Wie komme ich von ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] zu ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]?

Ich habe kürzlich über das ontologische Argument nachgedacht. Ich versuche zu gehen

• ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]

zu

• ∃x□[∃y(y=x) ∧Mx]

Ich wähle diese Formulierung, weil sie auszudrücken scheint, dass x die Eigenschaft notwendiger Existenz und essentieller maximaler Exzellenz hat.

Ich versuche auch zu vermeiden, die Barcan-Formel zu verwenden und damit eine konstante Domäne zu vermeiden. Ich kann vielleicht erkennen, wie ich dahin komme, indem ich in Begriffen möglicher Welten darüber nachdenke. Der Versuch, dies in quantifiziertem S5 ohne die Barcan-Formel, die Converse-Barcan-Formel und die notwendige Existenz auszuarbeiten. Ich möchte darüber in Bezug auf die Semantik von Variablendomänen nachdenken und bin mir nicht sicher, ob ich dafür eine freie Logik verwenden müsste. Meine quantifizierte Modallogik ist nicht so gut, daher bin ich mir nicht sicher, ob das Folgende gilt.

Gegeben ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] gibt es eine Welt w , die von der tatsächlichen Welt zugänglich ist, so dass bei w ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]. Dann nehme ich an, dass Sie die existenzielle Instanziierung auf dieser Welt so verwenden können, dass es eine Konstante a gibt , so dass □[∃y(y=a) ∧ Ma]. Da die Zugriffsrelation in S5 symmetrisch ist, gilt in der realen Welt auch □[∃y(y=a) ∧ Ma]. Verwenden Sie dann die existenzielle Verallgemeinerung, ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx].

Ich glaube, ich habe zwei Fragen. Erstens, ist die obige Argumentation in einem quantifizierten S5 mit einem variablen Bereich richtig? Zweitens, wie gehe ich aus

• ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]

zu

• ∃x□[∃y(y=x) ∧Mx]

in einem zeilenweisen Beweis?

BEARBEITEN: Angesichts des Vorschlags von Dennis muss ich mein Argument wie folgt ändern: Bei ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] gibt es eine Welt w, auf die von der tatsächlichen Welt aus zugegriffen werden kann, in der es bei w wahr ist dass ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]. Verwenden Sie EI mit einer Konstanten a und erhalten Sie □[∃y(y=a) ∧ Ma]. Verwenden Sie das S4-Axiom und erhalten Sie □□[∃y(y=a) ∧ Ma]. Verwenden Sie dann die Symmetrie der Zugriffsbeziehung in S5, um □[∃y(y=a) ∧ Ma] in der tatsächlichen Welt zu erhalten. Verwenden Sie dann EG, um ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] zu erhalten.

Mein Ziel ist es im Wesentlichen, Plantingas Argumentation zu formalisieren, wobei die Schlüsselprämisse lautet: „Möglicherweise existiert ein Wesen, das in jeder möglichen Welt maximal exzellent ist“, was dasselbe ist wie „Möglicherweise existiert ein Wesen, das im Wesentlichen maximal exzellent ist und notwendigerweise vorhanden." Das De-dicto- Lesen des Arguments vereinfacht die Dinge enorm, aber ich war daran interessiert zu sehen, wie sich das Argument in der quantifizierten Modallogik auswirkt, insbesondere unter Vermeidung der Verwendung der Barcan-Formel und Verwendung eines Variablenbereichs.

EDIT2: Einige weitere Fragen.

Okay, Dennis, ich habe noch ein wenig darüber nachgedacht und hier meine bisherigen Gedanken.

(I) In Ihren Tableaus, die zeigen, dass ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ⊢ ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx], appellieren Sie in Zeile 15L an Ma bei w2 , from Zeile 5, wo Sie □[∃y(y=a) ∧ Ma] bei @ hatten, und Sie haben die Konjunktion zu □∃y(y=a) ∧ □Ma aufgeteilt und die Box entladen, um sie auch bei w2 wahr zu machen . Ich habe mich gefragt, ob wir das nicht einfach sagen können, wenn wir wissen, dass a in der Domäne von w2 liegt, und woher wissen wir das?

