Was bestimmt, welche Rahmen Inertialrahmen sind?

Wie Sie sagen, gibt es eine vollkommen vernünftige operative Definition eines Inertialsystems: Es ist eines, in dem sich freie Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit bewegen. Auch in der Allgemeinen Relativitätstheorie ist es sinnvoll, von Inertialsystemen zu sprechen, aber nur lokal. Genau genommen ist ein Inertialsystem nur in einer infinitesimalen Umgebung eines Raumzeitpunkts wohldefiniert, obwohl es in der Praxis eine vernünftige Annäherung ist, ein solches System auf eine endliche Umgebung auszudehnen, solange die Größe im Vergleich zu beliebigen Längenskalen klein ist der Raumzeitkrümmung zugeordnet.

Die Tatsache, dass es Inertialsysteme gibt, ist im Wesentlichen ein Axiom der Allgemeinen Relativitätstheorie. Die Theorie basiert auf der Idee, dass die Raumzeit eine bestimmte geometrische Struktur hat, die die Existenz von Geodäten ermöglicht, entlang denen sich freie Teilchen bewegen. Innerhalb einer ausreichend kleinen Nachbarschaft "sehen" die Geodäten in der Nähe eines bestimmten Punktes in guter Näherung so aus, wie Sie es in einem Inertialsystem erhalten würden.

Es gibt also keine wirklich gute Antwort auf die Frage, warum es Trägheitssysteme gibt: Es ist nur ein Teil des angenommenen Rahmens der Theorie. Aber das ist nicht ganz das, was Sie gefragt haben. Sie haben gefragt, ob es einen Grund gibt, warum ein bestimmter Rahmen S träge ist und ein anderer Rahmen S' nicht. Es hängt davon ab, was Ihrer Meinung nach als Grund gelten würde. Für eine gegebene Raumzeitgeometrie sind die Geodäten gut spezifiziert (als Lösungen einer bestimmten Differentialgleichung oder als Kurven mit bestimmten geometrischen Eigenschaften). Die Trägheitsrahmen sind die Rahmen, die die Geodäten wie gerade Linien aussehen lassen. Es ist alles furchtbar mathematisch gut definiert und selbstkonsistent, aber es hat vielleicht nicht das intuitive Gefühl eines „Grundes warum“.

Sie erwähnen die Möglichkeit, dass der Grund "all das andere Zeug im Universum" ist. Wie Sie vielleicht wissen, hat diese Idee einen edlen Stammbaum: Sie trägt den Namen Machsches Prinzip. Einstein war anscheinend ziemlich verliebt in Machs Prinzip, als er die allgemeine Relativitätstheorie entwickelte, und er wäre wahrscheinlich sehr glücklich gewesen, wenn die Theorie die Eigenschaft gehabt hätte, dass die Trägheitssysteme von all der anderen Materie im Universum bestimmt würden. Aber die Beziehung der Allgemeinen Relativitätstheorie zum Machschen Prinzip ist kompliziert und problematisch, um es gelinde auszudrücken. Zum Beispiel ist die gute alte flache Minkowski-Raumzeit eine vollkommen gültige Lösung für die Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie. Diese Lösung hat gut definierte Trägheitsrahmen, obwohl es keine Materie gibt, die sie "verursacht".

In der speziellen Relativitätstheorie wird die Existenz der Inertialsysteme lediglich postuliert. An einem solchen Ansatz ist überhaupt nichts auszusetzen: Es handelt sich um Rahmen, in denen sich Objekte mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, wenn keine Kräfte auf sie einwirken. Newton brauchte so ziemlich das Gleiche, um die Gesetze der Mechanik zu definieren. Der wichtige Punkt bei der Relativitätstheorie (sowohl der Galileischen als auch der Einsteinschen) ist, dass, wenn ein Koordinatensystem träge ist, andere Koordinatensysteme, die sich gleichförmig in Bezug auf dieses träge Koordinatensystem bewegen, ebenfalls träge Koordinatensysteme sind.

