Wie kann die Zeitdilatation symmetrisch sein?

Die Antwort darauf ist, dass unsere Zwillinge,$A$und$B$, messen nicht dasselbe auf ihren Uhren. Da sie nicht dasselbe messen, ist es nicht paradox, dass jeder Zwilling denkt, dass seine Uhr schneller läuft.

Ich werde versuchen, ein intuitives Gefühl dafür zu vermitteln, was vor sich geht, und dazu eine Analogie verwenden. Das wird zunächst etwas seltsam erscheinen, aber ertragen Sie mich und ich hoffe, dass alles klar wird.

Angenommen, ich, Albert und meine beiden Freunde Bill und Charlie sitzen alle in Autos, die anfahren$1$Meter pro Sekunde. Ich fahre genau nach Norden, Bill fährt schräg$\theta$rechts von mir und Charlie fährt schräg$\theta$zu meiner Linken:

Überlegen Sie, wie schnell wir nach Norden reisen, dh die Komponente unserer Geschwindigkeit in Richtung Norden. Ich reise nach Norden um$1$m/s, während meine Freunde in Richtung Norden reisen$\cos\theta$m/s, also reisen meine Freunde langsamer nach Norden als ich.

Nun stellt sich heraus, dass unsere Kompasse die seltsame Eigenschaft haben, dass sie Norden als die Richtung anzeigen, in die unsere Autos fahren. Das bedeutet, dass sowohl Bill als auch Charlie sich selbst als Reisende nach Norden betrachten. Betrachten wir die Situation aus Bills Perspektive:

Bill hält sich für unterwegs nach Norden$1$m/s, während ich aus seiner Perspektive langsamer nach Norden fahre, bei$\cos(\theta)$, und Charlie fährt noch langsamer nach Norden, um$\cos(2\theta)$Frau. Und der Vollständigkeit halber zeigen wir Charlies Ansicht:

Wie Bill betrachtet sich Charlie als Reisender nach Norden$1$m/s, während er denkt, dass ich langsamer nach Norden reise, bei$\cos(\theta)$, und Bill, um noch langsamer nach Norden zu reisen, um$\cos(2\theta)$Frau.

Also denken wir alle drei, dass sie schneller nach Norden reisen als die anderen beiden. Lassen Sie mich dies betonen, weil dies der Kernpunkt meiner Argumentation ist:

Jeder denkt, dass er schneller nach Norden reist als alle anderen

Das ist jetzt keine Raketenwissenschaft. Der Grund, warum wir alle denken, dass wir am schnellsten nach Norden reisen, liegt darin, dass wir unterschiedliche Vorstellungen davon haben, in welcher Richtung Norden liegt. Aber genau das passiert in der speziellen Relativitätstheorie, wenn wir die Richtung Norden in unseren Diagrammen durch die Zeitrichtung ersetzen . Und der Grund, warum jeder denkt, dass die Zeit aller anderen verlängert wird, liegt darin, dass wir uns alle über die Richtung der Zeitachse nicht einig sind.

In der speziellen Relativitätstheorie verwenden wir normalerweise Raumzeitdiagramme mit vertikaler Zeitachse und der$x$Achse horizontal (wir lassen die$y$und$z$Achsen, weil es schwierig ist, 4D-Grafiken zu zeichnen). Ich steige aus meinem Auto, also bewege ich mich nicht, dann sieht es, wenn ich mein Raumzeitdiagramm zeichne, so aus:

Obwohl ich nicht mehr im Auto sitze, bewege ich mich immer noch auf der Zeitachse nach oben, weil ich mich natürlich mit einer Sekunde pro Sekunde durch die Zeit bewege. Wir haben also ein Diagramm ähnlich dem, mit dem ich begonnen habe, außer dass die vertikale Richtung jetzt die Zeit ist, nicht die Nordrichtung , und ich bewege mich in die Zeitrichtung, nicht in die Nordrichtung.

Bill und Charlie bewegen sich von mir weg$x$Achse bei Geschwindigkeiten$+v$und$-v$genau wie die Zwillinge in der Frage:

Aber, und das ist der entscheidende Punkt, was uns die spezielle Relativitätstheorie sagt, ist, dass für einen sich bewegenden Beobachter die Zeit- und die x - Achse relativ zu meiner gedreht sind. Insbesondere dann, wenn sich der andere Beobachter mit einer Geschwindigkeit relativ zu mir bewegt$v$dann wird ihre Zeitachse um einen Winkel gedreht$\theta$gegeben von:

Wenn ich also die Zeitachsen von Bill und Charlie in mein Diagramm zeichne, erhalte ich:

Hoffentlich können Sie jetzt den Sinn meiner Analogie erkennen. In den Ruhesystemen von Bill und Charlie sind sie stationär, was sie betrifft, bewegen sie sich also auf der Zeitachse nach oben$1$Sekunde pro Sekunde genau wie ich. Aber weil ihre Zeitachsen relativ zu mir gedreht sind, beobachte ich, dass sie sich mit weniger als in Zeitrichtung bewegen$1$Sekunde pro Sekunde, dh ihre Zeit ist relativ zu meiner verlängert.

