid?) bewies später, dass ein solches Verhältnis nicht existiert. (The Presocratics, Philip Wheelwright (Herausgeber), 1997, S. 206).
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