Dies ist völlig analog zu geraden Linien in der euklidischen Geometrie. (Trägheitssysteme sind einfach Systeme, die mit Beobachtern verbunden sind, deren Weltlinien in der Raumzeit gerade Linien sind – in einem anderen Raum ist es wirklich dasselbe.) Einige Linien auf dem Papier sind einfach gerade Linien, andere nicht. Man könnte auch fragen, nach welchem ​​Prinzip ausgewählt wird, welche Linien gerade sind. Nun, das Prinzip ist der Satz von Axiomen der euklidischen Geometrie. Man muss ein System haben, das uns erlaubt, Dinge über die geometrischen Objekte zu sagen – und sagen zu können, ob eine Linie gerade ist, gehört zu den „Werkzeugen“, die wir bekommen müssen. Wenn wir die Geometrie in Koordinaten beschreiben, die wir kartesisch nennen, dann ist eine Gerade gegeben durch$ax+by+c=0$.

Hier gibt es keine Verwirrung, es sei denn, jemand versucht absichtlich, sie zu erzeugen. Die Frage, wer es gewagt hat, einige Systeme inertial zu machen und andere nicht, ist analog zu der Frage, warum die Mathematik einige Zahlen diskriminiert – weil einige von ihnen Primzahlen sind und andere nicht. Nun, die Mathematik diskriminiert und sie hat das volle Recht dazu. Es ist der eigentliche Zweck der Mathematik – und der Naturwissenschaften –, ständig zu diskriminieren. Jedes Mal, wenn wir eine Frage stellen, wollen wir die richtige Antwort hören und alle anderen möglichen Antworten diskriminieren – die falschen. Die richtige Antwort diskriminiert zwangsläufig - sie behandelt verschiedene Objekte oder Zahlen asymmetrisch. Keine Mathematik oder Wissenschaft könnte funktionieren, wenn jemand die dauerhafte Demokratie zwischen allen forderte.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Raumzeit gekrümmt und eine gekrümmte Raumzeit enthält keine Referenzrahmen – oder Koordinatensysteme – in denen der Raum flach aussehen würde. Es ist einfach nicht flach. Es gibt also keine exakten Inertialsysteme in der Allgemeinen Relativitätstheorie. In der Allgemeinen Relativitätstheorie kann man sich dem Begriff eines Inertialsystems nur annähern. Eine mögliche Definition ist, dass ein Inertialsystem eine gute Näherung für lokale Phänomene um frei fallende Objekte ist. Wenn ein Aufzug frei fällt, können Sie den mit diesem Aufzug verbundenen Rahmen als "träge" bezeichnen.

Hier auf der Erde ist es jedoch nicht die übliche Wahl. Wir sagen normalerweise, dass der frei fallende Aufzug beschleunigt, dh nicht träge ist. Im Gegenteil, es ist der ruhende, nicht fallende Aufzug, der träge ist – obwohl er in der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht mit Geodäten in Verbindung gebracht wird. Die Wahl des fallenden Aufzugs hat den Vorteil, dass Sie die Gravitationskraft nicht zu den Kräften zählen müssen, die auf die Objekte im Inneren des Aufzugs wirken. Das einzige, was Sie einbeziehen müssen, ist der Absturz, der Sie töten wird: Nicht der freie Fall, sondern die Kollision mit dem Boden wird Ihr Schicksal. :-)

Wenn Sie wählen, dass das Inertialsystem mit dem Aufzug in Ruhe verbunden ist, müssen Sie die anziehende Gravitationskraft zu den Gleichungen für alle Objekte auf der Erde hinzufügen. Das macht Ihre Beschreibung von Hochgeschwindigkeitsphänomenen usw. natürlich etwas ungenau. Aber es ist einfach so, dass gekrümmte Raumzeiten – und nichttriviale Gravitationsfelder – nicht nur durch die spezielle Relativitätstheorie (und ihre Inertialsysteme) exakt beschrieben werden können. Wenn dies möglich wäre, bräuchten wir keine Allgemeine Relativitätstheorie. Es ist nicht möglich und wir brauchen die allgemeine Relativitätstheorie, um die Schwerkraft im relativistischen Kontext zu beschreiben.