Unter Berücksichtigung meiner Analogie, um herauszufinden, was Bill beobachtet, drehen wir alles nach links, um Bills Zeitachse vertikal zu machen, und Bill geht jetzt davon aus, dass er sich auf der Zeitachse am schnellsten nach oben bewegt. Ebenso drehen wir nach rechts, um Charlies Zeitachse vertikal zu machen, und wir stellen fest, dass Charlie denkt, dass er sich auf der Zeitachse am schnellsten nach oben bewegt.

Und das beantwortet unsere Frage. Alle drei von uns denken, dass wir uns am schnellsten durch die Zeit bewegen, und die Zeit der anderen beiden Personen ist verlängert, denn wenn wir Zeit messen, messen wir alle Zeit in einer anderen Richtung. Unsere Uhren unterscheiden sich, weil wir verschiedene Dinge messen.

Dieser Effekt (B ist langsamer gegenüber A und umgekehrt) scheint nicht sehr mysteriös und kann sogar in einem sehr einfachen Modell beobachtet werden. Der Effekt ist die direkte Folge von Einstein – Synchronisation von Uhren im Bezugssystem eines Beobachters.

Um das zu demonstrieren, betrachten wir das Verhalten von Objekten, die sich zwar langsam bewegen, sich aber dennoch nach den Gesetzen der speziellen Relativitätstheorie verhalten. Abb. 1. Das Schiff links ruht auf der Wasseroberfläche. Ein Shuttle bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von
$V$von einem Schiff auf den Grund und zurück. Das rechte Schiff bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von$v$entlang der Gewässeroberfläche. Die Bewegungsgeschwindigkeit des Shuttles ist gleich$V$, ist die horizontale Geschwindigkeitskomponente des Shuttles gleich$v$, und die vertikale Komponente,$V_Z$, gleich$V \sqrt{1-(v/V)^2}$

Stellen wir uns die Oberfläche eines Wasserkörpers mit flachem Boden und einer Tiefe von vor$h$, gefüllt mit stillem Wasser. Ein Schiff, das mit einer Pendeluhr und mit Instrumenten ausgestattet ist, die auf der Grundlage von Signalen arbeiten, die von dieser Uhr (im Takt mit dieser Uhr) erzeugt werden, befindet sich auf der Wasseroberfläche. Ein Hochgeschwindigkeits-Shuttle, das sich in kontinuierlicher Bewegung entlang einer Lotlinie (relativ zu einem bestimmten Schiff) zwischen dem Schiff und dem Boden befindet, erfüllt die Funktion des Pendels der Uhr. Jede Pendelfahrt nach unten und zurück benötigt eine Zeit von$Δt = 2h/V_Z$, wo$V_Z$– Sink- und Steiggeschwindigkeit des Unterwasser-Shuttles und wird von einer Änderung der Uhrzeitanzeige begleitet. Das Shuttle bewegt sich mit einer konstanten Geschwindigkeit von V relativ zum Wasser, und wenn das Schiff in Ruhe ist, bewegt sich das Shuttle senkrecht zum Boden und die Geschwindigkeit des Abstiegs und Aufstiegs des Shuttles$V_Z$, gleich$V$. Die Zeit,$Δt$, einer Pendelfahrt nach unten und zurück gleicht$2h/V$. Das$V$Geschwindigkeitswert überschreitet die Schiffsgeschwindigkeit von$v$; dh der Zustand$v < V$ist befriedigt.

Fährt ein Schiff mit einer Geschwindigkeit von$v$, die Taktrate der Uhr und die Betriebsgeschwindigkeit der Instrumente auf den Schiffen werden verringert. Dies geschieht aufgrund der Tatsache, dass, wenn sich ein Schiff mit einer Geschwindigkeit von bewegt$v$, die Auf- und Abstiegsgeschwindigkeit,$V_Z$, eines Shuttles, das Fahrten im Wasser zwischen einem Schiff und dem Grund des Gewässers gemäß den Hypotenusen rechtwinkliger Dreiecke unternimmt, ist zufällig gleich$V \sqrt{1-(v/V)^2}$. Zeit auf dem Schiff in Bewegung, die als simulierte Zeit bezeichnet werden kann,$t'$, vergeht langsamer als die Zeit,$t$, auf dem Schiff in Ruhe auch durch$1 \sqrt{1-(v/V)^2}$mal. Je schneller also ein Schiff durch das Wasser fährt, desto seltener "schwingt" das Pendel und desto langsamer werden die Operationen der auf diesem Schiff befindlichen Instrumente durchgeführt, deren Arbeitsgeschwindigkeit proportional zur Shuttle-Pendelfrequenz ist.

