Die kurze Antwort (tl;dr)

Der relevante historische Kontext zur Beantwortung Ihrer Frage ist die lange Suche der Logik nach Grundlagen für die gesamte Mathematik . Zermelos axiomatische Mengenlehre verdrängte Konkurrenten wie die Typentheorie und gewann früh das Rennen, weil Logiker in dieser Tradition metalogische Werkzeuge (Modelltheorie, Beweistheorie) zur Untersuchung von Axiomensystemen entwickelten. Zermelos Beitrag kam um 1908 und wurde durch die Arbeit von Fraenkel, Skolem und anderen Mitte der 20er Jahre (vor Gödels Vollständigkeitsergebnis) schnell zur Standard-Mengentheorie, die wir heute kennen, Zermelo-Fraenkel-Mengentheorie + Auswahl (ZFC)

Dass ZFC zu einer reinen Theorie erster Ordnung wurde, ist David Hilberts früher Arbeit an einem Teilsystem der Logik zu verdanken, das er eingeschränkten Funktionskalkül nannte (effektiv die heutige Logik erster Ordnung) und Thoralf Skolem , der 1923 die ursprüngliche Theorie erster Ordnung gab Axiomatisierung der Zermelo-Mengentheorie. Die axiomatische Mengenlehre wurde Mitte der 30er Jahre effektiv zu einer dominierenden Theorie erster Ordnung und ist es bis heute. Die Mehrheit der Mengentheoretiker mag die Eigenschaften der Logik erster Ordnung (Vollständigkeit, Kompaktheit usw.) sehr. Dass die Mengenlehre erster Ordnung von der mathematischen Praxis abweicht, wird eigentlich als Feature und nicht als Fehler angesehen.

Die lange Antwort

Es scheint heute trivial, aber um die Logik erster Ordnung ( FOL ) zu übernehmen, muss man in der Lage sein, sie von der Logik zweiter Ordnung ( SOL ) oder Logik höherer Ordnung zu isolieren. Und diese Möglichkeit war selbst eine wichtige Eroberung. Bis zu Principia Mathematica wurden mehrere Versionen der Logik zweiter Ordnung (einschließlich der Unendlichkeitslogik ) von Logikern ohne große Sorgfalt verwendet. FOL und SOL wurden nicht wirklich unterschieden (unterscheidbar?), bis die relativen Vorzüge und Lastervon jedem wurden untersucht. Oder, um es andersherum auszudrücken: Es war die Gründungssuche, die dazu führte, nicht nur die Ausdrucksfähigkeit, sondern auch die Eigenschaften verschiedener Fragmente zu untersuchen, und durch diesen Ort wurden FOL und SOL erkannt.

1. Zwei Traditionen in der Logik

Es scheint mir, dass Russells Entdeckung des berühmten Paradoxons im Jahr 1901 in Cantors naiver Mengenlehre (unabhängig von Zermelo entdeckt, der es Hilbert mitteilte) alles begann. Da das Paradoxon auch in Freges formalisierter Version der naiven Mengenlehre auftauchte, begannen Logiker, verschiedene Wege zu finden, um das Problem zu umgehen, und entwickelten neue mengentheoretische Ansätze. Die beiden wichtigsten Vorschläge, die diese (und andere) Paradoxien beseitigten, waren Russells typentheoretische Mengenlehre und Zermelos Mengenlehre .

Diese beiden Lösungen werden allgemein als Ausdruck zweier unterschiedlicher "Stämme" innerhalb der Logik angesehen, der Peano-Frege-Whitehead-Russell- Tradition und der (Peirce)-Schröder-Hilbert-Zermelo- Tradition.

2. Metalogische Forschung

Der wichtige Punkt ist, dass diese beiden Traditionen bei der oben erwähnten Aufgabe, logische Fragmente und ihre Eigenschaften zu untersuchen , ungleich abschnitten. Von den beiden war letzteres in Lakatosianischer Hinsicht das progressive Forschungsprogramm, weil es sich von Anfang an für metalogische Fragen interessierte , ersteres dagegen nicht.

