Wie man Energie im Zweiband-Hubbard-Modell berechnet

Question

Wie man Energie im Zweiband-Hubbard-Modell berechnet

qfzklm

Es mag eine sehr einfache Frage für Sie sein, aber ich bin verwirrt und brauche Hilfe.

Im einfachsten Hubbard-Modell bei eindimensionalen Gittern ignoriere ich das $U$ Begriff und bleiben nur der Sprungbegriff.

H = - T \sum_{< ich J >} C_{ich}^{†} C_{J}

$H=-t\sum_{<ij>}{c^{\dagger}_{i} c_{j}}$ Wo

c_{i}^{†}

$c^{\dagger}_i$ Und

c_{i}

$c_i$ sind Erzeugungsoperator und Vernichtungsoperator vor Ort

i

$i$ , bzw.

Und die Fourier-Transformation ist definiert als

C_{k} = \frac{1}{\sqrt{v}} \sum_{ich} C_{ich} e^{ich k R_{ich}}

$c_{k}=\frac{1}{\sqrt{V}}\sum_{i}{c_{i} e^{i k r_{i}}}$ hier der Summenindex

i

$i$ subcript ist und sich von der imaginären Einheit unterscheidet

i

$i$ .

Endlich bekommen wir

H (k) = \sum_{k} ϵ_{k} C_{k}^{†} C_{k}

$H(k)=\sum_{k}{\epsilon_{k} c^{\dagger}_{k} c_{k}}$ nach Summe über den gesamten Site-Index

i

$i$ , Und

< i j >

$<ij>$ ergibt den geometrischen Faktor, der in der Energie enthalten ist

ϵ_{k}

$\epsilon_{k}$ .

-------o-------o------------o----

    |<-a->|<----b---->|

         bilattice

Hier ist meine Frage für Bigitter, $\epsilon_{k}$ sollte zwei Energiebindungen ergeben – eine $k$ sollte zwei unterschiedliche Energie geben. Ich weiß nicht, wie ich das berechnen soll.

Kannst du mir helfen?

Adam

Es ist nicht klar, was Sie ein Bigitter nennen. Hast du eine Formel (im Realraum) dafür?

Antworten (1)

Wie man Energie im Zweiband-Hubbard-Modell berechnet

Es ist nicht klar, was Sie ein Bigitter nennen. Hast du eine Formel (im Realraum) dafür?

ChocoPouce · Answer 1

Bei der Betrachtung eines Bigitters müssen Sie zwei Arten von Standorten unterscheiden.

       A       B               A       B
-------o-------o---------------o-------o----

       |<--a-->|<------b------>|

Beispielsweise können Sie die beiden Arten von Sites mit Buchstaben kennzeichnen $A$ Und $B$ wie es oben gezeigt wird. Dann haben Sie jetzt zwei verschiedene Erstellungs- und Zerstörungsoperatoren. $c_{iA}^{\dagger}$ Und $c_{iA}$ um ein Teilchen zu erzeugen oder zu vernichten $A$ Websites und $c_{iB}^{\dagger}$ Und $c_{iB}$ für $B$ Websites.

Bei Indizes muss man aufpassen $i$ . Bei einem einfachen Gitter hatten die Seiten solche Indizes:

       A       A       A       A       A
-------o-------o-------o-------o-------o
      i-1      i      i+1     i+2     i+3
       |<--a-->|<--a-->|<--a-->|

Aber wissen Sie, dass die Indizes unterschiedlich sind, da es zwei Arten von Websites gibt:

       A       B               A       B
-------o-------o---------------o-------o----
       i       i              i+1     i+1
       |<--a-->|<------b------>|

All dies ändert Ausdrücke von Fourier-Transformationen und Hamiltonian:

C_{k A} = \frac{1}{\sqrt{v / 2}} \sum_{ich} C_{ich A} e^{ich k R_{ich}} Wo R_{ich} = ich * (A + B)

$c_{kA}=\frac{1}{\sqrt{V/2}}\sum_{i}{c_{iA} e^{i k r_{i}}} \quad \text{where} \quad r_i=i*(a+b)$