Mit Schiffen dieses Typs ist es einfach, die Zeitdilatation zu simulieren.

Nehmen wir an, zwei ruhende Schiffe befinden sich in einiger Entfernung voneinander auf einer Wasseroberfläche. Stellen wir uns vor, dass die Schiffe mit Schnellbooten ausgestattet sind, die wie die Shuttles mit einer Geschwindigkeit von fahren$V$, aber nur an der Wasseroberfläche. Nehmen wir an, die Schiffsinstrumente synchronisieren die Uhren mit einem Schnellboot zur Übermittlung der Informationen, die von einem Schiff zum anderen und zurück laufen. Wenn die Instrumente die Information haben, dass die Geschwindigkeit des Bootes relativ zu Schiffen in entgegengesetzten Richtungen gleich ist, dann synchronisieren die Instrumente die Uhren mit Hilfe des Bootes, wie es in der speziellen Relativitätstheorie mit einem Lichtsignal geschieht.

Nachdem die Uhren synchronisiert wurden, können die Instrumente auf den ruhenden Schiffen ihre Taktrate mit der eines Schiffes vergleichen, das sich entlang der Verbindungslinie an ihnen vorbeibewegt. Die Instrumente nehmen die Uhrenablesungen des sich bewegenden Schiffes an den Orten der ruhenden Schiffe auf und vergleichen sie mit den Ablesungen der synchronisierten Uhren auf ihren eigenen Schiffen, um die Zeitdilatation des sich bewegenden Schiffes aufzuzeichnen$1 \sqrt{1-(v/V)^2}$mal.

Stellen Sie sich nun zwei Schiffe vor, die nacheinander mit einer Geschwindigkeit von unterwegs sind$v$. Nehmen wir an, das erste Schiff bewegt sich irgendwann an einem ruhenden Schiff vorbei, dann bewegt sich auch das zweite Schiff zu einem späteren Zeitpunkt an dem ruhenden Schiff vorbei. Beim Vergleich der Uhrenablesungen des ruhenden Schiffes mit denen der zuvor synchronisierten Uhren ihrer eigenen Schiffe erkennen die Instrumente der Schiffe in Bewegung einen Unterschied in der Rate ihrer Uhr und der Uhr auf dem Schiff in Bewegung. Das Ergebnis eines Vergleichs der Uhren auf dem ruhenden Schiff und den Uhren auf den fahrenden Schiffen hängt von der Uhrensynchronisationstechnik ab.

Wenn die Instrumente auf den fahrenden Schiffen die Geschwindigkeit messen können,$v$, ihrer Schiffe, oder wenn sie Informationen darüber haben, dass sich ihre Schiffe mit einer Geschwindigkeit von bewegen$v$, dann berücksichtigen sie durch Synchronisierung ihrer Uhren mit einem Boot, das sich zwischen den Schiffen bewegt, die Ungleichheit der Geschwindigkeit des Schnellboots, das sie benutzen, relativ zu ihren Schiffen in der Richtung und entgegen der Richtung ihrer Bewegung. Indem sie die Uhren auf diese Weise synchronisieren, erhalten sie ein wahres Ergebnis, nach dem die Zeit auf dem Schiff in Ruhe vergeht$1\sqrt{1-(v/V)^2}$mal schneller als ihre eigene Zeit.

Dieses Ergebnis kann jedoch genau umgekehrt sein, wenn die Instrumente auf den fahrenden Schiffen keine Informationen über die Bewegung ihrer Schiffe und kein anderes Kommunikationsmittel zwischen den Schiffen als ein Schnellboot haben. Die Wahrheit ist, dass durch das Senden eines Bootes, das die erforderlichen Informationen von Schiff zu Schiff trägt, die Instrumente nur die Tatsache der Bewegung der Schiffe relativ zueinander aufzeichnen können. Grundlegende Berechnungen zeigen, dass die Instrumente nicht feststellen können, welches Schiff in Bewegung ist und welches Schiff relativ zum Wasser ruht. Wenn die Instrumente falsche Informationen bezüglich der Ruhe ihrer Schiffe verwenden und dann ihre relativ zum Wasser in Bewegung befindlichen Schiffe mit ruhenden Schiffen verwechseln, verwechseln sie das im Wasser ruhende Schiff mit einem relativ zu ihnen in Bewegung befindlichen Schiff. Hier,

In diesem Fall zeichnen die Instrumente auf den fahrenden Schiffen durch die Synchronisierung der Uhren mit der Einstein-Technik , so seltsam es scheinen mag, eine falsche Zeitdilatation auf dem im Wasser ruhenden Schiff auf , das sich ihrer Einschätzung nach relativ zu ihnen bewegt .

