Zusammenhang zwischen (Super-)Integrierbarkeit und geschlossenen Bahnen

Inspiriert von dieser neueren Frage möchte ich aus einer allgemeineren und mathematischeren Perspektive verstehen, warum geschlossene Bahnen nur für den Kepler gefunden werden ( v ( R ) ∼ 1 / R ) oder harmonisch ( v ( R ) ∼ R 2 ) mögliche Probleme, wie aus dem Satz von Bertrand folgt .

Es gibt zwei Aspekte, die diese Probleme besonders machen, von denen ich vermute, dass sie mit der Eigenschaft der geschlossenen Umlaufbahn zusammenhängen. Erstens sind beide Probleme superintegrierbar . Diese Eigenschaft passt intuitiv gut zu der Idee, dass sich Umlaufbahnen im Phasenraum "so schnell wie möglich" schließen sollten, was impliziert, dass sich Umlaufbahnen im Realraum nach einer einzigen Umdrehung schließen. Zweitens besitzt jedes Problem eine zusätzliche "unerwartete" Erhaltungsgröße aufgrund einer größeren Symmetrie des Problems als die offensichtliche Ö ( 3 ) . Für das Kepler-Problem ist dies der Runge-Lenz-Vektor , verwandt mit dem Ö ( 4 ) Symmetrie des Hamiltonoperators. Unterdessen erhält der harmonische Oszillator Hamiltonian den Fradkin-Tensor:

F ich J = P ich P J M ω 2 + M ω 2 Q ich Q J ,
was mit einem zusammenhängt S U ( 3 ) Symmetrie. Tatsächlich existieren diese Symmetrien und entsprechende Erhaltungsgrößen für jedes Zentralfeldproblem ( DM Fradkin, Prog. Theor. Phys. 37 (1967), S. 798 ). Allerdings nehmen die Erhaltungsgrößen nur für das Kepler- und harmonische Problem eine "schöne" Form an, die es auch erlaubt, die entsprechenden Quantenprobleme allein durch Symmetrie-Argumente exakt zu diagonalisieren.

Diese Überlegungen führen zu folgender Frage:

Welche spezifischen physikalischen/mathematischen Merkmale haben diese beiden Probleme gemeinsam, die ihnen die Eigenschaft geschlossener Umlaufbahnen verleihen? Ist diese Funktion für das Quanten-Pendant relevant?

Aus der Erhaltung des Runge-Lenz-Vektors kann man Kepler-Bahnen erhalten.
@Trimok Nun, dies kann nicht die vollständige Erklärung sein, da alle zentralen potenziellen Probleme einen Runge-Lenz-Vektor besitzen, wie von Fradkin gezeigt (siehe Link in meiner Frage). Tatsächlich weist Fradkin darauf hin, dass der verallgemeinerte Runge-Lenz-Vektor und die Fradkin-Tensoren tatsächlich mit der Tatsache verbunden sind, dass Umlaufbahnen auf eine Ebene beschränkt werden können. Im Allgemeinen sind diese Generatoren jedoch durch transzendente Funktionen der Koordinaten und Impulse gegeben.
Neben integrierbaren Systemen zeigt das KAM-Theorem, dass dynamische Systeme, die "nahe genug" an einer vollständigen Integration sind, stabile quasi-periodische Umlaufbahnen haben: Scholarpedia.org/article/Kolmogorov-Arnold-Moser_theory
Denken Sie daran, dass sich diese "Umlaufbahnen" im Phasenraum befinden. Zentrale potentielle Probleme können geschlossene Phasenraumbahnen haben, ohne Bahnen zu haben, die sich nach einer einzigen Umdrehung im realen Raum schließen.
Ich frage mich, ob die Spezifität des Kepler-/Harmonischen-Potentials nicht eine Gruppe mit hoher dynamischer Symmetrie ist S Ö ( 5 , 1 ) = S U ( 3 , 1 ) . Es gibt eine Diskussion in Robert Gilmore, Lie Groups, Physics and Geometry, Cambridge, Kapitel 14, über Wasserstoffatome (und SO(4), SO(4,1), SO(4,2), SO(5,1) ). Interessanterweise gibt es nach Abschwächung der Potenzgesetz-Wechselwirkung beispielsweise mit abgeschirmten Potentialen geschlossene Bahnen für geeignete Drehimpulswerte, siehe Lit. .
@Trimok Brilliant, danke für den Hinweis. Sieht so aus, als könnte dies die Antwort enthalten, nach der ich gesucht habe.

Antworten (2)

Eine sehr klare Antwort auf den Zusammenhang zwischen der Eigenschaft, dass alle beschränkten Bahnen geschlossen sind, und der Superintegrierbarkeit kann aus dem Buch von Landau (Mechanik) und Arnold (Mathematische Methoden der Klassischen Mechanik) abgelesen werden. Tatsächlich gibt Landau genaue Vorschriften für die Konstruktion von Superintegralen, wenn die Umlaufbahnen geschlossen sind. Die wichtigsten Zutaten, die zum Verständnis des Problems erforderlich sind, sind die Liouville-Tori, die Bedingung, dass die Bahn auf dem Torus geschlossen ist, und eine klare Unterscheidung zwischen lokalen und globalen Bewegungsintegralen.

Welche Seiten in Landau-Lifshitz und Arnold?
Letztes Kapitel des Landau-Lifshitz-Buches, in dem die Eigenschaften mehrdimensionaler Bewegung aus der Sicht von Aktionswinkelvariablen diskutiert werden.
Landau-Lifshitz im letzten Absatz § 52 diskutieren nur vollständig trennbare Systeme.

Das stimmt nicht, dass geschlossene Bahnen nur für harmonisches und keplersches Potential existieren. Dies gilt in der Tat, wenn wir bei Zentralpotentialen bleiben (siehe Satz von Bertrand). Ansonsten gibt es viele weitere Beispiele. Siehe zB "Über höhere Symmetrien in der Quantenmechanik", Fris, Mandrosov, Smorodinsky, Uhlir und Winternitz.

v ( X , j ) = A ( X 2 + j 2 ) + B X 2 + C j 2 wird allen seinen endlichen Trajektorien geschlossene Kurven vom Grad 4 geben B = C = 0 sie werden zu Ellipsen degenerieren.

Zusammenhang zwischen (Super-)Integrierbarkeit und geschlossenen Bahnen
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