Führt mathematische Schlamperei in der Quantenmechanik jemals zu falschen Vorhersagen?

Ich weiß nicht, ob dies Ihre Frage vollständig beantworten wird, aber es gibt eine ziemliche Debatte über eine richtige Definition eines Quantenphasenoperators. Im

1. Pegg, DT und SM Barnett. "Einheitlicher Phasenoperator in der Quantenmechanik." EPL (Europhysics Letters) 6.6 (1988): 483,
2. Barnett, Stephen M. und David T. Pegg. "Phase in der Quantenoptik." Journal of Physics A: Mathematical and General 19.18 (1986): 3849.
3. Barnett, SM und DT Pegg. "Über den hermitischen optischen Phasenoperator." Journal of Modern Optics 36.1 (1989): 7-19,
4. Pegg, DT und SM Barnett. "Phaseneigenschaften des quantisierten elektromagnetischen Einmodenfeldes." Physical Review A 39.4 (1989): 1665

David Pegg und Steve Barnett haben genau eine solche Definition vorgeschlagen. Ihr Vorschlag bleibt Gegenstand der Debatte. Eine Kritik können Sie nachlesen

1. Bergou, János, und Berthold-Georg Englert. "Operatoren der Phase. Grundlagen." Annals of Physics 209.2 (1991): 479-505.

Ein relevanter Teil lautet:

Das Beharren darauf, dass die$N\to\infty$Limit genommen wird, hilft unserer Meinung nach nicht weiter. Denn, tut die einstweilige Verfügung, zu pflücken$N$ausreichend groß, abhängig vom Zustand des physikalischen Systems, nicht bedeuten, dass die Operatoren selbst zustandsabhängig sind? Für diejenigen, die wie wir mit Ja antworten, wird dadurch nicht die Linearität der „Operatoren“ vernichtet?

Im Grunde argumentieren Bergou und Englert, dass Pegg und Barnett irgendwo schlampig gerechnet haben, indem sie ein Ergebnis in gewisser Hinsicht wahr genommen und es im Endlichen verwendet haben$N$Regime. Leider ist die Jury immer noch uneins darüber, wer Recht hat, da es keine experimentelle Entscheidung gibt.

Eine Schlamperei, derer sich viele Lehrer schuldig machen, ist das Unterrichten dieser irreführenden Sache:

Der Positionsoperator$\hat{x}$hat Eigenvektoren$|x_0\rangle$die gehorchen

$$\hat{x} |x_0\rangle = x_0|x_0\rangle$$ und werden durch Verteilungen auf der Domäne von dargestellt$x$:$\delta(x-x_0)$für anders$x_0$. (FALSCH)

Die falschen Vorhersagen kommen, wenn der Schüler diese "repräsentierende Funktion" als einfache Anfangsbedingung verwendet, um herauszufinden, wie sich eine lokalisierte Psi-Funktion zeitlich ausbreitet, oder um den erwarteten Positionsmittelwert zu berechnen.

Lassen Sie mich den letzteren Fall demonstrieren: Berechnung des erwarteten Positionsdurchschnitts in einem solchen Zustand$|x_0\rangle$Unter Verwendung des Standardalgorithmus erhalten wir

$$\langle x \rangle = \langle x_0|\hat{x}|x_0\rangle = x_0 \langle x_0|x_0\rangle$$ Es ist verlockend zu setzen$\langle x_0|x_0\rangle = 1$jetzt, aber das ist nicht richtig, weil wir das bereits gesagt haben$|x_0\rangle$wird durch die Deltaverteilung dargestellt. Der Ausdruck ist eben nicht als Integral definiert $$\int \delta(x-x_0)\delta(x-x_0)dx$$ ist nicht definiert (oder manchmal als unendlich bezeichnet). Hier führt uns also die Schlamperei der Annahme, dass der Positionsoperator Eigenvektoren hat, zu einer falschen Vorhersage, dass es keinen erwarteten Positionsmittelwert gibt. Ein solches Ergebnis wäre beispielsweise für die Cauchy-Verteilung korrekt, aber für eine lokalisierte Verteilung, von der wir implizit annehmen, dass sie hier beschrieben wird, ist es falsch. Für jede gut lokalisierte Psi-Funktion in der Nähe$x_0$, die richtige Antwort liegt nahe bei$x_0$.

Der richtige Weg, damit umzugehen, besteht darin, zu lehren, dass der Positionsoperator keine Eigenfunktionen hat, aber wir können ihm uneigentliche Eigenvektoren zuweisen$|x_0\rangle$das sind aber keine realisierbaren psi-funktionen. Die Tatsache, dass genau der Positionsoperator, der zum Definieren solcher Kets verwendet wird, keinen erwarteten Durchschnitt für solche Kets hat, ist kein Problem, da physische Kets solchen Kets niemals gleich sein können.