Um zu verstehen, warum dies der Fall ist, hilft es, sich daran zu erinnern, dass die erste Tradition allgemein mit Logizismus identifiziert wird , einer Konzeption, die die Daseinsberechtigung der Logik als die Aufgabe definiert, der gesamten Mathematik Grundlagen zu geben. Für die meisten Logiker bedeutete dies, dass es unmöglich sei, außerhalb der Logik zu stehen und sie dadurch als System zu studieren (so wie man zum Beispiel die reellen Zahlen studieren könnte). Das hatte schwerwiegende Folgen: Russell und Whitehead

• fehlte jede Vorstellung von einer Metasprache
• leugneten ausdrücklich die Möglichkeit von Unabhängigkeitsbeweisen für ihre Axiome
• hielt es für unmöglich zu beweisen, dass die Substitution in der Typentheorie allgemein anwendbar ist
• bestanden darauf, dass das Prinzip der mathematischen Induktion nicht verwendet werden kann, um Theoreme über ihr Logiksystem zu beweisen

Heutzutage ist es schwer zu verstehen, was es bedeutet , Logik zu betreiben , ohne eine Unterscheidung zwischen Sprache und Metasprache und eine Unterscheidung zwischen Syntax und Semantik !

3. Die Entstehung von FOL

Ich denke, es ist kein Zufall, dass in diesem metatheoretischen Rahmen und in der Tradition von Schröder-Hilbert-Zermelo die Logik auf den Operationstisch gelegt wurde, um sozusagen seziert zu werden. Es war eine direkte Folge der Notwendigkeit, die Eigenschaften (Korrektheit, Vollständigkeit, Kompaktheit, Konsistenz, Kategorizität usw.) verschiedener logischer Fragmente metalogisch zu untersuchen: 1918 lieferte Bernays den ersten strengen Beweis der Vollständigkeit eines solchen Teilsystems der Logik, dh der Aussage Logik. Ein weiteres Fragment entpuppte sich als das, was wir jetzt FOL nennen . Insbesondere wurde es erstmals 1917 unter dem Namen eingeschränkter Funktionskalkül von Hilbert als Teilsystem seines Funktionskalküls (effektiv averzweigte Typentheorie ), wurde aber erst 1928 in dem gemeinsam mit Ackermann verfassten klassischen Lehrbuch Grundzüge der theoretischen Logik veröffentlicht, wo es noch als Teilsystem behandelt wurde.

Tatsächlich war der Fall noch lange nicht beigelegt. Während die ursprüngliche Zermelo-Mengentheorie als FO-Theorie interpretiert werden kann (wobei das Trennungsaxiom durch ein Axiomenschema mit einem Axiom für jede FO-Formel ersetzt wurde), war sie nach Zermelos eigener Konzeption eine Theorie zweiter Ordnung (mit dem Trennungsaxiom als einzelnes Axiom). Zermelo blieb ein starker Befürworter einer Mengenlehre zweiter Ordnung. Tatsächlich verwendeten die meisten Logiker unterschiedliche Logikfragmente für unterschiedliche Aufgaben, und sie scheuten sich nicht, Theorien zweiter Ordnung oder anomale FO-Theorien (dh einschließlich unendlicher Operationen) anzuwenden.

Dass die Mengenlehre heute eine FO-Theorie ist, ist vermutlich Thoralf Skolem zu verdanken . 1923 präsentierte Skolem die ursprüngliche FO-Axiomatisierung der Zermelo-Mengentheorie. Nun gibt es eine Standardansicht, die eine Skolem-Gödel-„Achse“ als Drängen zur Annahme einer FO-Mengentheorie und als verantwortlich für die endgültige Etablierung der FO-Mengentheorie ansieht. Es ist jedoch überhaupt nicht klar, dass dies der Fall war, dh dass Skolem (und Gödel) eine FO-Objektsprache in der Mengenlehre vorangetrieben haben. Während Skolem die Mengenlehre zweiter Ordnung als Grundlage der Mathematik kritisierte, bewies er, dass sein (Abwärts-)Theorem in FOL gilt . Das Ergebnis – in einem zählbaren Modell gibt es zwar eine unzählbare Menge – nannte er ein philosophisches (wenn auch nicht formales) Paradoxonum zu argumentieren, dass auch FOL nicht als Grundlage der Mathematik dienen könnte:

