Wie übersetze ich diesen Satz mit Prädikatenlogik?

Ich habe den folgenden Satz, den ich versuche, in eine Prädikatsformel zu übersetzen:

„Alle Ärzte, die sich nicht selbst behandeln, werden von einem Arzt behandelt“

Wenn ich richtig liege bedeutet das übersetzt: ∀ X ∃ j ( ( D X ∧ ¬ T X X ) → ( D j ∧ T j X ∧ X ≠ j ) )

Dx: x ist Arzt Txy: x behandelt y

Auch „Alle Ärzte, die sich nicht selbst behandeln, werden von keinem Arzt behandelt“ wäre ∀ X ¬ ∃ j ( ( D X ∧ ¬ T X X ) → ( D j ∧ T j X ∧ X ≠ j ) ) (ich hoffe ich liege mit den beiden richtig)

Allerdings fällt es mir schwer, herauszufinden, was ich mit dem folgenden Satz anfangen soll:

"Wenn ein Arzt sich nicht selbst behandelt, dann behandelt er nicht jeden, der sich nicht selbst behandelt."

Auch ohne den Satz am Ende (also „Wenn ein Arzt sich nicht selbst behandelt, behandelt er nicht alle.“) bin ich mir immer noch nicht sicher, wie ich es übersetzen soll. Ich denke, dass der Existenzquantor am Anfang der Formel für einen Arzt x stehen muss, aber wo platziere ich den Universalquantor? So:

∃ X ∀ j ( ( D X ∧ ¬ T X X ) → ( ¬ T X j )

oder

∃ X ( D X ∧ ¬ T X X ) → ∀ j ( ¬ T X j ) ?

und wie mache ich dann das letzte bisschen?

Wenn jemand einen Tipp hat, würde ich mich freuen zu hören!

Antworten (1)

Ihre ersten beiden Übersetzungen sind korrekt, obwohl Sie die nicht benötigen X ≠ j (Dabei X behandelt sich nicht, während j behandelt X , daraus folgt logischerweise X ≠ j , also kannst du das löschen ... es wird sowieso nicht explizit im ursprünglichen Satz angegeben.

Noch wichtiger ist, dass ich nicht mag, wie Sie den Quantifizierer für die setzen j ganz am Anfang der Aussage. Das heißt, ich denke, eine lesbarere Übersetzung für die erste Aussage wäre gewesen:

∀ X ( ( D X ∧ ¬ T X X ) → ∃ j ( D j ∧ T j X ) )

und zum zweiten Satz:

∀ X ( ( D X ∧ ¬ T X X ) → ¬ ∃ j ( D j ∧ T j X ) )

Tatsächlich glaube ich, dass Ihre Neigung, zu versuchen, Quantifizierer an den Anfang der Aussage zu stellen, genau das ist, was Sie auch im dritten Satz in Schwierigkeiten bringt. Das heißt, für diesen dritten Satz ... oder zumindest den Teil, den Sie angegeben haben ... möchten Sie den Quantor noch weiter nach innen verschieben ... tatsächlich in die Negation.

Warum? Nun, „nicht jeder“ bedeutet effektiv „nicht alle“, und so erhalten Sie eine Art von ¬ ∀ . Um genau zu sein, um das zu übersetzen ' X behandelt nicht jeden“, sollten Sie Folgendes bekommen:

¬ ∀ j   T X j

und damit für 'wenn X ist ein Arzt, der sich nicht selbst behandelt, dann behandelt er nicht jeden.

∀ X ( ( D X ∧ ¬ T X X ) → ¬ ∀ j   T X j )

Indem man also die Aussage Stück für Stück auflöst, landen die Quantoren automatisch an der richtigen Stelle, auch wenn das nicht am Satzanfang steht. Und das ist gut so und oft sogar viel einfacher für Übersetzungszwecke. Und wenn Sie die Quantoren am Anfang der Aussagen für einen anderen Zweck benötigen, können Sie dies immer noch nachträglich tun. Zusammenfassend: Fühlen Sie sich nicht verpflichtet, sie alle an den Anfang zu stellen, sondern führen Sie sie stattdessen ein, wenn es angebracht ist, während Sie den Satz zerlegen!

Können Sie jetzt sehen, wie Sie die letzte Übersetzung ändern, um Ihren gesamten dritten Satz zu erhalten?

Vielen Dank, dass du mir geholfen hast! Ich musste lange und gründlich darüber nachdenken und bin mir überhaupt nicht sicher, ob das richtig ist, aber hier ist mein Versuch: ∀ X ( ( D X ∧ ¬ T X X ) ) ∧ ∀ j ( ¬ T j j ) ) → ¬ T X j Also im Grunde: "Wenn x ein Arzt ist, der sich nicht selbst behandelt, und y jeder ist, der sich nicht selbst behandelt, dann behandelt x y nicht.
Außerdem, warum sollte es nicht der Existenzquantor für x sein, da es einen Arzt gibt, nicht alle Ärzte?
@Rose Nein, du hast den Quantor wieder außerhalb der Negatin genommen. Das „x behandelt nicht jeden, der sich nicht selbst saugt“ ist die Verneinung von „x behandelt jeden, der sich nicht selbst behandelt“. Da letzteres ist ∀ j ( ¬ T j j → T X j ) , ersteres ist ¬ ∀ j ( ¬ T j j → T X j ) ... das sollte also der zweite Teil des Satzes sein.
@Rose Denken Sie an den Satz: "Wenn etwas eine Schlange ist, dann ist es gefährlich" ... sollte dies ein existenzielles oder ein universelles sein?
Ah ja, jetzt verstehe ich es! Nochmals vielen Dank für Ihre Hilfe, ich werde weiter üben!
@Rose. Gern geschehen! Und übrigens, du machst das schon ziemlich gut! :)
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