Zwei federgekoppelte Massensysteme

Question

Zwei federgekoppelte Massensysteme

Arfentopul

Ich bin verwirrt darüber, die Bewegungsgleichung von Massen zu schreiben und Normalmoden zu finden.

Die Probleme, mit denen ich mich zuvor befasst habe, Massen werden immer in die gleiche Richtung bewegt, und ich habe festgestellt, ob Federn gedehnt oder gestaucht werden $(x_2-x_1)$ .

Aber darin die Masse $m_1$ bewegte sich nach links und die Masse $m_2$ nach rechts verschoben. Also Federn (mit konstanter $k_0$ ) werden komprimiert (Federn drücken Massen in ihr Gleichgewicht), dann federn (mit $k$ in der Mitte wird gedehnt (zieht die Massen zueinander).

Für $m_1 = m_2$ Und $x_1 \ne x_2$ Wenn ich diese EoMs schreibe und löse

M {\ddot{X}}_{1} = + k_{0} X_{1} + k (X_{1} + X_{2}) M {\ddot{X}}_{2} = - k_{0} X_{2} - k (X_{1} + X_{2})

$m\ddot{x}_1 = +k_0x_1+k(x_1 + x_2)\\ m\ddot{x}_2 = -k_0x_2-k(x_1+x_2)$ Ich bekomme

ω = \sqrt[4]{\frac{2 k_{0} k}{M} + (\frac{k_{0}}{M})^{2}}

$\omega = \sqrt[4]{\frac{2k_0k}{m} + (\frac{k_0}{m})^2}$

Außerdem schreibe ich ein weiteres Paar EoM:

M {\ddot{X}}_{1} = + k_{0} X_{1} + k (X_{2} - X_{1}) M {\ddot{X}}_{2} = - k_{0} X_{2} - k (X_{2} - X_{1})

$m\ddot{x}_1 = +k_0x_1+k(x_2 - x_1)\\ m\ddot{x}_2 = -k_0x_2 -k(x_2 - x_1)$

dann gibt

ω_{1} = \sqrt{\frac{k_{0} - k}{M}} ω_{2} = \sqrt{\frac{k_{0} + k}{M}}

$\omega_1 = \sqrt{\frac{k_0-k}{m}} \\ \omega_2 = \sqrt{\frac{k_0+k}{m}}$ Ich bin mir nicht sicher, welcher Weg richtig ist? Ich bin wirklich besessen davon und möchte es herausfinden. Ich brauche Ihre Hilfe :) Vielen Dank im Voraus.

Philipp

Beim Versuch, die Bewegungsgleichungen herauszufinden, ist es immer am besten, beide Massen in die gleiche Richtung zu bewegen. Die Lösungen funktionieren unabhängig davon, wo sich die Massen befinden, da sie sich nur mit relativen Verschiebungen befassen, aber es ist einfacher, wenn alle Größen positiv sind. Der Fehler, den Sie machen, besteht darin, im ersten Fall zu ignorieren,

x_{1} < 0

$x_1< 0$ , da es nach links und nicht nach rechts verschoben wurde. Ansonsten ist alles andere korrekt.

TBissinger

Bitte definieren Sie die Mengen

x_{1}

$x_1$ Und

x_{2}

$x_2$ , sie sind im Bild nicht definiert. Wenn Sie das angeben, können Sie auch selbst sehen, welche Abstände für die Federn relevant sind. Können Sie uns etwas über die Logik erzählen, die Sie zu einer der Bewegungsgleichungen geführt hat? Dann können wir besprechen, wo Ihre Logik fehlerhaft und wo sie richtig ist, damit wir Ihnen bei der Problemlösungsstrategie helfen können.

Philipp

Außerdem hast du eine

k

$k$ fehlt in Ihrem ersten Satz von Gleichungen, und ich denke, der zweite Satz von Gleichungen, den Sie schreiben wollten "

- k x_{1}

$-kx_1$ " anstatt "

+ k x_{1}

$+kx_1$ ".