Im weiteren kosmischen Kontext, abseits des Gravitationsfeldes der Erde oder der Sonne, können die ungefähren Inertialrahmen durch die frei beweglichen Objekte definiert werden. Einer von ihnen wird der Rahmen sein, der mit dem kosmischen Mikrowellenhintergrund verbunden ist – der Rahmen von Kugeln, so dass der Gesamtimpuls, der sich in den CMB-Photonen versteckt, die die Kugel an jedem Punkt der Kugeloberfläche durchqueren, Null ist. Der CMB-Rahmen bestimmt nicht nur die verschwindende Beschleunigung; es bestimmt auch, was die Fluchtgeschwindigkeit ist.

Mit diesem Benchmark kann man die Bewegung der Sonne (und des Sonnensystems), unserer Galaxie, Galaxienhaufen und Superhaufen, zu denen wir gehören, usw. relativ zum kosmischen CMB-Koordinatensystem diskutieren. Diese Geschwindigkeiten sind irgendwie bekannt. Es ist jedoch nützlich, sich daran zu erinnern, dass diese Geschwindigkeiten nicht wirklich bedeuten, dass das Sonnensystem weit von Trägheit entfernt ist. Dies liegt daran, dass einheitliche Geschwindigkeiten den Trägheitscharakter des Referenzrahmens nicht beeinträchtigen. Obwohl sich also die Sonne relativ zum CMB-Koordinatensystem mit ziemlich hoher Geschwindigkeit bewegt, ist das mit der Sonne verbundene System – und relativ zu einigen anderen Galaxien usw. richtig ausgerichtet – mit einer enormen Genauigkeit inertial.

Nun, aus der Sicht eines Trägheitsbezugssystems bleiben Drehimpuls und linearer Impuls erhalten, und wenn Sie sich nicht in einem Trägheitsbezugssystem befinden, sind sie nicht erhalten.

Stellen Sie sich beispielsweise vor, Sie befinden sich auf einem Raumschiff, das von einer einsamen Sonne weg beschleunigt. (Ignoriert für den Moment ein expandierendes Universum). In Ihrem Rahmen beschleunigt die Sonne von Ihnen weg, ohne dass irgendetwas eine solche Beschleunigung verursacht. Das Momentum wird von Ihrem Referenzrahmen nicht erhalten, und daher befinden Sie sich nicht in einem Trägheitsreferenzrahmen.

Hoffentlich hilft das.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie bestimmt das Gravitationsfeld, welches lokale Bezugssystem lokale Inertialsysteme sind. Ich spreche von "lokalen" Rahmen, weil es, wie Sie in Ihrer Frage festgestellt haben, in der gekrümmten Raumzeit keine globalen Trägheitsreferenzrahmen gibt.

Das Gravitationsfeld wird durch ein metrisches Tensorfeld dargestellt. Mit einer solchen Metrik können Sie die zeitähnlichen Geodäten für jedes Ereignis darstellen. Dies sind die Trajektorien, die die unter Verwendung der Metrik berechnete integrierte Eigenzeit lokal maximieren. Alles, was sich entlang einer solchen Geodäte bewegt, befindet sich in einem lokalen Inertialsystem.

Der kosmische Mikrowellenhintergrund definiert aus Sicht der Bewegungsgleichungen keinen bevorzugten Rahmen. Es ist nur einer von vielen Referenzrahmen, die Sie im Universum durch Beobachtung finden können. Tatsächlich gibt es viele verschiedene Bezugsrahmen, die Sie nur auf der Grundlage der kosmischen Hintergrundstrahlung definieren könnten, und sie stimmen nur in einem vollkommen homogenen Universum überein, aber das Universum ist nicht lokal homogen. Außerdem sind diese Referenzsysteme im Allgemeinen meist keine Inertialsysteme.