Ich glaubte, dass es so klar sei, dass die Axiomatisierung in Bezug auf Mengen keine befriedigende letzte Grundlage der Mathematik sei, dass sich die Mathematiker größtenteils nicht sehr darum kümmern würden. Aber in letzter Zeit habe ich zu meiner Überraschung gesehen, dass so viele Mathematiker denken, dass diese Axiome der Mengenlehre die ideale Grundlage für die Mathematik bilden; daher schien mir die Zeit für eine Kritik gekommen. (Skolem 1922)

(Es besteht sogar der Verdacht, dass Skolems Axiomatisierung zufällig FO war …! Es gibt einige gute Beweise dafür, dass viele der besten Köpfe ihrer Zeit – wie Fraenkel und von Neumann – Schwierigkeiten hatten, ein wirkliches Verständnis für den Unterschied zwischen FOL und SOL zu entwickeln Mitte 20!).

Und Gödel, obwohl er für eine FO *Meta*Sprache plädierte, verwendete 1931 in seinem berühmten Aufsatz eine Variante der Typentheorie!

Natürlich ist es unbestreitbar, dass sowohl Skolem als auch Gödel wichtige Theoreme zur Etablierung von FOL beigetragen haben, aber sie haben nicht wirklich dafür argumentiert. Die Wahrheit scheint, dass es hier keine einfache Erfolgsgeschichte mit Helden zu erzählen gibt . Eine korrektere Darstellung würde wahrscheinlich mehrere kausale Faktoren beinhalten.

Die Aussage des OP, dass

die Vollständigkeit der Logik erster Ordnung wurde von Kurt Gödel erst zu einer Zeit bewiesen, als die Logik erster Ordnung die Logik zweiter Ordnung bereits verdrängt hatte

ist aber falsch. FO-Axiomatisierungen der Mengenlehre wurden erst ab Mitte der 30er Jahre dominant. Es gibt eine Hypothese dahingehend, dass diese Zeitlinie mit Tarskis wichtigem Beitrag zur Modelltheorie (Wahrheit, logische Konsequenz) korrelieren sollte. Aus dieser Sicht wurde FOL nicht (nur) wegen seiner intrinsischen Qualitäten zum Standard, sondern weil gezeigt wurde, dass es eine besonders schöne Modelltheorie hat.

4. Warum (nicht) Mengenlehre erster Ordnung?

Trotzdem frage ich mich immer noch, warum […] warum die Unfähigkeit der Logik erster Ordnung, unendliche Strukturen zu charakterisieren, nicht als Problem angesehen wird.

Nun, eine pragmatische Antwort ist, dass es aufgrund der Unfähigkeit von FOL nicht als Problem angesehen wird;)

Da es nicht möglich ist, unendliche Strukturen in FOL zu charakterisieren (dh kategorisch zu axiomatisieren ), wie Sie sagen, arbeiten Mengentheoretiker einfach mit dem beabsichtigten Modell und kümmern sich nur dann um nicht standardmäßige Modelle , wenn sie benötigt werden. Das ist so gut wie es geht, mache ich mir Sorgen.

