Wie viel größer ist aaa als bbb, wenn wir a≫ba≫ba \gg b schreiben?

Wenn ein Zustand einer physikalischen Größe A Und B präsentiert wird, sagen wir A ≫ B , wie viel größer sagen wir A muss als sein B ? 10 mal? 1000 mal? 10 6 mal?

Etwas Kontext:

Ich versuche, die adiabatische Theorie zu verwenden, um das Energiespektrum für ein Teilchen abzuleiten, das in einem Radiusring eingeschlossen ist B in der xy-Ebene, wenn ein Dirac-Monopol langsam mit konstanter Geschwindigkeit bewegt wird v aus z = − ∞ Zu z = ∞ . Voraussetzung für die Anwendbarkeit des Adiabatensatzes ist die Zeit T dass es dauert, bis sich ein variierender Parameter merklich ändert, ist viel größer als ℏ Δ E , Wo Δ E bezeichnet eine typische Energieniveaudifferenz zwischen Eigenzuständen des Hamiltonoperators. Mein Problem ist, dass ich eine spürbare Änderung nicht direkt quantifizieren kann, sagen wir mal 10 % In z , seit wir schreiben können z = z 0 + v T Aber z 0 Ist − ∞ . Also dachte ich an die Einnahme z im Wesentlichen unendlich weit vom Ring entfernt zu sein, wenn | z | ≫ B , der Radius des Rings. Dies würde mir einen Wert für geben z 0 . Aber ich bin mir nicht sicher, wie viel größer ich machen soll z als B , daher meine Frage.

Entschuldigung, die Antwort auf die erste Frage ist von Feld zu Feld sehr unterschiedlich. In der Thermodynamik mag es sein 10 23 . Im Maschinenbau vielleicht schon 10 3 . In den weichen Wissenschaften mag es sein 10 . Bei QCD kann es sein 3 . In der Epsilon-Erweiterung ist es buchstäblich 1 . Normalerweise wäre der Fehler "in der Größenordnung von B / A „denn das ist der nächste Term in der Taylor-Reihe.
Ihre zweite Frage scheint völlig anders zu sein, es geht darum, den Fehler der adiabatischen Annäherung zu begrenzen. Ich weiß die Antwort nicht, es sieht ziemlich schwierig aus! Definitiv nicht nur eine einfache Taylor-Reihe.
Der variierende Parameter für Ihre Anwendbarkeitsbedingung wäre der Begriff, der direkt in den Hamilton-Operator eines Teilchens eintritt und nicht z selbst. Ich würde vermuten, dass es so etwas wie eine Zirkulation des Vektorpotentials um den Ring sein würde.
@AVS Das magnetische Vektorpotential A in den Hamiltonoperator ein, der von der z-Koordinate des Monopols abhängt. Sie schlagen eine Untersuchung vor A ? Das werde ich jetzt versuchen.

Antworten (1)

Die übliche Behandlung für die Annäherung besteht darin, das Verhältnis zu berücksichtigen 1 ≫ B A und fahren Sie mit Taylor fort, um die Funktion Ihres Interesses um einen bestimmten Punkt zu erweitern, sodass die Verschiebungen (Störungen) in Bezug auf dieses Verhältnis geschrieben werden. Dann können Sie entscheiden, wo Sie Ihre Reihenerweiterung abschneiden und den Fehler abschätzen, den Sie machen, indem Sie die abgeschnittenen Terme begrenzen.

Mein Vorschlag für Ihren Fall wäre dann, wenn möglich, zuerst zu versuchen, exakte Ausdrücke zu schreiben. Dann mach es wie oben beschrieben. Es ist möglich, dass Sie die adiabatische Bedingung in einige andere Variablen übersetzen müssen, die direkt in Ihren Formeln erscheinen.

EDIT: Ein gängiges Beispiel wäre die Erweiterung eines Begriffs der Form:

( 1 − B A ) − N = ∑ k = 0 ∞ ( N + k − 1 k ) X k = 1 + N B A + Ö ( ( B A ) 2 ) ≈ 1 + N B A

(Sie können über die Little-O-Notation in Wikipedia nachlesen, die die genaue Definition enthält). Im letzten Schritt wurde die Reihe auf erste Ordnung gekürzt (alle Terme höherer Ordnung werden ignoriert). Sie können jedoch beweisen, dass der Fehler, den Sie begehen, durch die nächste Ableitung (nach dem Abschneiden), also in unserem Fall durch die zweite Ableitung, und durch die Verschiebung begrenzt werden kann. Diese Reihe ist bei 0 zentriert, also wäre die Verschiebung nur |x|. Einzelheiten finden Sie unter Theorem von Taylor . Ich hoffe, das Beispiel funktioniert, um das Prinzip zu verstehen.

Am Ende liegt es an Ihnen zu sagen, wie viel Genauigkeit Sie brauchen, um anzugeben, an welchem ​​​​Punkt Ihre Schlussfolgerungen gültig sind.

Dies ist die Antwort, die ich schreiben wollte. Ein Beispiel ist "Kleinwinkelnäherung" Sünde ⁡ X ≈ X , wo der nächste Begriff in der Reihe wie geht X 3 . Für Winkel kleiner als 0,1 Radiant ergibt die Näherung für kleine Winkel also einen Bruchfehler von besser als 1 %.
Könnten Sie bitte näher auf das Abschneiden der Reihenerweiterung und das Begrenzen der abgeschnittenen Terme eingehen?
Wie viel größer ist aaa als bbb, wenn wir a≫ba≫ba \gg b schreiben?
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