Was versteht man unter einer Feldtheorie?

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1. Die Antwort auf diese Frage ist nein. Zumindest wenn man die Frage rein formal nimmt. Nur Theorien wie die klassische Feldtheorie, die Quantenfeldtheorie und die Kontinuumsmechanik sind Feldtheorien (man erkennt sie im Allgemeinen daran, dass sie kontinuierliche Freiheitsgrade haben; außerdem haben sie normalerweise das Wort Feld im Titel :-)). Aber physisch können viele verschiedene Theorien äquivalent sein oder Annäherungen an eine andere Theorie sein, also gibt es viele Verbindungen zwischen ihnen (dies ist der Punkt, den ich veranschaulichen wollte, aber vielleicht habe ich ihn überbetont).

2. Der Unterschied zwischen QM und QFT ist im Wesentlichen derselbe wie zwischen klassischer Mechanik und klassischer Feldtheorie. In der Mechanik haben Sie nur wenige Teilchen (oder allgemeiner eine kleine Anzahl von Freiheitsgraden), während Felder eine unendliche Anzahl von Freiheitsgraden haben. Natürlich sind Feldtheorien viel schwieriger als die entsprechende Mechanik. Aber es gibt einen Zusammenhang, den ich bereits erwähnt habe: Sie können sehen, was passiert, wenn Sie die Anzahl der Teilchen beliebig groß werden lassen. Dieses System verhält sich dann im Wesentlichen wie eine Feldtheorie. In gewissem Sinne können wir also sagen, dass die Feldtheorie eine große ist$N$(Anzahl der Freiheitsgrade) Grenze der entsprechenden mechanischen Theorie. Natürlich ist diese Ansicht sehr vereinfacht, aber ich möchte hier nicht zu technisch werden.

Die Feldtheorie ist eine Theorie, die Felder untersucht. Was ist nun ein Feld? Ich nehme an, dass jeder mit zumindest einigen davon vertraut sein sollte, zB Gravitations- oder elektromagnetisches (EM) Feld.

Wie erkennen Sie nun, dass das Objekt ein Feld ist? Nun, im Wesentlichen schaut man sich an, wie kompliziert das Objekt ist. Genauer gesagt: Hauptuntersuchungsobjekte der klassischen Mechanik sind Punktteilchen. Alles, was Sie brauchen, um sie im Auge zu behalten, sind nur wenige Parameter (Position, Geschwindigkeit). Betrachten Sie andererseits das EM-Feld: Sie müssen die Daten (elektrischer und magnetischer Feldvektor) in jedem Punkt des Universums verfolgen, also gibt es unendlich viele Parameter dieses Systems! Das meinte ich damit, dass ein System groß ist: Sie brauchen viele Daten, um es zu beschreiben.

Nun könnte es scheinen, dass etwas nicht stimmt. Man braucht viele Daten, um reale Objekte zu beschreiben (man denke nur daran, wie viele Atome in einem Sandkorn stecken). Sind gewöhnliche Objekte also Felder? Ja und nein, beide Antworten sind je nach Standpunkt richtig. Wenn Sie ein massives Objekt als im Wesentlichen durch wenige Parameter (wie Schwerpunktgeschwindigkeit und Trägheitsmoment) beschrieben betrachten und alle Informationen über Atome vollständig ignorieren, dann ist es eindeutig kein Feld. Trotzdem wackeln Atome auf mikroskopischer Ebene herum und sogar das Sandkorn ist wirklich ein so kompliziertes Objekt wie jedes EM-Feld (ganz zu schweigen davon, dass Atome selbst EM-Felder erzeugen), also ist es sicherlich richtig, sie so zu nennen.

Lassen Sie uns nun sehen, wohin uns unsere Definition des Feldes führt. Lassen Sie uns eine Weile über Quantenmechanik sprechen. Was ist mit zwei Quantenteilchen? Ist es ein Feld? Nun, eindeutig nicht. Was ist mit drei? Immer noch nicht. Und was ist, wenn wir weiterhin Partikel hinzufügen, so dass es eine riesige Anzahl von ihnen gibt? Nun, es stellt sich heraus, dass wir ein Quantenfeld bekommen! Dies ist genau die Entsprechung zwischen z. B. Photonen und Quanten-EM-Feld. Sie können entweder das EM-Feld so betrachten, dass es an jedem Punkt wie im klassischen Fall durch einen Vektor des elektrischen und magnetischen Felds beschrieben wird, oder Sie können stattdessen Ihre Daten neu organisieren, damit Sie verfolgen können, welche Art von Photonen Sie haben. Es ist sinnvoll, beide Bilder im Kopf zu haben und das passendere zu verwenden.

Es gibt auch ein Thema der Kontinuumsmechanik. Dort können Sie auch mit Teilchen beginnen (die Atome in einem realen Objekt beschreiben, z. B. Wasser), und weil es so viele davon gibt, können Sie Ihre Daten erneut reorganisieren und das Objekt als im Wesentlichen kontinuierlich betrachten (was reale Objekte sicherlich sind, es sei denn Sie betrachten sie mit einem Mikroskop) und beschreiben sie stattdessen durch Parameter wie Druck und Temperatur an jedem Punkt.

Zusammenfassend: Bei der Feldtheorie geht es im Wesentlichen um den Umgang mit großen Objekten. Wenn wir uns jedoch das Problem mit dem Partikelhut ansehen, sagen wir normalerweise nicht, dass es sich um ein Feld handelt. Wenn wir zum Beispiel reale Objekte als aus Atomen bestehend beschreiben, sprechen wir normalerweise von statistischer Mechanik oder Physik der kondensierten Materie. Nur wenn wir uns in den Bereich der Kontinuumsmechanik begeben, sagen wir, dass es Felder gibt.