Die vorherigen Antworten haben jeden philosophischen und erkenntnistheoretischen Aspekt der Frage der Trägheitsreferenzrahmen (IRFs) abgedeckt, die mir eingefallen sind. Was nicht erwähnt wurde, ist eine physikalische Konstruktion im Sinne der Kinematik bewegter Körper. Die Referenz für diese Antwort ist Michael Dicksons Artikel über "Quantum Reference Frames" .

Diese 106 Jahre alte Konstruktion geht ursprünglich auf L. Lange (" Über das Beharrungsgesetz ", Leipziger Berichte 37: 333-351, 1885) zurück. Lange definiert einen Trägheitsbezugsrahmen als (Zitat von Dickson):

ein Koordinatensystem, in dem sich jedes von einem Tripel kräftefreier Teilchen, die sich von einem gemeinsamen „Ursprung“ in nicht koplanare Richtungen bewegen, in einer geraden Linie bewegt, wobei die Teilchen in gleichen Zeiten zueinander proportionale Entfernungen zurücklegen. Das Trägheitsgesetz ist dann die Behauptung, dass sich auch jedes andere freie Teilchen in einem solchen Koordinatensystem gleichmäßig bewegen wird.

Sobald wir diese Arbeitsdefinition eines IRF haben, können wir leicht erkennen, wo es versagen kann, und so die inhärenten physikalischen Grenzen des Konzepts beleuchten. Welche in der Natur vorkommenden Tripel von Teilchen können diese Konstruktion tatsächlich erfüllen? Drei harte Kugeln, die sich in einem Kasten mit elastischen Randbedingungen (3D-Billard) träge bewegen, drei Himmelskörper – Sterne oder Galaxien, drei Elementarteilchen – die jeweils eine IRF auf mesoskopischer, makroskopischer und mikroskopischer Skala definieren.

Es ist klar, dass jedes solche Tripel als Grundlage für einen IRF über einen begrenzten Bereich von Skalen dienen kann. Diese Diskussion legt also sofort nahe, dass es in unserem nicht skaleninvarianten Universum (dh mit einer Hierarchie von Skalen - Sterne, Billard, Atome) keine einzige IRF gibt und geben kann, die auf allen Skalen gültig ist.

Für eine ausführlichere Diskussion empfehle ich dringend, Dicksons fesselnden Artikel zu lesen.

In der gewöhnlichen Mechanik werden Trägheitsrahmen durch Beobachter mit konstanter Geschwindigkeit definiert. Dies gilt immer noch für GTR - experimentell bedeutet "Trägheitsbewegung" "keine richtige Beschleunigung", die mit einem Beschleunigungsmesser gemessen werden kann. Das Äquivalenzprinzip bedeutet, dass mechanische Systeme zumindest lokal so wirken, als gäbe es keine Schwerkraft, so dass GTR auf konzeptioneller Ebene Trägheitsrahmen von gewöhnlicher Mechanik "erbt", wenn auch in einem eingeschränkteren Sinne.

Aus formaler Sicht ist es genauso axiomatisch wie die euklidische Geometrie, auf die Sie oben verwiesen haben. Angenommen, Sie haben zwei Kurven, die sich bei p auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit schneiden, und in einigen Koordinaten haben sie dieselbe Ableitung bei p, also sagen Sie, dass sie in derselben Richtung liegen. Die Äquivalenzklassen definieren den Tangentenraum bei p (was auch auf verschiedene andere Weise erfolgen kann), der ein Vektorraum von "Richtungen von p" ist. Insbesondere ist die Geschwindigkeit eines Teilchens an einem bestimmten Punkt nur der Tangentenvektor seiner Kurve in der Raumzeit (Wortlinie).