C_{k B} = \frac{1}{\sqrt{v / 2}} \sum_{ich} C_{ich B} e^{ich k R_{ich}} Wo R_{ich} = ich * (A + B) + A

$c_{kB}=\frac{1}{\sqrt{V/2}}\sum_{i}{c_{iB} e^{i k r_{i}}} \quad \text{where} \quad r_i=i*(a+b)+a$ BEARBEITEN : Das Volumen des Systems muss bei Fourier-Transformationen durch zwei geteilt werden, da es jetzt zwei Stellen in jeder primitiven Zelle gibt (vorher gab es nur eine). ENDE BEARBEITEN

Der Hamiltonian nimmt nun die Form an:

H = - \sum_{ich} T_{S} (C_{ich A}^{†} C_{ich B} + C_{ich B}^{†} C_{ich A}) + T_{l} (C_{ich B}^{†} C_{(ich + 1) A} + C_{(ich + 1) A}^{†} C_{ich B})

$H=-\sum_{i}{t_s (c^{\dagger}_{iA} c_{iB} + c^{\dagger}_{iB} c_{iA})+t_l (c^{\dagger}_{iB} c_{(i+1)A} + c^{\dagger}_{(i+1)A} c_{iB})}$ wo ich ein eindimensionales Problem betrachtet habe. Da die Entfernung zwischen Standorten nicht immer gleich ist, sollten Sie zwei verschiedene Hopping-Parameter berücksichtigen:

t_{s}

$t_s$ für kurze Sprünge u

t_{l}

$t_l$ für lange.

BEARBEITEN: Ich hatte Begriffe im Hamiltonian vergessen, die Hopping-Begriffe des nächsten Nachbarn müssen auf beide Arten vorhanden sein $(A,i)\rightarrow (B,i)$ Und $(B,i) \rightarrow(A,i)$ . Die Weitsprünge sind $(A,i+1)\rightarrow (B,i)$ Und $(B,i)\rightarrow (A,i+1)$ . ENDE BEARBEITEN

Wenn Sie eine Diagonalform für Ihren Hamiltonoperator erhalten möchten, können Sie versuchen, eine zu finden $2\times2$ Matrix $M$ so dass:

H = - \sum_{k} (C_{k A}^{†} C_{k B}^{†}) M (\binom{C_{k A}}{C_{k B}})

$H=-\sum_{k}{(c^{\dagger}_{kA} c^{\dagger}_{kB})M\binom{c_{kA}}{c_{kB}}}$

M

$M$ wird Hopping-Parameter enthalten

t_{s}

$t_s$ Und

t_{l}

$t_l$ , sobald Sie diagonalisiert haben

M

$M$ dein Problem ist gelöst.

Vielen Dank! Ich habe Ihre Methode ausprobiert und eine Antwort erhalten. Ich berechne die Matrix $M=\left( \begin{array}{} 0 & t_s e^{ika} + t_l e^{-ikb} \\ t_s e^{-ika} + t_l e^{ikb} & 0 \\ \end{array} \right)$ und Energie ist $E(k)=\pm |t_s e^{ika} + t_l e^{-ikb}|$ . Habe ich recht?
@qfzklm Ich hatte hermitianisch konjugierte Terme im Hamiltonian vergessen, diese Terme repräsentieren den anderen Weg für einen Sprung zwischen zwei Standorten. Ich denke, Sie müssen die Berechnungen erneut durchführen ... Entschuldigung. Vergessen Sie auch nicht, das Volumen / die Anzahl der Partikel in Ihren Fourier-Transformationen durch 2 zu teilen.
@qfzklm Eigentlich hattest du recht, du hast keine Begriffe vergessen. Ich überprüfe deine $M$ Matrix mit dem bearbeiteten Hamiltonian und es funktioniert (Vorfaktoren je nach Lautstärke nicht vergessen). Aber ich finde eine andere Energie $E(k) = \pm \sqrt{t_s^2 + t_l^2 + 2t_s t_l \cos(k(a+b))}$ .

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