Einige Referenzen:

Dorling, J. „Length Contraction and Clock Synchronization: The Empirical Equivalence of the Einsteinian and Lorentzian Theories“, The British Journal for the Philosophy of Science, 19, S. 67-9

Kapitel 3.5.5 Die Reziprozität der Lorentz-Transformation https://www.mpiwg-berlin.mpg.de/litserv/diss/janssen_diss/Chapter3.pdf

Simulation der Kinematik der Speziellen Relativitätstheorie mittels klassischer Mechanik https://arxiv.org/abs/1201.1828

Hier sind einige Raumzeitdiagramme, die die Symmetrie der Zeitdilatation zeigen.
Diese Diagramme liegen den verschiedenen Analogien zugrunde, die man verwenden kann, um die Symmetrie zu motivieren.

Zuerst zeichnen wir Raumzeitdiagramme auf gedrehtem Millimeterpapier, damit wir die Ticks entlang der Trägheitsbeobachter-Weltlinien leichter visualisieren können.

In unserem Beispiel haben
unsere Beobachter eine Relativgeschwindigkeit von$v/c=\tanh\theta=(6/10)$,
und der entsprechende Zeitdilatationsfaktor ist$\gamma=\cosh\theta=(10/8)$,
wo$\theta$ist der Minkowski-Winkel [die „Schnelligkeit“] zwischen den zeitähnlichen Weltlinien.

Wir haben das Diagramm aus Alices Rahmen gezeichnet. Alice betrachtet P und P' als gleichzeitig, während Bob (der sich mit Geschwindigkeit (6/10)c in Bezug auf Alice bewegt) Q und Q' als gleichzeitig ansieht.
Beachten Sie, dass:

• $\triangle OPP'$ein rechtwinkliges Minkowski-Dreieck ist, wobei$OP$ist Minkowski-senkrecht zu$PP'$.
  $$\cosh\theta=\gamma=\frac{OP}{OP'}=\frac{10}{8}$$
• $\triangle OQQ'$ein [ähnliches] rechtwinkliges Minkowski-Dreieck ist, wobei$OQ$ist Minkowski-senkrecht zu$QQ'$.
  $$\cosh\theta=\gamma=\frac{OQ}{OQ'}=\frac{10}{8}$$

In meinem Diagramm haben die "Lichtuhr-Diamanten" lichtähnliche Kanten und gleiche Fläche. Außerdem sind die Diagonalen der „Lichtuhr-Diamanten“ Minkowski-senkrecht zueinander.

Durch Einzeichnen der Hyperbeln mit Mittelpunkt beim Meeting-Ereignis$O$, das sieht man$PP'$tangiert diese Hyperbel bei dem Ereignis$P$, wobei "Radiusvektor"$OP$trifft auf die Hyperbel. Ähnlich,$QQ'$tangiert diese Hyperbel bei dem Ereignis$Q$, wobei "Radiusvektor"$OQ$trifft auf die Hyperbel.

Um zu sehen, dass diese Konstruktion "Tangente ist senkrecht zum Radius" analog zur euklidischen Konstruktion ist (und um das galiläische Analogon zu sehen), spielen Sie mit meiner Visualisierung https://www.desmos.com/calculator/wm9jmrqnw2 herum, indem Sie die E- Parameter.
(In dieser Visualisierung läuft die Zeit nach rechts [wie bei den Standard-Positions-gegen-Zeit-Graphen].)

• Minkowski (E=+1-Fall)
• Galiläisch (Fall E=0)
• Euklidisch (E=-1 Fall)

Das erste Diagramm basiert auf Abb. 17 in meiner Arbeit „Relativity on Rotated Graph Paper“ [American Journal of Physics 84, 344 (2016)] http://dx.doi.org/10.1119/1.4943251

Ich gehe davon aus, dass die Schiffe gleichzeitig von der Erde abheben, wobei alle drei Uhren auf 0 gestellt sind. Ereignisse, die durch blaue Linien verbunden sind, sind laut Beobachter auf der Erde gleichzeitig. Ereignisse, die durch rote Linien verbunden sind, sind gemäß dem Beobachter auf Schiff A gleichzeitig. Ereignisse, die durch grüne Linien verbunden sind, sind gemäß dem Beobachter auf Schiff B gleichzeitig:

(Hinweis: Diese Zeiten sind Annäherungen; um dies vollständig realistisch zu machen, müsste ich Ereignisse zeigen, die zu Zeiten wie 1:47 stattfinden, die ich auf 2:00 gerundet habe.)

Der erdgebundene Beobachter sagt Dinge wie diese:

Ich sehe an meiner Uhr, dass es jetzt 4:00 Uhr ist. In diesem Moment zeigen beide Schiffsuhren 3:00 Uhr. Sie laufen langsam.