Wie interpretieren wir also Trägheitsbewegung als "mit der gleichen Geschwindigkeit"? Dazu müssen wir in der Lage sein, zwei Vektoren zwischen den Tangentialräumen verschiedener Punkte zu vergleichen . Oder äquivalent dazu, Vektoren (und im Allgemeinen Tensoren) von dem einen oder anderen Punkt transportieren zu können. Das mathematische Gerät, mit dem wir dies tun können, heißt Verbindung , und wie viele Dinge in der Mathematik ist es völlig allgemein, mit unendlich vielen möglichen distinkten Verbindungen auf derselben Mannigfaltigkeit. "Trägheitsbewegung" oder "geodätisch" ist dann nur eine Kurve, deren Tangentenvektor gleich bleibt, wenn sie zwischen infinitesimal nahen Punkten transportiert wird.

Hier kommt das Postulat der GTR ins Spiel. Angenommen, es sei "metrisch kompatibel", was bedeutet, dass das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren beim Transport entlang einer Kurve ebenfalls unverändert bleibt. Nehmen Sie auch an, dass die Verbindung "torsionsfrei" ist, was eine ausgefallene Art zu sagen ist, dass, wenn Sie einen Vektor um eine kleine Schleife in der Raumzeit zurück zum Ausgangspunkt transportieren, er in erster Ordnung unverändert bleibt. Es stellt sich heraus, dass diese Bedingungen die Verbindung eindeutig bestimmen. (Übrigens definiert die Änderung zweiter Ordnung im Schleifentransportvorgang die Riemannsche Krümmung.)

Mit anderen Worten, die GTR postuliert, dass die Kurven mit "konstanter Geschwindigkeit" genau die längenextremisierenden Kurven sind, die vom metrischen Tensor diktiert werden$g_{\mu\nu}$. Und genau wie bei den euklidischen Postulaten ist es durchaus möglich, eine widersprüchliche Option zu wählen. Zum Beispiel hat die Einstein-Cartan-Gravitationstheorie nicht die obigen Annahmen und erlaubt in ihren Torsionstermen den Drehimpuls des Spins und seinen Gravitationsaustausch mit dem Drehimpuls der Bahn, anders als in der GTR.

Ja, es gibt eine sehr einfache und wirklich gute Antwort auf diese Frage, die alle anderen vergessen haben zu erwähnen. Und es gilt sowohl für die klassische Mechanik als auch für die allgemeine Relativitätstheorie.

Inertiale Bezugsrahmen sind diejenigen, in denen Sie sich schwerelos fühlen. Das sind die Frames, in denen es keine innere Kompression auf Ihren Körper gibt und Ihr Weg auf dem Feld eine Geodäte ist.

Die Unterschiede liegen alle in den Konzepten der Eigenbeschleunigung und der Koordinatenbeschleunigung . Die richtige Beschleunigung kann absolut mit Beschleunigungsmessern und Gyroskopen gemessen werden, während die Koordinatenbeschleunigung vom Beobachter abhängt.

Genauer gesagt, in einem Trägheitsbezugssystem gibt es keine Kontaktkräfte , sondern nur Feldkräfte . Wenn Sie sich in einem Rahmen befinden, der nur Feldkräften ausgesetzt ist, fallen Sie einfach durch die Geodäten des Felds (wie bei einer parabolischen Flugbahn auf der Oberfläche eines Planeten mit vernachlässigbarer Atmosphäre oder beim Umlaufen eines Himmelskörpers), Sie gleiten darüber die Hügel des Gravitationsfeldes, und somit ist Ihre Bewegung träge.

Wenn Sie andererseits auf der Oberfläche eines Planeten stehen oder in einem Karussell gedreht werden, machen die Kontaktkräfte der starren Körper, die Ihren Körper halten, Ihre Bewegung nicht trägheitslos.