Zu diesem Thema gäbe es noch viel mehr zu sagen, aber dieser Beitrag ist schon zu lang geworden, also höre ich hier auf. Wenn Sie irgendwelche Fragen haben, fragen Sie weg!

Eine Feldtheorie ist eine physikalische Beschreibung der Realität, in der die grundlegenden Entitäten Felder sind, dh Objekte, die keinen bestimmten räumlichen Ort, aber einen bestimmten Wert oder eine bestimmte Intensität an jedem Ort haben.

Beispiele für Felder sind die Temperatur in einem Raum, für jeden Ort im Raum kann eine Temperatur angegeben werden, obwohl die Temperatur in den meisten Fällen ziemlich einheitlich ist, es sei denn, Sie haben beispielsweise gerade eine Heizung eingeschaltet, dann gibt es eine Temperatur Gradient.

Das Gravitationsfeld in der Newtonschen Mechanik ist eine Beschreibung dessen, was die Anziehungskraft auf ein Testteilchen ist, wie sie von einer großen Masse erzeugt wird. Dieses Feld ist vektorwertig.

Ein weiteres Beispiel für ein vektorwertiges Feld ist das Geschwindigkeitsfeld in einer Flüssigkeit. Sie gibt die Geschwindigkeit jedes infinitesimalen Flüssigkeitsstücks zu einem bestimmten Zeitpunkt t an.

Das elektromagnetische Feld wird durch die Angabe des Wertes eines antisymmetrischen Rang-2-Tensors an jedem Ort in der Raumzeit angegeben.

Das Neue an der Quantenmechanik gegenüber der klassischen Mechanik ist, dass sie die Diskretion der Wirkung einbeziehen muss. Das nennen wir Quantisierung. Insbesondere bedeutet dies, dass Energie unter bestimmten Umständen quantisiert wird (nämlich aufgrund einiger Randbedingungen oder Potentiale, die die Menge möglicher Zustände begrenzen). In der klassischen Mechanik haben Systeme typischerweise eine endliche Menge an Freiheitsgraden. Beispielsweise hat der harmonische 1D-Oszillator zwei Freiheitsgrade, die Position und den Impuls des Oszillators. In der Quantenmechanik wird die Energie des Oszillators (die eine Kombination aus Ort und Impuls ist) quantisiert.

Die Quantenfeldtheorie geht noch einen Schritt weiter, anstatt Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden zu quantisieren, befasst sie sich mit Systemen mit unendlich vielen, also Feldern. Die Art und Weise, wie nicht interagierende Felder quantisiert werden, erinnert an die Art und Weise, wie der harmonische Oszillator quantisiert wird, außer dass Sie jetzt eine unendliche Anzahl von Oszillatoren haben. Dies bringt viele technische Komplikationen mit sich.

Eine Nichtfeldtheorie ist eine Theorie, bei der es effektiv eine feste Anzahl von Punktteilchen oder starren Körpern gibt. Eine Feldtheorie ist eine Theorie, bei der es so viele Teilchen oder Körper gibt, dass sie eine Dichte oder Verteilung bilden.

Lassen Sie mich das an einem einfachen Beispiel veranschaulichen. Nehmen Sie ein gegebenes elektrisches Feld in einem eindimensionalen Raum. Stellen Sie sich zwei Punktladungen vor. Um die Bewegung dieser beiden Ladungen zu bestimmen, berechnen wir die Kraft aus dem elektrischen Feld und der Kraft zwischen den beiden Ladungen. Die Energie ist beispielsweise die Summe der Energien der Teilchen plus der Summe der Wechselwirkungsenergien zwischen den Teilchen.

Stellen Sie sich dasselbe vor, aber jetzt mit einer Milliarde Gebühren. Anstatt die Ladungen als Punkte zu behandeln, behandeln wir sie als eine Einheit, die Ladungsdichte. Die Energie ist das Integral der Energie an jedem Punkt aufgrund der dortigen Ladung plus dem (2-dimensionalen) Integral über die Wechselwirkungsenergie zwischen der Ladungsdichte an$x$und bei$y$.

Für Nicht-Feldtheorien sind die interessierenden Objekte also diskret, während in Feldtheorien die interessierenden Objekte Dichten oder wie wir sie Felder nennen, sind.

Ein besonderer Punkt von Interesse in diesem Unterschied. Für ein diskretes Feld sind die Teilchen fixiert. Du wirst es immer haben$n$Teilchen mit jeweils fester Ladung. Damit sich die Partikelzahl dynamisch ändert, müssen Sie einen Mechanismus einführen, damit sie sich ändert.

Betrachtet man das Beispiel der Leitungsladung, so ist bei einem elektrischen Feld die Ladungsdichte in den meisten Regionen Null, dh die negativen und positiven Ladungen heben sich auf, aber an einer Stelle gibt es eine positive Nettoladung. Wenn Sie das elektrische Feld ändern, erhalten Sie möglicherweise eine Gesamtladung von fast Null, aber zwei Bereiche, in denen die Ladung positiv ist, und eine, in der die Ladung negativ ist. Die Gesamtladung ist also dieselbe, aber es gibt eine größere positive Gesamtladung und eine größere negative Gesamtladung. Dies ist effektiv Teilchenerzeugung, die Sie in der Feldtheorie kostenlos erhalten.