Feldstärke verschwindet genau dann, wenn AμAμA_{\mu} reines Eichfeld ist

TL;DR: Verschwindende Feldstärke$F=0$bedeutet nicht, dass das Eichpotential$A$ist ein reines Messgerät. Es gilt nur lokal. Es könnte globale Hindernisse geben. Tatsächlich könnten topologische Hindernisse auftreten, selbst wenn die Messgerätegruppe$G$ist abelsch.

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1. Ausgangspunkt ist eine zusammenhängende (aber nicht unbedingt einfach zusammenhängende) Eich-Lie-Gruppe$G$und ein global definiertes Eichpotential$A$auf einer zusammenhängenden (aber nicht unbedingt einfach zusammenhängenden) Raumzeit-Mannigfaltigkeit$M$. In dieser Antwort ist die kovariante Ableitung konventionell$\mathrm{D}=\mathrm{d}-A$, dh$A$ist typischerweise eine anti-hermitische Matrix-bewertete 1-Form. Eine Eichtransformation nimmt die Form an

   $$A^{\prime}~=~-U(\mathrm{D} U^{-1}), \qquad U~\in~G.\tag{1}$$

2. Lassen Sie uns aufwärmen, indem wir den einfachen Weg überprüfen. Wenn$A^{\prime}$ist ein reines Messgerät$A^{\prime}=-U(\mathrm{d} U^{-1})$, dann existiert eine Eichtransformation (1), so dass das neue Eichpotential$A=0$verschwindet identisch, und damit die (neuen und alten) Feldstärken$F^{\prime}=UFU^{-1}=0$verschwinden identisch.

3. Als nächstes kehren wir zu OPs Frage zurück und skizzieren den Beweis der entgegengesetzten Implikation in einer einfach verbundenen Region$\Omega\subseteq M$einen Bezugspunkt enthalten$x_{0}\in M$:

   • Für einen Punkt$x\in \Omega$Wähle einen Weg/eine Kurve$C$aus$x_0$Zu$x$.

   • Gruppenelement über eine Wilson-Linie definieren$^1$

     $$U(x,x_0)~:=~P e^{\int_{C} \!A},\tag{2}$$ Wo$P$bezeichnet Pfadreihenfolge .

   • Verwenden Sie als nächstes den nicht-Abelschen Satz von Stokes, um zu argumentieren, dass diese Definition (2) nicht von der Kurve abhängt$C$, Weil$F=0$.

   • Verwenden Sie schließlich den gruppenbewerteten Abschnitt (2), um das Eichpotential zu messen$A$null sein.

4. Beispiel: Betrachten Sie die durchstochene Ebene$M=\mathbb{R}^2\backslash\{(0,0)\}$mit Koordinaten

   $$\begin{align}x~=~&r\cos\theta, \qquad y~=~r\sin\theta, \cr \theta~\sim~&\theta+2\pi,\qquad r~>~0;\end{align}\tag{3}$$ und mit abelscher Eichgruppe$G=U(1)$.
   Das (imaginäre) Eichpotential sei 1-Form $$-iA~=~\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+y^2}~=~\mathrm{d}\theta~=~-iU^{-1}\mathrm{d}U,\tag{4}$$ Wo $$U(x,y)~=~e^{i\theta(x,y)}~\in~G\tag{5}$$ ist ein global wohldefinierter gruppenbewerteter Abschnitt. Die Feldstärke$F$verschwindet, also ist das Eichpotential (4) reines Eichpotential. Allerdings, wenn wir skalieren$A\to \lambda A$in Gl. (4) mit einer nicht ganzzahligen Konstante$\lambda\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Z}$, Dann$A$wird kein reines Messgerät mehr sein (weil die entsprechende$U=e^{i\lambda\theta}$wird mehrwertig ), aber$F$wird immer noch null sein.

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$^1$Wenn$G$Nicht einfach angeschlossen ist dann die Arbeit in der universellen Abdeckgruppe $\tilde{G}$. Wir können später immer herunter projizieren$G$.