Ich habe sie auch hier beantwortet und hier eine interessante Frage gestellt .

Mehr als die vorherigen Antworten möchte ich betonen

• aus physikalischer Sicht: bezugnehmend etwa auf W. Rindler: " Wir sollten streng genommen zwischen einem Inertialsystem und einem Inertialkoordinatensystem unterscheiden [...] " , zusammen mit
• eine explizite operative Präsentation (keine Annahme, „ein freies Teilchen zu erkennen, wenn man eines sieht“, oder eine „Blackbox als Beschleunigungsmesser zu akzeptieren, nur weil es so auf dem Aufkleber steht“, sondern eher eine geometrische Grundlage für die Definition solcher Elemente angibt), in Bezug auf die wichtigsten operativen Begriffe von Einsteins anwendbaren Gedankenexperimenten (kurz: dass verschiedene Teilnehmer einander beobachten und erkennen können und dass jeder die Reihenfolge oder Koinzidenz seiner eigenen Beobachtungen beurteilen kann).

Der Aspekt bei der Charakterisierung eines "Trägheitsrahmens", auf den ich zunächst (beispielhaft) eingehen möchte, kommt in der Fortsetzung von Rindlers Aussage zum Ausdruck: " Ein Trägheitsrahmen ist einfach eine unendliche Menge von Punktteilchen, die relativ im Raum stillsitzen zueinander. "

Eine entsprechende operative Anforderung, die als äquivalent zu dem angesehen werden kann, was mit " still nebeneinander sitzen " gemeint ist, oder zumindest notwendig, wäre die für beliebige drei unterschiedliche " Punktteilchen "-Elemente (${\textbf A}$,${\textbf B}$und${\textbf Q}$) desselben Trägheitsrahmens$S$

(1)
Teilnehmer${\textbf A}$findet für jedes seiner Signalzeichen${\textbf A}_{\mathscr X}$das
${\textbf A}$'s Hinweis darauf, das gesehen zu haben${\textbf Q}$gesehen${\textbf A}$'s Zeichen gesehen zu haben${\textbf B}$gesehen${\textbf A}$'s Angabe${\textbf A}_{\mathscr X}$
fällt zusammen
${\textbf A}$'s Hinweis darauf, das gesehen zu haben${\textbf B}$gesehen${\textbf A}$'s Zeichen gesehen zu haben${\textbf Q}$gesehen${\textbf A}$'s Angabe${\textbf A}_{\mathscr X}$.

Ein weiteres wichtiges Anforderungsmerkmal eines "Trägheitsrahmens" besteht darin, dass er Glieder haben sollte, die " geradlinig " zueinander sind.

Eine entsprechende operationelle Anforderung (die unerwartet kompliziert erscheinen mag, aber zumindest Begriffe und Operationen verwendet, wie sie bereits in (1) verwendet wurden) wäre die für zwei beliebige unterschiedliche " Punktteilchen "-Elemente (${\textbf A}$und${\textbf B}$) desselben Trägheitsrahmens$S$

(2)
es existiert (mindestens) ein weiteres Mitglied${\textbf J}$des Trägheitsrahmens$S$so dass
es ein Mitglied gibt${\textbf K}$des Trägheitsrahmens$S$(nicht unbedingt verschieden von${\textbf J}$) wobei

• Teilnehmer${\textbf A}$findet für jedes seiner Signalzeichen${\textbf A}_{\mathscr X}$das
  ${\textbf A}$'s Hinweis darauf, das gesehen zu haben${\textbf J}$gesehen${\textbf A}$'s Zeichen gesehen zu haben${\textbf K}$gesehen${\textbf A}$'s Angabe${\textbf A}_{\mathscr X}$
  fällt zusammen
  ${\textbf A}$'s Hinweis darauf, das gesehen zu haben${\textbf B}$gesehen${\textbf A}$'s Angabe${\textbf A}_{\mathscr X}$, und

