Wie kann der Satz von Noether verwendet werden, um zu beweisen, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte eine Kontinuitätsgleichung erfüllt?

Wie kann ich den Satz von Noether verwenden, um zu zeigen, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ ( x ) = | ψ ( x ) | 2 für eine Wellenfunktion ψ ( x ) erfüllt die Kontinuitätsgleichung ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ j → = 0 , wo j → ist der Wahrscheinlichkeitsstrom in der Quantenmechanik definiert?

Ich habe dieses Problem schon früher auf andere Weise gelöst, aber ich glaube nicht, dass ich den Satz von Noether gut genug verstehe, um ihn in diesem Fall anzuwenden. Jede Hilfe wäre sehr willkommen.

Etwas in meinem Hinterkopf sagt, dass es eine Quantenversion / Optimierung von Noethers Theorem gibt, aber ich hoffe, ich führe Sie nicht in die Irre, wenn die klassische Version funktioniert. en.wikipedia.org/wiki/Noether%27s_theorem_(Begriffsklärung)

Antworten (1)

Beachten Sie zunächst, dass die Schrödinger-Gleichung so verstanden werden kann, dass sie aus einer Aktion stammt. Der Lagrange ist

L = ∫   d 3 x ψ † ( x ) ( ich ∂ ∂ t − ∇ 2 2 m ) ψ ( x ) − ψ † ( x ) ψ ( x ) v ( x )

Die Euler-Lagrange-Gleichung für ψ † ( x ) ist genau die Schrödinger-Gleichung. Da die Dynamik von ψ ( x ) auf diese Weise von der Lagrange-Mechanik bestimmt werden, gilt der Satz von Noether ohne Einschränkungen.^^

Insbesondere hat dieser Schrödinger Lagrangian a U ( 1 ) Symmetrie entsprechend ψ ( x ) ↦ e ich a ψ ( x ) . Die entsprechende erhaltene Ladestromdichte ist

ρ = j 0 = ∂ L ∂ ψ ˙ δ ψ = ψ † ψ ( x )
j → ich = ∂ L ∂ ich ψ δ ψ + ∂ L ∂ ich ψ † δ ψ † = ich 2 m ( ( ∂ ich ψ † ) ψ − ψ † ∂ ich ψ ) ,
Dies ist die bekannte Wahrscheinlichkeitsstromdichte.

^^ In der nichtrelativistischen Quantenmechanik die Wellenfunktion ψ ( x ) ist insofern eine "klassische" Variable, als es sich einfach um eine Funktion von Raum und Zeit handelt C . Der Satz von Noether funktioniert dafür genauso wie in der klassischen Mechanik. In der Quantenfeldtheorie die relevanten Objekte ψ ( x ) zu Quantenoperatoren und die üblichen Argumente müssen etwas modifiziert werden.

+1 meinen Sie vielleicht, mit Vorbehalten in Ihrem Beitrag. Keine große Sache bei dieser Frage, nur eine Antwort mit Ja/Nein/Weiß nicht ist in Ordnung, aber mit Feldern als Operatoren, würden die Ward-Identitäten in meinem Kommentar oben irgendeinen Sinn ergeben, wenn Sie QFT kennen?
Ein kleiner Wermutstropfen: Der Satz von Noether kann nicht „einfach“ wie in der klassischen Mechanik verwendet werden, da man die Quantenmechanik sowohl im Hamilton- als auch im Lagrange-Formalismus formulieren kann (siehe zB das Buch der Klassischen Mechanik von Marsden und Ratius), ist es einfach der Satz von Noether.
Wahrscheinlich müssen wir einen anderen Lagrange verwenden, da Ihr Ausdruck die komplexe konjugierte Schrödinger-Gleichung nicht liefert − ich ℏ ∂ ψ ∗ ∂ t = v ψ ∗ . Es ist wichtig, weil ψ und ψ ∗ sind nicht unabhängig, und wenn die Lagrange-Funktion verschiedene Gleichungen für sie angibt, dann haben wir mehr Einschränkungen für eine Lösung ψ . Ich schlage vor, dieses Formular zu verwenden: L ( ψ , ∂ ψ ∂ t , ψ ∗ , ∂ ψ ∗ ∂ t ) = ( v − ℏ 2 2 m Δ ) | ψ | 2 + ich ℏ ψ ∂ ψ ∗ ∂ t
Leider habe ich keine Literatur über einen Lagrange-Operator für die Schrödinger-Gleichung gefunden, also könnte ich auch einen Fehler machen
Wie kann der Satz von Noether verwendet werden, um zu beweisen, dass die Wahrscheinlichkeitsdichte eine Kontinuitätsgleichung erfüllt?
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