Oder

Ich sehe an meiner Uhr, dass es jetzt 8:00 Uhr ist. In diesem Moment zeigen beide Schiffsuhren 6:00 Uhr. Sie laufen langsam.

Der Kapitän auf Schiff A sagt Dinge wie:

Ich sehe an meiner Uhr, dass es jetzt 4:00 Uhr ist. In diesem Moment zeigt die Erduhr 3:00 Uhr an. Es läuft langsam. Auch in diesem Moment zeigt die B-Uhr 2:00 an. Es läuft noch langsamer.

Oder:

Ich sehe an meiner Uhr, dass es jetzt 8:00 Uhr ist. In diesem Moment zeigt die Erduhr 6:00 Uhr an. Es läuft langsam. Auch in diesem Moment zeigt die B-Uhr 4:00 an. Es läuft noch langsamer.

Der Kapitän auf Schiff B sagt Dinge wie:

Ich sehe an meiner Uhr, dass es jetzt 4:00 Uhr ist. In diesem Moment zeigt die Erduhr 3:00 Uhr an. Es läuft langsam. Auch in diesem Moment zeigt die A-Uhr 2:00 an. Es läuft noch langsamer.

Oder:

Ich sehe an meiner Uhr, dass es jetzt 8:00 Uhr ist. In diesem Moment zeigt die Erduhr 6:00 Uhr an. Es läuft langsam. Auch in diesem Moment zeigt die A-Uhr 4:00 an. Es läuft noch langsamer.

Wo ist das angebliche Paradoxon?

Dies wird oft ausgedrückt als "Jeder der Zwillinge denkt, seine Uhr geht schneller" . Genauer gesagt wäre es jedoch "Jeder der Zwillinge denkt, dass seine Uhr schneller geht, wenn er in seinem eigenen Koordinatensystem beobachtet wird."

Der Unterschied ist insofern wichtig, als die Reisenden, wenn sie die Relativitätstheorie verstehen, wissen, dass ihre Beobachtung nur in ihrem eigenen Koordinatensystem gilt. Sie können auch berechnen und der Meinung des anderen Reisenden zustimmen, sodass sie nicht anderer Meinung sind .

Eine Analogie kann mit Bewegung gemacht werden. Wenn Reisender A aus seinem Fenster schaut und sieht, dass die Entfernung zum Schiff von B größer wird, könnte er denken: „Ich ziehe um und er bleibt, wo er ist“. Aber B kann genau dasselbe denken. Und doch verstehen beide, dass ihre Beobachtungen nicht widersprüchlich sind, denn Bewegung ist immer relativ. Ein weiteres Beispiel aus Wikipedia :

Während dies widersprüchlich erscheint, tritt eine ähnliche Kuriosität im Alltag auf. Wenn Person A Person B sieht, erscheint ihr Person B klein; Gleichzeitig wird Person A Person B klein erscheinen. Da wir mit den Auswirkungen der Perspektive vertraut sind, gibt es in dieser Situation keinen Widerspruch oder Paradoxon.

Ein weiterer wichtiger Aspekt der unterschiedlichen Koordinatensysteme ist, dass es keine direkte Möglichkeit gibt, die Uhrzeiten gleichzeitig zu messen, wenn sie nicht nebeneinander liegen. Da die Lichtgeschwindigkeit die maximale Geschwindigkeit aller Informationen ist, verzögert sich das, was Sie von der anderen Uhr sehen, immer mehr, je weiter sie entfernt ist.

Entscheidet sich jedoch Reisender B, sein Schiff umzudrehen und A einzuholen, ändert sich die Situation. Das Koordinatensystem des Reisenden B ändert sich nun, wenn sich seine Geschwindigkeit ändert. Dadurch wird die Symmetrie gebrochen. Zu dem Zeitpunkt, an dem B A einholt, werden beide feststellen, dass die Uhr von B hinter der Uhr von A zurückbleibt.

Dieses Phänomen folgt direkt aus dem Prinzip der Zeitdilatation der speziellen Relativitätstheorie:

Eigenzeit = Zeit vor Zeitdilatation

Beobachtete Koordinatenzeit = Zeit nach Zeitdilatation

Das bedeutet in diesem Fall: Wenn jeder Zwilling seine eigene Uhr beobachtet, ist die beobachtete Koordinatenzeit die Eigenzeit (Zeitdilatationsfaktor 1, dh Abwesenheit jeglicher Zeitdilatation). Wenn er eine andere Uhr beobachtet, die sich mit relativer Geschwindigkeit in Bezug auf sich selbst bewegt, ist die Zeitdilatation nicht eins, sie ist größer als eins, das bedeutet, dass es eine gewisse Zeitdilatation gibt.