Liegt es daran, dass wir wissen, dass □∃y(y=a) oder hat es etwas mit VS5 mit NI oder etwas anderem zu tun? In Priests Buch wird der Begriff der Negativitätsbeschränkungsregel im Zusammenhang mit notwendiger Identität diskutiert, wo wir das Identitätsprädikat – oder eigentlich überhaupt Prädikate – nicht auf Nichtexistente ausdehnen können, und dies erscheint ziemlich plausibel. Dies scheint jedenfalls ernsthaften Aktualismus zu respektieren. Aber wir wollen doch sicher nicht sagen, dass gib □Ma, Ma in allen Welten gilt und daher ein notwendigerweise existiert, oder? Wird diese Sorge durch □∃y(y=a), was nur □E!a zu sein scheint, mehr oder weniger gemildert, oder haben wir Grund, uns wegen dieser Formulierung Sorgen zu machen?

Ich habe mir auch T. Siders Logic for Philosophy angesehen, und er scheint genau diese Frage auf den Seiten 312 - 314 im Abschnitt über "Starke und schwache Notwendigkeit" zu berücksichtigen. Sein Vorschlag ist, dass wir Sätze wie „a ist notwendigerweise F“ so übersetzen, dass wir ernsthaften Aktualismus respektieren, vielleicht mit □[∃x(x=a) → Fa]. Vielleicht könnten wir die Formulierung also umstrukturieren als ∃x□[∃y(y=x) ∧ (∃z(z=x) → Mx)]?

(II) Folgt außerdem, wenn a ⊢ b, dass □(a → b)?

(III) Wir können auch □(◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]) zeigen, so wie es scheint, kann das gleiche Argument sein zu irgendeiner beliebigen Welt relativiert? Oder vielleicht, weil ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ∧ ¬∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] gemäß den Tableaus inkonsistent ist, dann ist ¬◊(◊∃x□[∃ y(y=x) ∧ Mx] ∧ ¬∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]), was einfach □(◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → ∃x□ ist [∃y(y=x) ∧ Mx]).

Oder eine andere Art zu zeigen wäre, ◊¬(◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]) anzunehmen. Also bei einer möglichen Welt w1 ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] und ¬∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]. Aber es scheint, als könnten Sie einfach ein leicht modifiziertes Tableau geben, um zu zeigen, dass dies zu einem Widerspruch in allen Zweigen führt. Gegeben sei erstere, bei irgendeiner Welt w2 ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] also durch EI □[∃y(y=a) ∧ Ma]. Nach dem S4-Axiom ist □□[∃y(y=a) ∧ Ma] bei w2 also □[∃y(y=a) ∧ Ma] bei w1 . Nach EG, ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] bei w1 , was ¬∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] bei w1 widerspricht. Also □(◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]). Also ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx], also ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] und so □(◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]).

(IV) Als Konsequenz kann ich auch ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → □∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)] zeigen, oder? Gegeben ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] gibt es eine Welt w1 , die von der tatsächlichen Welt aus zugänglich ist, wobei bei w1 gilt, dass ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]. Verwenden Sie EI mit einer Konstanten a und erhalten Sie □[∃y(y=a) ∧ Ma] bei w1 . Verwenden Sie das S4-Axiom und erhalten Sie □□[∃y(y=a) ∧ Ma] bei w1 . Dann ist für jede Welt w □[∃y(y=a) ∧ Ma]. Und jedes solche w verwendet EG, um ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] zu erhalten, also □∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)] - ein UG über der Menge möglicher Welten W . Also ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → □∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)].

Wir können es auch durch Tableaus zeigen.

Es scheint auch einfach genug zu zeigen, dass □(◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → □∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)]) wie es scheint, das obige Argument gemacht werden kann relativiert zu jeder beliebigen möglichen Welt und die Leugnung der Implikation ergibt einen Widerspruch im Tableau. Aber für den indirekten Beweis nehmen wir an, es wäre nicht der Fall, also ◊¬(◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → □∃x□[∃y(y=x)] ∧ Mx) also bei einer möglichen Welt w1 , ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] und ¬□∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] und somit haben wir ◊∃x□[∃y( y=x) ∧ Mx] und ◊¬∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] bei w1 . Betrachten Sie zuerst ersteres - es gibt einige w2 , die ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]. Für ◊¬∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] bei w1 gibt es ein w3 , das ¬∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] bei w3 . Aber gegeben ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] bei w2, verwenden Sie einfach EI und daher □[∃y(y=a) ∧ Ma] und daher □□[∃y(y=a) ∧ Ma] nach dem S4-Axiom. Daher ist bei w3 □[∃y(y=a) ∧ Ma] was nach EG ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] bei w3 ergibt, im Widerspruch zu ¬∃x□[∃y(y=x ) ∧ Mx] bei w3 . Also □(◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → □∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)]). Es sollte auch klar sein, dass □∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)] → ∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)] → ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx], so dass □∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)] → ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] und somit ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ □∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)] und damit □(◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ □∃x□[Mx ∧ ∃y(y= x)])