Jalex

Ja, das Zeichnen eines Freikörperdiagramms, bei dem nicht alle positiven Verschiebungen in die gleiche Richtung gehen, ist genau aus diesem Grund ein großer Fauxpas. Dasselbe gilt auch für Winkel. Ich schlage vor, dass Sie es auf herkömmliche Weise tun und nur dort, wo Sie Anfangsbedingungen eingeben, die Verschiebung der ersten Masse als negativen Wert betrachten.

Jalex

Wenn

x_{1}

$x_1$ auf einen negativen Sinn wirkt, dann überprüfe das

m {\ddot{x}}_{1}

$m \ddot{x}_1$ ist richtig. Sie müssen verwenden

- m {\ddot{x}}_{1}

$-m \ddot{x}_1$ Ich denke, da sind die Kräfte immer noch (+) nach rechts.

Antworten (3)

Zwei federgekoppelte Massensysteme

Beim Versuch, die Bewegungsgleichungen herauszufinden, ist es immer am besten, beide Massen in die gleiche Richtung zu bewegen. Die Lösungen funktionieren unabhängig davon, wo sich die Massen befinden, da sie sich nur mit relativen Verschiebungen befassen, aber es ist einfacher, wenn alle Größen positiv sind. Der Fehler, den Sie machen, besteht darin, im ersten Fall zu ignorieren, $x_1< 0$ , da es nach links und nicht nach rechts verschoben wurde. Ansonsten ist alles andere korrekt.
Bitte definieren Sie die Mengen $x_1$ Und $x_2$ , sie sind im Bild nicht definiert. Wenn Sie das angeben, können Sie auch selbst sehen, welche Abstände für die Federn relevant sind. Können Sie uns etwas über die Logik erzählen, die Sie zu einer der Bewegungsgleichungen geführt hat? Dann können wir besprechen, wo Ihre Logik fehlerhaft und wo sie richtig ist, damit wir Ihnen bei der Problemlösungsstrategie helfen können.
Außerdem hast du eine $k$ fehlt in Ihrem ersten Satz von Gleichungen, und ich denke, der zweite Satz von Gleichungen, den Sie schreiben wollten " $-kx_1$ " anstatt " $+kx_1$ ".
Ja, das Zeichnen eines Freikörperdiagramms, bei dem nicht alle positiven Verschiebungen in die gleiche Richtung gehen, ist genau aus diesem Grund ein großer Fauxpas. Dasselbe gilt auch für Winkel. Ich schlage vor, dass Sie es auf herkömmliche Weise tun und nur dort, wo Sie Anfangsbedingungen eingeben, die Verschiebung der ersten Masse als negativen Wert betrachten.
Wenn $x_1$ auf einen negativen Sinn wirkt, dann überprüfe das $m \ddot{x}_1$ ist richtig. Sie müssen verwenden $-m \ddot{x}_1$ Ich denke, da sind die Kräfte immer noch (+) nach rechts.

TBissinger · Answer 1

Danke fürs Definieren $x$ , damit kann ich erklären, was das Problem ist. Das nehme ich an, wie du gezeichnet hast $x_1$ Und $x_2$ , dies definiert auch die positiven Werte von $x_1$ Und $x_2$ .

Die Sache ist, dass du gibst $x_1$ Und $x_2$ in Bezug auf einige Gleichgewichtslagen $x_{1e}$ Und $x_{2e}$ . Sie können die harmonische Bewegung in diesem Koordinatensystem definieren, aber es ist ein bisschen schwierig, genau zu begründen, warum die Terme so entstehen, wie sie es tun.

Der hirnlose Weg, es zu tun, ist, damit zu beginnen $x_1$ Und $x_2$ mit Bezug auf denselben Ursprung. Sagen $x_1$ waren der Abstand der Masse 1 von dem Punkt, an dem die linke Feder an der Wand befestigt ist, und $x_2$ waren die Entfernung der Masse 2 vom selben Punkt. Dann können Sie fortfahren und alle drei Federn modellieren. Die Länge der ersten Feder wäre $x_1$ , wäre die Länge der zweiten Feder $x_2 - x_1$ und die Länge der dritten Feder ist $L - x_2$ . Deutlich, $x_1$ spürt die Kräfte aufgrund der ersten und zweiten Feder, und jede Kraft ist die Federkonstante mal der Länge, also

M {\ddot{X}}_{1} = - k_{0} X_{1} + k (X_{2} - X_{1}) .