Eine Möglichkeit, die Relativitätstheorie zu verstehen, besteht darin, sich die Raumzeit als durch eine Geometrie beschrieben vorzustellen, in der$x^2+y^2=z^2$, mit$x$und$y$zwei Beine eines rechtwinkligen Dreiecks sind, und$z$B. die Hypotenuse, wird durch ersetzt$x^2-y^2=z^2$mit$x$den räumlichen Abstand zwischen zwei Ereignissen in der Raumzeit darstellen,$y$der zeitliche Abstand zwischen zwei Ereignissen in der Raumzeit ist, und$z$ist der Abstand in der Raumzeit zwischen zwei Ereignissen.

Der zeitliche Abstand zwischen zwei Ereignissen, wenn diese beiden Ereignisse durch eine Weltlinie eines Objekts verbunden sind, das sich in einem Trägheitsbezugssystem befindet, ist die Eigenzeit der Weltlinie. Die Eigenzeit einer Weltlinie, die sich in einem Trägheitsbezugssystem befindet, kann also mit der Gleichung ausgedrückt werden$\tau^2=-\left(\frac{\Delta_x}{c}\right)^2+{\Delta_t}^2$, mit$\tau$die richtige Zeit sein,$\Delta_x$die Verschiebung der Objekte im Raum ist,$c$die Lichtgeschwindigkeit ist, und$\Delta_t$die Verschiebung der Objekte in der Zeit.

Wenn sich Zwilling A und B in Trägheitsreferenzrahmen befinden und B sich relativ zu A bewegt, könnten Sie ein rechtwinkliges Dreieck zeichnen, wobei eines der Beine die Eigenzeit von Zwilling A darstellt, das andere Bein die Verschiebung von Zwilling B im Raum darstellt relativ zu A von der Anfangszeit für A bis zur Endzeit für A und die Hypotenuse ist die Eigenzeit für B, also${\tau_b}^2=-\left(\frac{\Delta_{x_a}}{c}\right)^2+\tau_a^2$. Die Richtung der Eigenzeit eines Objekts ist auch die Richtung der Zeitachse dieses Objekts, also sind sich A und B auch nicht einig darüber, in welcher Richtung die Zeit ist, und so können sie beide sagen, dass es der andere ist, dessen Uhr langsamer geworden ist. Während verschiedene Beobachter über die Verschiebung im Raum und die Verschiebung in der Zeit unterschiedlicher Meinung sein können, können sie sich über den Abstand in der Raumzeit zwischen zwei Ereignissen einigen.

Alles ist klar, wenn man bedenkt, dass Gleichzeitigkeit relativ ist.

Betrachten wir einen einfachen Fall, in dem sich der Rahmen F' mit der Geschwindigkeit v in Bezug auf den Rahmen F nach rechts bewegt, mit anderen Worten, F bewegt sich mit -v in Bezug auf F'.

Die Lorentz-Transformation in eine Richtung ist gegeben durch

Wenn Sie beheben$x'=0$, dann$t'$wäre die Zeit der Uhr in F'. Einfache Ersatzshows

Wir bezeichnen dies normalerweise$t'$mit$\tau$und nenne es die richtige Zeit, weil die "Uhr" darauf fixiert ist$x'=0$im Rahmen F'. Wir können die Zeitdilatation in diesem Fall sehen.

Allerdings zeitweise$\tau$in Frame F' können wir die Frage stellen, was sieht der Beobachter in Frame F' in diesem Moment auf der Uhr, die im Ursprungsframe F sitzt? Das Entscheidende dabei ist, dass F' und F in diesem Moment aufgrund der Relativität der Gleichzeitigkeit unterschiedliche Bedeutungen haben. Im Minkowski-Diagramm ist es geneigt.

Wenn wir reparieren$t'=\tau$für einen gewissen Wert von$\tau$, wir können herausfinden, was$t$ist bei$x=0$.

Es ist kein Paradoxon.

Betrachten Sie den Fall von zwei 100 m hohen Polen, die tausend km voneinander entfernt auf der Erde stehen. Du stehst neben dem einen und ich stehe neben dem anderen. Aufgrund der Erdkrümmung ist die vertikale Richtung in Ihrem Bezugssystem nicht parallel zu meinem - die beiden sind etwas abgewinkelt. Wenn Sie die Höhe meiner Stange in Ihrem Bezugssystem messen, werden Sie sagen, dass sie weniger als 100 m beträgt, weil sich die Stange von Ihnen weglehnt. Wenn ich die Höhe Ihrer Stange in meinem Bezugsrahmen messe, beträgt sie weniger als 100 m, da sie sich von mir weglehnt. Gemessen in unserem jeweiligen Bezugsrahmen finden wir beide die Höhe des Pols des anderen geringer als unsere eigene. Es gibt kein Paradox – wir messen Mengen einfach auf einer anderen Basis.