(V) Außerdem scheint es, dass ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → □∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] durch ein ähnliches Argument wie oben. Betrachten Sie ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] bei @ und durch EI □[∃y(y=a) ∧ Ma] bei @ und durch das S4-Axiom, □□[∃y(y=x) ∧ Mx] bei @ und damit für jede beliebige Welt w □[∃y(y=x) ∧ Mx] und durch EG ∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)] bei jeder Welt w , so dass □∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)].

Wir können dies auch durch Tableaus sehen.

Außerdem scheint es, dass □(∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → □∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]), was im Wesentlichen die „Anselmsche Prämisse“ ist. Auch hier führt die Leugnung der Implikation zu einem Widerspruch im Tableau. Angenommen, es wäre nicht der Fall; dann ◊¬(∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → □∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]) also bei irgendeinem w1 ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] und ◊¬∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)]. Bei letzterem gibt es ein w2 mit ¬∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)]. Wenn ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] bei w1 gegeben ist, verwenden Sie EI, um □[∃y(y=a) ∧ Ma] zu erhalten, und dann das S4-Axiom, um □□[∃y(y=a) zu erhalten ) ∧ Ma] und damit □[∃y(y=a) ∧ Ma] bei w2 . Nach EG gilt ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] bei w2, im Widerspruch zu ¬∃x□[Mx ∧ ∃y(y=x)]. Es sollte auch klar sein, dass □∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] → ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] und damit ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ □∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] und damit □(∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ □∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]).

(VI) Angesichts der obigen Äquivalenzen und Tableaus sollte es sein, dass □(◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ □∃x □[∃y(y=x) ∧ Mx]). Aber es sollte ebenfalls durch dieselben Argumente und Tableaus folgen, dass □(□¬∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ ¬∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ ◊¬∃ x□[∃y(y=x) ∧ Mx]). Betrachten Sie als Beispiel die folgenden Tableaus, die im Wesentlichen die zweite sind, die ich hier gepostet habe. Dies entspricht meiner Meinung nach dem modalen "anti"-ontologischen Argument.

(VI) Oder noch weiter, es scheint, dass ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx] ≡ □∃x□[∃y (y=x) ∧ Mx] sollte □∃x□Mx nach sich ziehen, aber nicht umgekehrt. Also sollte ◊¬∃x□Mx die Falschheit einer der drei beinhalten. Betrachte ◊¬∃x□Mx → ¬◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]. Angenommen, es wäre falsch und daher ◊¬∃x□Mx und ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]. Dann ist bei gegebenem ersterem bei w1 ¬∃x□Mx. Gegeben ◊∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx], dann gibt es ein w2 , bei dem ∃x□[∃y(y=x) ∧ Mx]. Nach EI □[∃y(y=a) ∧ Ma] bei w2 und dann nach dem S4-Axiom □□[∃y(y=a) ∧ Ma] und damit □[∃y(y=a) ∧ Ma ] bei w1 , und daher □Ma und □∃y(y=a), so dass □Ma und E!a bei w1 gelten . Nach EG also ∃x□Mx bei w1 , im Widerspruch zu ¬∃x□Mx.

(VII) Können wir das Argument auch einfach so führen, dass wir 'g' als Eigennamen für Gott nehmen und ◊□[∃x(x=g) ∧ Mg] mit ähnlichen Konsequenzen wie oben behaupten?

(VIII) Wie würden diese Argumente weitergehen, wenn wir stattdessen VS5 mit kontingenter Identität betrachten würden? Es sieht so aus, als ob keines meiner semantischen Argumente betroffen wäre, da sie nicht auf die Notwendigkeit der Identität verweisen - nur EI und EG. Aber es scheint, als wären einige der Zweige der Tableaus – insbesondere die linken Zweige der zweiten und dritten Verzweigung – von einer kontingenten Identität betroffen. Wie nehmen Sie den Argumentationsgang wahr, wenn er überhaupt eine kontingente Identität hat?