$m \ddot{x}_1 = - k_0 x_1 + k (x_2 - x_1).$ Die Zeichen sind da, weil die linke Feder zieht

x_{1}

$x_1$ nach links (entgegen der positiven Richtung des gerade gewählten Koordinatensystems), während die mittlere Feder einen Zug nach rechts (in die positive Richtung des Koordinatensystems) bewirkt. Ähnlich finden Sie

M {\ddot{X}}_{2} = k_{0} (L - X_{2}) - k (X_{2} - X_{1}) .

$m \ddot{x}_2 = k_0 (L - x_2) - k (x_2 - x_1).$ Diesmal zieht die rechte Feder nach rechts, während die mittlere Feder nach links zieht, sodass Sie die entgegengesetzten Vorzeichen erhalten. Daher haben Sie eine Matrixgleichung

\frac{D^{2}}{D T^{2}} (\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - (k + k_{0}) & k \\ k & - (k + k_{0}) \end{matrix}) (\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \end{matrix}) + k_{0} L (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}),

$\frac{\textrm{d}^2}{\textrm{d}t^2}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - (k + k_0) & k \\ k & -(k + k_0)\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\end{pmatrix} + k_0 L \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix},$ und Sie können mit der Berechnung der Häufigkeiten aus der Häufigkeitsmatrix fortfahren.

Verknüpfung zwischen Beschreibungen

Ich hatte gestern eine Art Gehirnblockade, daher war ich etwas verwirrt über die Verwendung verschiedener Gleichgewichtspositionen. Um das klarzustellen: Sie können die obige Gleichung in beliebige Koordinatenursprünge umwandeln $x_1$ Und $x_2$ . Lassen Sie uns neue Koordinaten mit der Transformation schreiben $x_1 \mapsto x_1' = x_1 - x_{1e}$ Und $x_2 \mapsto x_2' = x_2 - x_{2e}$ . Offensichtlich, $\textrm{d}^2/\textrm{d}t^2 x_i' = \textrm{d}^2/\textrm{d}t^2 x_i$ für $i \in \{1,2\}$ , und durch Einsetzen haben wir

\frac{D^{2}}{D T^{2}} (\begin{matrix} X_{1}^{'} \\ X_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - (k + k_{0}) & k \\ k & - (k + k_{0}) \end{matrix}) (\begin{matrix} X_{1}^{'} + X_{1 e} \\ X_{2}^{'} + X_{2 e} \end{matrix}) + k_{0} L (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) .

$\frac{\textrm{d}^2}{\textrm{d}t^2}\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - (k + k_0) & k \\ k & -(k + k_0)\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1' + x_{1e} \\ x_2' + x_{2e}\end{pmatrix} + k_0 L \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix}.$ Nun, wenn Sie die Positionen bewusst wählen

x_{1 e}

$x_{1e}$ Und

x_{2 e}

$x_{2e}$ die Gleichgewichtsposition sein, dh

(\begin{matrix} - (k + k_{0}) & k \\ k & - (k + k_{0}) \end{matrix}) (\begin{matrix} X_{1 e} \\ X_{2 e} \end{matrix}) + k_{0} L (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = 0,

$\begin{pmatrix} - (k + k_0) & k \\ k & -(k + k_0)\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1e} \\ x_{2e}\end{pmatrix} + k_0 L \begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} = 0,$ Das ist nur die Anforderung, dass die Massen in dieser bestimmten Konfiguration keine Beschleunigung spüren, zu der Sie gelangen

\frac{D^{2}}{D T^{2}} (\begin{matrix} X_{1}^{'} \\ X_{2}^{'} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - (k + k_{0}) & k \\ k & - (k + k_{0}) \end{matrix}) (\begin{matrix} X_{1}^{'} \\ X_{2}^{'} \end{matrix}) .