Verwirrung über die Zeitdilatation entsteht, wenn die Leute annehmen, dass dies bedeutet, dass sich die Zeit verlangsamt. Der Effekt entsteht, weil Ebenen konstanter Zeit in einem Referenzrahmen alle in Bezug auf die Ebenen konstanter Zeit in jedem anderen sich relativ dazu bewegenden Referenzrahmen geneigt sind. Das bedeutet, dass, wenn Sie sich durch einen Rahmen bewegen, die Uhren, an denen Sie vorbeigehen, fortschreitend asynchron sind, wobei jede der letzten Uhr, an der Sie vorbeigegangen sind, zeitlich voraus ist. Ihre eigene Uhr scheint nur langsam zu laufen, weil jede der Uhren, an denen Sie vorbeigehen, der letzten Uhr vorausgeht, an der Sie vorbeigegangen sind.

Um ein konkretes Beispiel zu nehmen, stellen Sie sich zwei Züge vor, A und B, jeder mit einer Lokomotive und zehn Waggons, in denen sich in jeder Einheit eine Uhr befindet. Die Uhren halten die perfekte Zeit, wurden aber so eingestellt, dass jede Uhr, wenn Sie den Zug hinunterfahren, eine Sekunde hinter der nächsten läuft.

Stellen Sie sich jetzt vor, dass die beiden Züge Kopf an Kopf vorbeifahren und sich treffen, wenn ihre Leituhren die Zeit 12:00:00 anzeigen. Die Züge fahren sehr langsam, so dass es zehn Sekunden dauert, um an jedem Waggon vorbeizukommen.

Der Fahrer in Zug A schaut auf jede der Uhren, an denen er im anderen Zug vorbeifährt. Den ersten passiert er um 12:00:10, aber die Uhr wurde 1 Sekunde vorgestellt, also zeigt sie 12:00:11 an.

Die zweite Uhr passiert er um 12:00:20, aber diese Uhr wurde 2 Sekunden vorgestellt, sodass sie 12:00:22 anzeigt.

Die nächste Uhr, an der er vorbeigeht, zeigt 12:00:33, obwohl seine Uhr nur 12:00:30 anzeigt.

Seine Uhr scheint je nach den Uhren, an denen er vorbeigeht, alle zehn Sekunden eine Sekunde nachzugehen, dh die Zeit zu dilatieren, aber in Wirklichkeit tickt seine Uhr mit der normalen Rate, und die Dilatation wird durch den Vergleich seiner Uhr mit anderen verursacht, die außer Betrieb sind von synchron.

Der Fahrer in Zug B hat genau die gleiche Erfahrung. Er fährt um 12:00:10 Uhr am ersten Waggon in Zug A vorbei, aber diese Uhr wurde um 1 Sekunde vorgestellt, sodass sie 12:00:11 Uhr anzeigt. Ebenso zeigt die nächste Uhr, an der er vorbeigeht, 12:00:22, obwohl seine Uhr nur 12:00:20 anzeigt, und so weiter. Der Fahrer in Zug B glaubt also, im Vergleich zu den Uhren in Zug A Zeit zu verlieren.

Jeder Fahrer sieht daher, dass seine eigene Uhr im Vergleich zu den Uhren, an denen er im anderen Zug vorbeifährt, immer mehr Zeit zu verlieren scheint. Es ist kein Paradoxon. Die Uhr jedes Fahrers zeigt die richtige Zeit an, aber sie passieren Uhren, die zunehmend nicht mehr synchron sind.

Das Zwillingsparadoxon kann helfen. Bevor Sie sagen „Nein, das ist asymmetrisch!“, lassen Sie es mich erklären.

Beim Zwillingsparadoxon bleibt ein Zwilling auf der Erde, während der andere Zwilling mit einem Raumschiff zu einem Stern und zurück reist. Der Zwilling, der reist, ist weniger alt als der Zwilling, der auf der Erde geblieben ist. Einige fragen dann: "Aber wenn wir die Dinge umdrehen und bedenken, dass der Zwilling auf dem Raumschiff in Ruhe war und die Erde und der Stern die ganze Bewegung gemacht haben, stellen wir dann nicht fest, dass der Erdzwilling weniger altert?" Und die Antwort ist nein, tun wir nicht. Wir erhalten genau das gleiche Ergebnis. Ob Erde und Stern die Bewegung übernehmen oder das Raumschiff, das Ergebnis ist immer, dass der Zwilling auf dem Raumschiff weniger altert.

Um am besten zu sehen, was passiert, bedenken Sie, dass die Erde und der Stern ein langer Stab sind, sagen wir 3 Ly lang, und dass das Raumschiff mit 0,6 ° C fliegt und diesen Stab von Ende zu Ende durchquert.

Szenario 1: Das Schiff bewegt sich mit 0,6 °C und passiert den stationären Stab. Wie lange braucht das Schiff, um die Rute zu überqueren? Aus beiden Perspektiven?

