Wie kann man sagen, dass sich der elektromagnetische Feldtensor als Tensor transformiert?

Genau genommen ist eine Matrix kein Tensor, sondern eine Darstellung eines Tensors in einer bestimmten Basis. Sie können nicht sagen, ob eine gegebene Matrix ein Tensor ist, indem Sie nur ihre Komponenten verwenden. Sie müssten wissen, wie es sich in verschiedene Referenzrahmen umwandelt.

Für den elektromagnetischen Feldtensor könnten Sie beispielsweise die Gleichungen für eine physikalische Konfiguration elektromagnetischer Felder schreiben und dann die Gleichungen schreiben, die dieselbe physikalische Konfiguration in einem anderen Bezugssystem beschreiben, und zeigen, dass die Anwendung der entsprechenden Lorentz-Transformation zweimal von konvertiert eins zum anderen.

wo ich verwendet habe$\Lambda(1,2)$um die Lorentz-Transformation zu bezeichnen, die von Frame 1 zu Frame 2 transformiert. Diese Berechnung vollständig durchzuführen, wird etwas mühsam, weshalb viele Lehrbücher sie nicht vollständig durchgehen, sondern sie nur plausibel erscheinen lassen. (Aber zumindest Einstein musste es tun, um zu zeigen, dass die Theorie so funktioniert.)

Wie auch immer, der Punkt ist, dass die tensorielle Natur einer Größe wirklich eine Folge des Transformationsgesetzes ist, nicht der Darstellung (der Matrix).

Die Antwort auf Ihre Frage hängt ziemlich davon ab, was Sie für grundlegend halten und was Sie für abgeleitet halten.

Eine moderne, offensichtlich relativistische Behandlung von E&M würde den elektromagnetischen Feldtensor definieren als

wo$\mathcal{F}$ist der Feldtensor und$F$ist die auf ein Teilchen wirkende Viererkraft. Durch diese Definition ist das offensichtlich klar$\mathcal{F}$ist ein Tensor; Es ist ein linearer Operator, der einen Vektor nimmt und einen anderen erzeugt. Bei diesem Ansatz müssen Sie nur noch zeigen, wie die Komponenten funktionieren$\mathcal{F}$beziehen sich auf das Übliche$\mathbf{E}$und$\mathbf{B}$Drei-Vektoren. Für eine Behandlung in diesem Stil siehe mein SR-Buch, http://www.lightandmatter.com/sr/ , Abschnitt 10.3.

Ein einfacher Ansatz wäre zu definieren$\mathbf{E}$und$\mathbf{B}$wie üblich in einem Erstsemester-Physikunterricht, finden Sie dann ihre Transformationsgesetze. (Dies geschieht z. B. in dem klassischen Buch von Purcell aus dem Jahr 1965, Electricity and Magnetism. Die erste Ausgabe kann kostenlos online gefunden werden, da sie mit einem NSF-Stipendium entwickelt wurde. Es gibt auch eine schöne moderne Ausgabe von Cambridge University Press.) Nachdem Sie dies getan haben, müssen Sie sie dann als Komponenten von zusammensetzen$\mathcal{F}$und zeigen, dass diese Transformationsgesetze machen$\mathcal{F}$als Tensor transformieren.

Müssten wir beweisen, dass sich der elektromagnetische Feldtensor als Tensor durch Brute-Rechnung transformiert?

Nicht, wenn Sie akzeptieren, dass die Ableitung eines Tensors ein Tensor mit einem höheren kovarianten Rang ist .

In SR sind das skalare elektrische und vektormagnetische Potential Komponenten eines Vierervektors (eines Rang-1-Tensors), des elektromagnetischen Viererpotentials $A_{\mu}$.

Dann ist das Folgende ein kovarianter antisymmetrischer Tensor des Ranges 2, der elektromagnetische Tensor :

Gibt es alternativ eine clevere und offensichtlichere Abkürzung, die Sie verwenden könnten, um zu derselben Erkenntnis zu gelangen?

In komponentenfreier Notation haben wir die Tensorgleichung

die den elektromagnetischen Tensor als äußere Ableitung des elektromagnetischen Viererpotentials definiert und daran keinen Zweifel lässt$\mathbf F$ist ein Tensor.