$\frac{\textrm{d}^2}{\textrm{d}t^2}\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - (k + k_0) & k \\ k & -(k + k_0)\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2'\end{pmatrix}.$

Eli · Answer 2

Wenn Sie nur eine Feder mit Masse haben, haben Sie zwei Möglichkeiten, das Kraftzeichen zu wählen $~+~$ oder $~-~$

M \ddot{X} = \pm k X

$m\ddot{x}=\pm k\,x$

wenn du wählst $~-~$ Zeichen erhalten Sie die Lösung mit den Anfangsbedingungen $x(0)=x_0$ Und $\dot{x}(0)=0$

X (T) = X_{0} \cos (ω T)

$x(t)=x_0\,\cos(\omega\,t)$

Wo $\omega=\sqrt{\frac km}$

wenn du wählst $~+~$ unterschreiben erhalten Sie die Lösung

X (T) = \frac{1}{2} X_{0} e^{ω T}

$x(t)=\frac 12 x_0 e^{\omega t}$

Diese Lösung ist jedoch falsch, da Sie eine Sinus- oder Kosinusbewegung erwarten.

somit ist das Minuszeichen richtig.

Wenn Sie dieser Regel folgen, erhalten Sie diese Bewegungsgleichungen

M {\ddot{X}}_{1} = - k_{0} X_{1} - k (X_{1} - X_{2})

$m\,\ddot x_1=-k_0\,x_1-k\,(x_1-x_2)$

M {\ddot{X}}_{2} = - k_{0} X_{2} + k (X_{1} - X_{2})

$m\,\ddot x_2=-k_0\,x_2+k\,(x_1-x_2)$

drive.google.com/file/d/1OCcCZC3v_Y0neJ-mZ95wJaLBVsvAY7N9/…
Du hast recht, ich habe nachgerechnet. Ich werde meinen Kommentar löschen und vielleicht eine Notiz hinzufügen, wie diese beiden Lösungen zusammenhängen.

Jalex · Answer 3

Ich schlage vor, sich an die Konvention zu halten und das Freikörperdiagramm mit positiven Verschiebungen nach rechts zu erstellen.

Tatsächlich habe ich das oben mit gezeichnet $x_2 > x_1$ um bei der Bestimmung der mittleren Federkraftrichtung zu helfen.

Von oben habe ich

\begin{aligned} F_{1} & = k_{0} (X_{1}) \\ F_{2} & = k (X_{2} - X_{1}) \\ F_{3} & = k_{0} (X_{2}) \end{aligned}

$\begin{aligned} F_1 & = k_0 (x_1) \\ F_2 & = k (x_2-x_1) \\ F_3 & = k_0 (x_2) \end{aligned}$

und die Bewegungsgleichungen

\begin{aligned} F_{2} - F_{1} & = M_{1} {\ddot{X}}_{1} \\ - F_{2} - F_{3} & = M_{2} {\ddot{X}}_{2} \end{aligned}

$\begin{aligned} F_2 - F_1 & = m_1 \ddot{x}_1 \\ -F_2 - F_3 & = m_2 \ddot{x}_2 \end{aligned}$

Kombiniert die oben genannten Produkte

[\begin{matrix} M_{1} & 0 \\ 0 & M_{1} \end{matrix}] (\begin{matrix} {\ddot{X}}_{1} \\ {\ddot{X}}_{2} \end{matrix}) = - [\begin{matrix} k + k_{0} & - k \\ - k & k + k_{0} \end{matrix}] (\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \end{matrix})

$\begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_1 \end{bmatrix} \pmatrix{\ddot{x}_1 \\ \ddot{x}_2 } = -\begin{bmatrix} k+k_0 & -k \\ -k & k+k_0 \end{bmatrix} \pmatrix{x_1 \\ x_2}$

Jetzt können Sie gehen und das Zeichen umdrehen $x_1$ und von $\ddot{x}_1$ falls Sie es wollen.

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