Szenario 2: Der Stab bewegt sich mit 0.6c und passiert das stehende Schiff. Wie lange braucht das Schiff, um die Rute zu überqueren? Aus beiden Perspektiven?

Szenario 1 Ergebnis: Aus Sicht der Rute fährt das Schiff mit 0,6c und die Rute ist 3 ly lang und es dauert 5 Jahre. Aus Sicht des Schiffes ist die Rute 2,4 ly lang (zusammengezogen) und das Schiff fährt 0,6 c und es dauert 4 Jahre.

Szenario 2 Ergebnis: Aus Schiffssicht ist die Rute 2,4 ly lang (eingezogen), das Schiff fährt 0,6c, es dauert 4 Jahre. Aus Sicht der Rute geht das Schiff 0,6c und die Rute ist 3 Lj lang, es dauert 5 Jahre.

Sie sehen also, im Gegensatz zu dem, was Sie hören, ist das Zwillingsparadoxon ziemlich symmetrisch in dem Sinne, dass das Relativitätsprinzip gilt (wie es immer sein sollte) und Sie können das Raumschiff oder die Erde und den Stern bewegen lassen. Ok, jetzt sagst du "Aber das ist noch schlimmer! Du hast symmetrische Szenarien gezeigt, aber jetzt sind die Ergebnisse asymmetrisch!"

Nun, das Zwillingsparadoxon ist symmetrisch in dem Sinne, dass es dem Relativitätsprinzip folgt, aber es gibt ein wichtiges Detail, das es von Ihrem Szenario unterscheidet.

Wenn zwei Beobachter A & B mit einer bestimmten Geschwindigkeit aneinander vorbeigehen, sagen wir oft, dass A sieht, dass die Uhr von B langsam läuft, und dass B sieht, dass die Uhr von A langsam läuft. Und das ist wahr. Aber was heißt „sieht“? Nun, eine Möglichkeit, es zu definieren, ist wie folgt. Wenn A ein Lineal herauszieht und misst, wie lange B braucht, um es zu durchqueren, und B dies ebenfalls misst, wird die Zeit von A länger sein als die Zeit von B. Wenn B ein Lineal herauszieht und die Zeit misst, die A braucht, um es zu durchqueren, und A dies ebenfalls multipliziert, ist die Zeit von B länger als die Zeit von A.

Aber jeder verwendet sein eigenes Lineal und dies stellt zwei verschiedene Szenarien dar, die nicht verglichen werden können. Also kein Paradoxon (da man die Szenarien sowieso nicht vergleichen kann). Sie können die beiden Ergebnisse nur vergleichen, wenn sie auf einem Lineal basieren.

Beim Zwillingsparadoxon verwenden wir die ganze Zeit nur ein Lineal (den Stab). Grundsätzlich die Entfernung von der Erde zum Stern. Dieses Lineal befand sich IMMER im Rahmen der Erde, obwohl wir es bei stationärem und sich bewegendem Raumschiff betrachteten.

In Ihrem Szenario müssen Sie sich entscheiden, welchen Weg Sie gehen werden. Werden Sie das Lineal von A oder das von B verwenden? Soll die Uhr von A langsamer sein als die von B oder umgekehrt?

Wenn Sie dies noch einmal durchdenken, muss der andere Beobachter, sobald Sie ein Lineal ausgewählt haben, irgendwann zu diesem Referenzrahmen zurückkehren, damit die verschiedenen Uhren etwas bedeuten. Wenn sich die beiden Beobachter für immer voneinander entfernen, wird der Fall von Uhrenunterschieden strittig.

Der Grund, warum die Zwillinge denken, dass ihre Uhr schneller oder langsamer läuft als die des anderen Zwillings, liegt darin, dass sie beide nicht in der Lage sind, den anderen Zwilling " von oben " zu beobachten (wie wir es auf dem von Ihnen bereitgestellten Bild tun). Sie beobachten sich stattdessen gegenseitig, während sie sich selbst als stationär betrachten!

Aber das ist "falsch" ... * Keiner von ihnen ist stationär ... Sie bewegen sich beide in der Raumzeit. Aber da wir das Äquivalenzprinzip haben, können wir uns tatsächlich als stationär betrachten und denken, dass sich der andere im Raum oder in der Zeit bewegt, entweder schneller oder langsamer ... Das erzeugt das "Paradoxon", nach dem Sie fragen. Es ist kein Paradoxon, es ist nur Kurzsichtigkeit ...

(Es ist nicht wirklich falsch, wir können die Raumzeit einfach nicht "von oben" sehen, wie in dem Bild, das Sie bereitgestellt haben, also sehen wir am Ende all diese Effekte der Relativitätstheorie, wie Zeitdilatation und Längenkontraktion. Wenn wir beide Objekte von "oben" beobachten " all diese Effekte verschwinden).