Satz von Noether für weitere interessante Transformationen der Zeitkoordinate

Question

Satz von Noether für weitere interessante Transformationen der Zeitkoordinate

gj255

Laut Wikipedia besagt der Satz von Noether (für die Mechanik eines Punktteilchens), dass die folgende Transformation eine Symmetrie der Lagrange-Funktion ist

T \to T + ϵ T

$t \to t + \epsilon T$

Q \to Q + ϵ Q

$q \to q + \epsilon Q$

Dann bleibt folgende Größe erhalten

(\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} \dot{Q} - L) T - \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} Q

$\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\dot{q} - L \right) T - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} Q$

An diesem Punkt ziehen wir fast immer beides in Betracht $T=1$ oder $T=0$ --- Wir könnten eine interessante Transformation der räumlichen Koordinate in Betracht ziehen, wie z $\vec{Q} = \vec{n} \times \vec{q}$ für räumliche Drehungen, aber wir betrachten selten eine interessante Transformation der Zeit.

Angenommen, unser Lagrange-Operator ist gegeben durch

L = \frac{1}{2} M {\dot{Q}}^{2}

$L = \frac{1}{2}m\dot{q}^2$

dh ein einfacher kinetischer Lagrangian. Dann können wir die Transformation nicht machen

T \to T^{'} = T + ϵ T = (1 + ϵ) T

$t \to t' = t + \epsilon t = (1+\epsilon)t$

Q \to Q^{'} = Q + ϵ Q = (1 + ϵ) Q

$q \to q' = q + \epsilon q = (1+\epsilon)q$

dh $T=t$ Und $Q=q$ . Dies ist das einfachste Beispiel für eine Zeittransformation, die mir eingefallen ist und die nicht trivial war $T=1$ oder $T=0$ . Dann würde ich argumentieren, dass unser Lagrangian unter dieser Transformation invariant ist, da

\frac{D Q^{'}}{D T^{'}} = \frac{D Q^{'}}{D Q} \frac{D Q}{D T} \frac{D T}{D T^{'}} = (1 + ϵ) \frac{D Q}{D T} (1 + ϵ)^{- 1} = \frac{D Q}{D T}

$\frac{d q'}{d t'} = \frac{d q'}{d q}\frac{d q}{d t}\frac{d t}{d t'} = (1+\epsilon) \frac{dq}{dt}(1+\epsilon)^{-1} = \frac{dq}{dt}$

und so haben wir in den neuen Koordinaten dieselbe Lagrange-Funktion. Dann aus dem Ausdruck oben in diesem Beitrag die Menge

(\frac{1}{2} M {\dot{Q}}^{2}) T - (M \dot{Q}) Q

$\left(\frac{1}{2}m\dot{q}^2\right)t - (m\dot{q})q$

sollte konserviert werden. Wir können jedoch trivialerweise zeigen, dass dies nicht der Fall ist.

Wo ist mein Fehler?

Kyle Kanos

Zugehörig von OP: physical.stackexchange.com/q/91808

Emilio Pisanty

Die Herleitung in Wikipedia gilt in diesem Fall nicht. Sie sollten die Ableitung in Bezug auf die Skalierung berechnen

u = 1 + ϵ

$u=1+\epsilon$ der Aktion

ICH (u) = \int_{T_{1}}^{T_{2}} L (u Q (u T), \dot{Q} (u T), u T) u D T

$I(u)=\int_{t_1}^{t_2}L(uq(ut),\dot q(ut),ut)u\,\text dt$ und versuchen Sie, den Integranden auf eine totale Ableitung zu reduzieren. (Eine nützliche davon ist

\frac{d}{d t} (t L)

$\frac{d}{dt}(tL)$ .) Es ist auch wichtig zu beachten, dass dies sogar für ein freies Teilchen gilt

I^{'} (u) \neq 0

$I'(u)\neq 0$ Wenn

u = 1

$u=1$ .

Emilio Pisanty

Ich bekomme die Gleichung

\frac{D ICH}{D u} (1) = {[T L + Q \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}}]}_{T_{1}}^{T_{2}} - \int_{T_{1}}^{T_{2}} \dot{Q} \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} D T,

$\frac{dI}{du}(1)=\left[tL+q\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2} \dot q\frac{\partial L}{\partial \dot q}\text dt,$ aber das ist ungefähr so weit, wie ich sehen kann.

QMechaniker

Verschiedene Transformationen zum Beweis der Energieerhaltung über den Satz von Noether werden in meiner Phys.SE-Antwort hier besprochen .

Antworten (1)

Satz von Noether für weitere interessante Transformationen der Zeitkoordinate

Die Herleitung in Wikipedia gilt in diesem Fall nicht. Sie sollten die Ableitung in Bezug auf die Skalierung berechnen $u=1+\epsilon$ der Aktion $ICH (u) = \int_{T_{1}}^{T_{2}} L (u Q (u T), \dot{Q} (u T), u T) u D T$ $I(u)=\int_{t_1}^{t_2}L(uq(ut),\dot q(ut),ut)u\,\text dt$ und versuchen Sie, den Integranden auf eine totale Ableitung zu reduzieren. (Eine nützliche davon ist $\frac{d}{dt}(tL)$ .) Es ist auch wichtig zu beachten, dass dies sogar für ein freies Teilchen gilt $I'(u)\neq 0$ Wenn $u=1$ .
Ich bekomme die Gleichung $\frac{D ICH}{D u} (1) = {[T L + Q \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}}]}_{T_{1}}^{T_{2}} - \int_{T_{1}}^{T_{2}} \dot{Q} \frac{\partial L}{\partial \dot{Q}} D T,$ $\frac{dI}{du}(1)=\left[tL+q\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2} \dot q\frac{\partial L}{\partial \dot q}\text dt,$ aber das ist ungefähr so weit, wie ich sehen kann.
Verschiedene Transformationen zum Beweis der Energieerhaltung über den Satz von Noether werden in meiner Phys.SE-Antwort hier besprochen .

Benutzer23660 · Answer 1

Der Satz von Noether erfordert, dass die Aktion unter den Transformationen und nicht unter der Lagrange-Funktion unveränderlich ist. Für die Transformationen, die das Integrationsmaß ändern $dt$ Dies unterscheidet sich von der invarianten Lagrange-Funktion.

Wollen wir die Invarianz der Handlung fordern

ICH = \int \frac{M \dot{Q}}{2} D T

$I = \int \frac{m \dot{q}}{2}\, dt$ Unter der Transformation, die eine Neuskalierung der Zeit beinhaltet, wäre die korrekte Transformation für diesen Fall

T \to T^{'} = T + ϵ T, Q \to Q^{'} = Q + ϵ \frac{Q}{2},

$t\to t' = t+\epsilon t,\qquad q\to q' = q+\epsilon \frac q2,$ (Man beachte den Faktor

1 / 2

$1/2$ für die

q

$q$ , da wir nur einen kompensieren müssen

(1 + ϵ)

$(1+\epsilon)$ Multiplikator in der Aktion durch die Neuskalierung von

q

$q$ ).

Unter Verwendung der Wikipedia-Definition für die Erhaltungsgröße des Noethers erhalten wir:

A = \frac{M {\dot{Q}}^{2}}{2} T - \frac{M \dot{Q} Q}{2} .

$A = \frac{m \dot{q}^2}2 t - \frac{m \dot{q} q}{2}.$ Es ist offensichtlich auf Bewegungsgleichungen erhalten

\ddot{q} = 0

$\ddot{q}=0$ .

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Kyle Kanos

Emilio Pisanty

Emilio Pisanty

QMechaniker

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Benutzer23660

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