Allgemeinere Invarianz des Wirkungsfunktionals

Lassen$\phi_s:P\rightarrow P$sei der induzierte Diffeomorphismus im Raum der Wege. Sie gehen davon aus, dass die Null gesetzt ist$Zero(dS)$fällt mit der Nullmenge zusammen$Zero(\phi_s^* dS)$. Das impliziert das noch nicht einmal$dS = \phi_s^* dS$, geschweige denn$S = \phi_s^* S$.

Ein Beispiel wäre ein freies Teilchen an$\mathbf{R}$. Lassen$S=\int \dot{x}(t)^2dt$und betrachten Sie die Skalierungstransformation$x\rightarrow\exp(s) x$. Dann sind die kritischen Punkte Geraden$x(t)=x_0+v_0t$und die Transformation bewahrt sie eindeutig. Andererseits wird die Aktion multipliziert mit$\exp(2s)$.

Um die Unterschiede zwischen zu verstehen$Zero(dS)=Zero(\phi_s^* dS)$und$dS=\phi_s^* dS$, betrachten Sie den Graphen von$dS$in$T^*P$. Die erste Bedingung legt nur die Schnittpunkte mit dem Nullabschnitt fest, während die zweite Bedingung den Graphen selbst festlegt. Ganz klar, im$C^\infty$Welt, deren Verhalten Sie anpassen können$dS$weg von den Schnittpunkten, so weit Sie möchten. In der holomorphen Welt würde es genügen, sich die Taylor-Entwicklungen um die kritischen Punkte herum zu merken.

Endlich,$dS=\phi_s^*dS$bedeutet das nicht$S=\phi_s^*S$: Das weißt du nur$S=\phi_s^*S + c(s)$, wo$c$ist eine lokal konstante Funktion on$P$die bei verschwindet$s=0$.

Erstens reicht es aus, dass die Variation der Aktion eine totale Divergenz ist (im allgemeineren Fall der Feldtheorie), dh im Fall der Mechanik - eine Zeitableitung. Das klassische Beispiel wäre Boost-Symmetrie – Übergänge zwischen Referenzrahmen. Einziges Problem, es passt nicht ganz zu Ihrem Framework, da es explizit von der Zeitkoordinate abhängt

Zweitens reicht es aus, dass dies auf der Schale gilt, dh wenn die Bewegungsgleichungen erfüllt sind. Im Fall der Feldtheorie ist das klassische Beispiel dafür die Supersymmetrie. Wahrscheinlich existiert ein mechanisches (1-dimensionales) Analogon. Dieses Beispiel lebt jedoch in der etwas allgemeineren Welt der Supermannigfaltigkeiten. Natürlich ist es möglich, künstliche Beispiele dieser Art zu konstruieren, die genau zu Ihrer Umgebung passen - Sie können die Aktionsfunktion fast beliebig anpassen, abgesehen von kritischen Punkten (achten Sie nur darauf, keine neuen kritischen Punkte zu erzeugen).

Drittens, wie die obigen Beispiele zeigen, ist die Aussage "normalerweise, wenn man eine kontinuierliche Symmetrie einer Theorie diskutiert, meint man eine einparametrige Gruppe von Diffeomorphismen des Konfigurationsraums ..." nicht korrekt. Stattdessen können wir jede zeit-lokale Transformation im Geschichtsraum betrachten. Übrigens ist diese gesamte Diskussion für diskrete Symmetrien gleichermaßen relevant. Auch denkt man oft an Multiparametergruppen, aber das ist schon Semantik

Ich glaube nicht, dass Ihre Hamilton-Analogie richtig ist, da meine obigen Beispiele keine topologischen Hindernisse beinhalten. Übrigens, ein Beispiel für einen symplektischen, aber nicht hamiltonschen Fluss ist die zeitliche Entwicklung eines Teilchens auf einem Kreis unter dem Einfluss einer konstanten Kraft, die es z. B. überall im Uhrzeigersinn antreibt, was ein System ohne Lagrange-Formulierung ist