• Teilnehmer${\textbf B}$findet für jedes seiner Signalzeichen${\textbf B}_{\mathscr Y}$das
  ${\textbf B}$'s Hinweis darauf, das gesehen zu haben${\textbf J}$gesehen${\textbf B}$'s Zeichen gesehen zu haben${\textbf K}$gesehen${\textbf B}$'s Angabe${\textbf B}_{\mathscr Y}$
  fällt zusammen
  ${\textbf B}$'s Hinweis darauf, das gesehen zu haben${\textbf A}$gesehen${\textbf B}$'s Angabe${\textbf B}_{\mathscr Y}$.

Die Anforderungen (1) und (2) wirken sich auch auf die Charakterisierung von Gliedern desselben Trägheitsrahmens aus$S$als „ nicht umeinander wirbeln “. Natürlich können verschiedene Möglichkeiten zur Stärkung dieser Anforderungen in Betracht gezogen werden.

Die (scheinbar) letzte Forderung ergibt sich aus der Betrachtung von Beziehungen zwischen verschiedenen Inertialsystemen: ($S$und$F$): die Anforderungen an die Charakterisierung eines bestimmten Trägheitsrahmens ($S$, mit Mitgliedern${\textbf A}$,${\textbf B}$und andere) sollte stark/spezifisch genug sein, so dass

(*) wenn ein anderer Teilnehmer,${\textbf V}$, der kein Mitglied des Trägheitsrahmens ist$S$(aufgrund fehlender Anforderungen wie (1) oder (2) bzgl.${\textbf A}$,${\textbf B}$oder andere Mitglieder von$S$), der aber „bestimmte Mitglieder von traf$S$im Vorübergehen"
wird (trotzdem) als Mitglied eines Inertialsystems identifiziert$F$außer$S$(wegen${\textbf V}$Erfüllung aller anwendbaren Anforderungen bzgl. andere geeignete Teilnehmer als${\textbf A}$oder${\textbf B}$usw.)
dann${\textbf V}$"bewegte sich gleichmäßig" (gerade und mit "konstanter Geschwindigkeit") unter den Mitgliedern von$S$;
und alle anderen Mitglieder des Trägheitsrahmens$F$ebenso mit dem gleichen "Geschwindigkeits"-Wert wie${\textbf V}$.
(Ein relevanter Begriff von "Parallelität" oder "die gleiche Bewegungsrichtung wie${\textbf V}$" entsteht erst im Zuge der Erfüllung der genannten Voraussetzung.)

Dies bezieht sich natürlich auf einen Begriff von "Geschwindigkeits"-Werten, für die hier noch keine operative Definition gegeben wurde. Es sollte jedoch nicht überraschen, dass die relationale Anforderung (*) nicht erfüllt werden kann, wenn nur Gruppen von Teilnehmern betrachtet werden, die alle im Sinne von Anforderung (2) „ direkt “ zueinander sind. Dies erfordert die Berücksichtigung von Gruppen von Teilnehmern, deren geometrische Beziehungen sich "in mehr als einer Dimension erstrecken".

Eine hinreichende Anforderung (oder vielmehr eine weitere Charakterisierung eines "Inertialsystems", zu dem eine entsprechende operationale Definition konstruiert werden kann, damit die relationale Anforderung (*) schließlich erfüllt werden kann) ist zufälligerweise

(3)
dass die Glieder des gleichen Trägheitsrahmens sind$S$sind „ flach “ zueinander. (Eine entsprechende operationale Definition zu beschreiben ist umständlich.)

Dementsprechend ist es nicht schwer, Beispiele für Ereignisreihen mit „Geometrie“ ( kausale Beziehungen ) so zu konstruieren, dass sie überhaupt keine Reihe von zeitähnlichen Weltlinien (eine für jeden Teilnehmer) enthalten würden, die strikt „ still zueinander sitzen “. " und " flach zueinander "; aber nur in gewisser Annäherung.