Wie sind globale und lokale Eichinvarianz definiert?

Multiplizieren mit$e^{i\theta}$ist eine Rotation von$\theta$in der komplexen Ebene. Physikalisch ändert es die Phase einer ebenen Welle um einen Winkel$\theta$. Dies ist eine globale Symmetrie, weil wir willkürlich einen Bezugspunkt zum Messen der Phase ebener Wellen wählen. Wenn wir die Phase aller ebenen Wellen um den gleichen Betrag ändern, ist dies gleichbedeutend mit einer Verschiebung unseres Bezugspunkts. Die übliche Analogie besteht darin, etwas Abstand hinzuzufügen$d$zu allen Berghöhen der Erde. Dies verschiebt nur unsere Meeresspiegelreferenz um eine Strecke$d$und verändert die Berge nicht wirklich.

Eine lokale Messgerättransformation ist keine Teilmenge einer globalen Messgerättransformation. Insofern ist der Name etwas irreführend. Um bei unserer Analogie der Berghöhen zu bleiben, würde eine lokale Spurweitentransformation eine andere Entfernung hinzufügen$d(x)$zu jeder Berghöhe, wo$x$ist eine Funktion der Position des Berges. Offensichtlich sind Berghöhen auf der Erde unter dieser lokalen Transformation nicht unveränderlich, da sich einige Höhen stärker ändern würden als andere.

Im Kontext der Quantenmechanik werden Observablen mithilfe irgendeiner Gleichung berechnet. Damit unser System unter einer lokalen Eichtransformation invariant ist, müssen die Gleichungen, die Observablen beschreiben, die gleichen Ergebnisse liefern, wenn wir eine lokale Eichtransformation anwenden. Dies schränkt die Form, die diese Gleichungen haben können, stark ein.

Tatsächlich sind globale Eichtransformationen eine Teilmenge der lokalen Eichtransformation: Das Ändern des gleichen Betrags überall ist ein Sonderfall (dh restriktiver) der unabhängigen Änderung der Phase jedes Punkts.

Im Dirac Lagrange

$$\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi$$ musst du ableiten $\psi$. Wenn Sie eine globale Transformation vornehmen $\psi \to e^{-i\theta}\psi$ $\bar{\psi} \to \bar{\psi} e^{i\theta}$, $$\mathcal{L} \to \bar{\psi} e^{i\theta}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)e^{-i\theta}\psi$$ Dann $e^{-i\theta}$eine Konstante ist, holt die Ableitung raus und kürzt sich mit dem Term aus $\bar{\psi}$, also ist der Lagrangian invariant. Aber wenn Sie eine lokale Transformation vornehmen $\psi \to e^{-i\theta(x)}\psi$ $\bar{\psi} \to \bar{\psi} e^{i\theta(x)}$, müssen Sie sowohl den Spinor als auch den Phasenwechsel mit der Leibniz-Regel ableiten $$\mathcal{L} \to \bar{\psi} e^{i\theta(x)}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)e^{-i\theta(x)}\psi = \bar{\psi} (i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi + \bar{\psi}\gamma^\mu (\partial_\mu\theta) \psi$$ Wenn $\partial_\mu \theta \neq 0$(d. h. die Transformation hängt von den Koordinaten ab und ist nicht global), der zusätzliche Begriff verdirbt die Eichinvarianz (es sei denn, Sie fügen ein Eichfeld hinzu).