Bei der allgemeineren Auseinandersetzung geht es darum, über die Vorzüge und Laster von FOL und SOL nachzudenken. Auf den ersten Blick scheint es so

• FOL

   + complete, compact, nice model theory 
   - deviating from mathematical practice
  

• SOL

   + adherent to mathematical practice
   - completeness does not hold
  

Da niemand die Vorzüge von FOL bestreiten würde, kommt es auf die Frage an, inwiefern das Festhalten an der mathematischen Praxis wirklich eine gute Sache ist und wie der Verlust der Vorzüge von FOL bewertet wird. Aus meiner Erfahrung mit Logikern

• die Unterstützer von FOL würden eine Sprache ohne die Vorzüge von FOL als zu großen Verlust ansehen. Zudem sehen sie die Abweichung von der mathematischen Praxis nicht als Laster, sondern als Feature. Dies könnte ein Überbleibsel der endlichen Tradition in der Logik sein: Logik muss strenger sein als Mathematik (und ihre Praxis), um ihr als Grundlage zu dienen.

• die Befürworter von SOL würden den Verlust der Vollständigkeit etc. nicht als fatal ansehen. Sie sehen die Mengenlehre weniger als eine Grundlage der Mathematik. Stattdessen sollte die Mengenlehre eher eine Beschreibung der Mathematik sein, dh je mehr die mathematische Praxis eingehalten wird, desto besser (=präziser) wird die Beschreibung.

• Einige sehen einen Mittelweg zwischen den beiden, indem sie eine andere FO-Mengentheorie wie die Morse-Kelley-Mengentheorie übernehmen. MK, das richtige Klassen zusammen mit Mengen zulässt, ist syntaktisch fast identisch mit ZFC zweiter Ordnung, unterscheidet sich jedoch in seiner Semantik erheblich.

Wählen Sie Ihre Wahl :)

Quellen und weiterführende Literatur:

• Einige Kenntnisse in der Geschichte der Logik
• Gregory H. Moore: Die Entstehung der Logik erster Ordnung (Papier)
• Matti Eklund: Wie Logik zur ersten Ordnung wurde (Papier)
• WD Hart: Die Evolution der Logik (Buch)
• Geraldine Brady: Von Peirce zu Skolem: Ein vernachlässigtes Kapitel in der Geschichte der Logik (Buch)
• Ethan Jerzak: Logik zweiter Ordnung, oder: Wie ich lernte, mich nicht mehr zu sorgen und die Unvollständigkeitssätze zu lieben (Papier)
• Stewart Shapiro Foundations Without Foundationalism: A Case for Second-Ord Logic (Buch)

Die Logik erster Ordnung ist nicht willkürlich oder verallgemeinerbar, trotz der Propaganda, die die Leute darüber machen. Es ist ein System, das bis auf äquivalente Umformulierungen einzigartig ist, und es ist kein Fehler, es einfach "Logik" zu nennen. Logik erster Ordnung ist das einzige System, das man für Mathematik oder Philosophie braucht, alles andere ist Luxus, schön anzusehen, aber nicht unbedingt erforderlich. Es ist am besten, Verallgemeinerungen der Logik erster Ordnung als interessante mathematische Übungen zu behandeln.

Vor dem frühen 20. Jahrhundert gab es keine Logik in ausreichend präziser Formulierung, um es einer Maschine zu ermöglichen, Konsequenzen aus Axiomen abzuleiten. Das bedeutet, dass alle philosophischen Arbeiten zur Logik von Aristoteles bis zu Boole und Frege von negativem Wert waren – sie erzeugten die Illusion, dass Logik irgendwie verstanden wurde, wenn die Leute keine Ahnung hatten. Keine dieser Arbeiten ist von etwas anderem als historischem Wert.

Der Sinn der Deduktionsschemata des frühen 20. Jahrhunderts bestand darin, mathematisches Denken ohne menschliche Einsicht mechanisch zu ermöglichen. Das Ziel bestand darin, eine Mengenlehre widerspruchsfrei zu machen, indem Mathematik als formale Textmanipulation behandelt wurde, was wir heute als Berechnung auf Strings bezeichnen würden. Die Entwicklung der Hilbert-Deduktion und des Gödelschen Vollständigkeitssatzes zusammen mit vernünftigen mengentheoretischen Axiomen vervollständigten dieses Programm und zeigten, dass die Logik erster Ordnung die richtige Logik für diesen Zweck war. Aus jeder gegebenen Sammlung von Axiomen wird die Logik erster Ordnung jede Konsequenz ableiten und ein Modell dieser Axiome erzeugen.

