Wie kann man die negative spezifische Wärme eines masselosen Majorana-Fermions in einer Dimension verstehen?

Betrachten wir ein masseloses Majorana-Fermion auf einem Längenring L mit einer periodischen Randbedingung bei einer Temperatur T . Dann sagt uns die Berechnung der konformen Feldtheorie, dass die Quantenverteilungsfunktion dieses einzelnen Majorana ( k B ≡ 1 )

Z ( T , L ) = χ 1 / 16 ( τ ) χ 1 / 16 ∗ ( τ ) | τ = ich / ( L T ) ,
Wo χ H ( τ ) ist der Virasoro-Charakter des primären Feldes mit konformer Dimension H . Dann, wenn die Systemgröße groß ist L T ≫ 1 , ist das asymptotische Verhalten der Zustandssumme
Z ( T , L ) ≈ exp ⁡ { π L T 6 [ C − 12 ( H + H ¯ ) ] } ,
Wo H = H ¯ = 1 / 16 nämlich der niedrigste Wert der Virasoro-Generatoren L 0 Und L ¯ 0 des masselosen Majorana mit zentraler Ladung C = 1 / 2 .

Daher können wir die spezifische Wärme pro Längeneinheit als erhalten

C v = 1 L T ∂ 2 ∂ T 2 [ T ln ⁡ ( Z ( T , L ) ) ] = π T 3 ( C − 12 H − 12 H ¯ ) = − π T 3 < 0  (Wenn  T > 0 ) .
Meine Frage ist, wie man diese negative spezifische Wärme versteht und bedeutet dies, dass Majorana-Fermion bei jeder endlichen Temperatur überhaupt thermisch instabil ist?

Antworten (1)

Die freie Energie pro Längeneinheit eines Chirals C = 1 Dirac-Fermion oder ein nicht-chirales C = 1 / 2 masseloses Majorana ist

β F / L = − ∫ − ∞ ∞ D k 2 π ln ⁡ ( 1 + e − β v F ℏ | k | ) = − 1 π β v F ℏ ∑ N = 1 ∞ ( − 1 ) N + 1 1 N 2 = − π 12 1 β v F ℏ

Für allgemeine Zentralladung C wir haben

F / L = − π C 6 β 2 v F ℏ
das ist negativ, aber die innere Energie ist es
⟨ E ⟩ / L = ∂ ∂ β ( β F / L ) = + π C 6 β 2 v F ℏ = π 12 β 2 v F ℏ = π k B 2 T 2 12 v F ℏ .
Die spezifische Wärme ist dann
( 1 / L ) ∂ ⟨ E ⟩ ∂ T = π C k B 2 T 3 v F ℏ = π k B 2 T 6 v F ℏ
Das ist positiv und hängt nur davon ab C so wie es sollte. Ich weiß nicht, woher du das Gewicht hast H Stückchen ab. Ich denke, es gibt zusätzliche Faktoren, die in den Ausdruck für die thermodynamische Partitionsfunktion in Bezug auf die Virasoro-Charaktere aufgenommen werden müssen, aber es ist zu lange her, seit ich an diesem Zeug gearbeitet habe, und meine Kopie von Di Francisco in meinem unzugänglichen Büro.

Ich habe die erhalten H Und ℏ 's aus Gleichung (21.115) in Fradkins Vorlesungsnotizen: eduardo.physics.illinois.edu/phys583/ch21.pdf Dann, weiter durch Gleichung (21.120) dort, hatte ich einen zusätzlichen Term. Ich versuche auch, meine Ableitungen zu überprüfen.
Ich bin mir nicht sicher, aber ich vermute, dass Ihre erste Gleichung die freie Energie des Fermions im Neveu-Schwarz-Sektor (antiperiodische Randbedingung) berechnet (in dem Majorana eine Partitionsfunktion hat als | χ 0 + χ 1 / 2 | 2 ). Es könnte eine Korrektur geben ( 2 ∗ 1 / 16 ) , aufgrund der normalen Reihenfolge, auf der Casimir-Energie ( − 2 ∗ C / 24 ) zwischen dem Neveu-Schwarz-Sektor und dem Ramond-Sektor.
Sie wollen Eduardos 21.114 mit l → β = 1 / k T um meinen Ausdruck zu bekommen F = F / L . Die anderen Gleichungen behandeln Temperatureffekte nicht so wie sie sind T unabhängig. Der L 0 ist drin H sind ebenfalls nicht relevant, ebenso wenig wie die Casimir-Energie ϵ G in 21.20 ist es wieder temperaturunabhängig. Ich hatte dieses Kapitel nicht gelesen, obwohl er mir eine Kopie geschickt hatte. Es ist ein bald erscheinendes Buch.
Sie haben Recht, und ich habe tatsächlich die subführenden Terme in der asymptotischen Beziehung der Virasoro-Zeichen übersehen, die ich gerade von Di Francesco überprüft habe. Nach deren Berücksichtigung ist der verbleibende Nettobeitrag nur noch der zentrale Gebührenteil.
Wie kann man die negative spezifische Wärme eines masselosen Majorana-Fermions in einer Dimension verstehen?
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