Logik erster Ordnung kann auf einem Computer ausgeführt werden (tatsächlich wurde der Computer historisch als die Abstraktion einer minimalen Maschine definiert, die Logik erster Ordnung ausführen kann). Die Logik zweiter Ordnung spricht von zu großen Sammlungen (wie der Menge der Teilmengen von ganzen Zahlen, den reellen Zahlen), und Sie können auf einem Computer nicht absolut über diese Sammlungen nachdenken. Die einzige Möglichkeit, genau zu wissen, was Sie mit der „Menge aller reellen Zahlen“ meinen, besteht darin, Axiome aufzustellen, die Ihre metaphysischen Überzeugungen darüber widerspiegeln, wie sich unendliche Sammlungen verhalten, und Sie erhalten endlose Debatten über die Richtigkeit dieser Axiome, Debatten, die nicht gelöst werden können weil sie positivistisch bedeutungslos sind.

Da Theorien zweiter Ordnung von Sammlungen sprechen, deren Eigenschaften nicht absolut sind, ist es am besten, sie als ungenau definiert zu betrachten, bis sie in eine Mengentheorie eingebettet sind, und diese größere Theorie wird nur präzisiert, wenn es sich um eine Theorie erster Ordnung handelt kann auf einem Computer darüber nachdenken. Man sollte nichts, was nicht durch diese Art von Argumentation entschieden werden kann, als absolut sinnvoll zugeben.

Da die Logik erster Ordnung jedes System modellieren kann, mit dem wir arbeiten können, sind ihre Beschränkungen unsere Beschränkungen, sie sind wahre Beschränkungen des Wissens, nicht Beschränkungen des Systems, und es ist ein Fehler, sich vorzustellen, dass die Logik zweiter Ordnung es auf sinnvolle Weise erweitert. Es ist nicht sinnvoll, sich Kreaturen zweiter Ordnung vorzustellen, die „wirklich“ in Logik zweiter Ordnung argumentieren, da es in unserem Universum keine Argumentation gibt, die über die Argumentation erster Ordnung hinausgeht.

Die Logik erster Ordnung wurde zur dominierenden formalen Logik, weil sie grundlegend für alle Logik ist. Jede Abweichung von FOL schafft Unklarheiten, die aufgelöst werden müssen. Beispielsweise ist der Satz zweiter Ordnung „ein Mann ging in einen Raum mit Blumen“ mehrdeutig. Es könnte bedeuten, dass ein Mann Blumen in einen Raum trug oder dass ein Mann einen Raum betrat, in dem bereits Blumen vorhanden waren.

John Sowa schrieb Folgendes über FOL:

„Unter allen Varianten der Logik hat die klassische Logik erster Ordnung einen privilegierten Status. Sie hat genug Ausdruckskraft, um die gesamte Mathematik, jeden digitalen Computer, der jemals gebaut wurde, und die Semantik jeder Version der Logik, einschließlich sich selbst, zu definieren. Fuzzy Logik, Modallogik, neuronale Netze und sogar Logik höherer Ordnung können in [Logik erster Ordnung] definiert werden … Neben der Ausdruckskraft hat die Logik erster Ordnung die am besten definierte, am wenigsten problematische Modelltheorie und Beweistheorie, und sie kann in Bezug auf ein absolutes Minimum an Primitiven definiert werden … Da die Logik erster Ordnung eine so große Macht hat, haben viele Philosophen und Logiker wie Quine stark argumentiert, dass die klassische [Logik erster Ordnung] in gewissem Sinne die „einzig wahre“ ist Logik" und dass die anderen Versionen überflüssig, unnötig oder schlecht durchdacht sind."