Bündel und verdichtete Raumzeit

Eine Eichtheorie kann nicht rein lokal betrachtet werden, sie hat inhärent globale Eigenschaften, die man lokal nicht sehen kann. Die richtige mathematische Formalisierung einer Yang-Mills-Eichtheorie ist das Eichfeld$A$ist eine Verbindung auf einem Hauptbündel $P\to M$über die Raumzeit$M$. In der Praxis stellt sich jedoch heraus, dass die Physiker das eigentlich nicht wollen$M$Raumzeit selbst zu sein, aber verdichtete Raumzeit .

Wir können dies am deutlichsten in der Konstruktion des BPST-Instantons auf Euklidisch sehen$\mathbb{R}^4$: Die eicheninvariante Spur der Feldstärke selbst geht als$\mathrm{tr}(F)\propto \frac{\rho^2}{(x^2+\rho^2)^2}$und ist überall wohldefiniert und fällt ins Unendliche ab. Aber wenn wir das damit verbundene Eichpotential betrachten$A$, man findet es nicht überall wohldefiniert, so geht es$A\propto \frac{x^3}{x^2(x^2+\rho^2)}$, was Singular für ist$x\to 0$, aber wohldefiniert für$\lvert x\rvert\to\infty$als$A(x)\to U(x)^{-1}\mathrm{d}U(x)$, wo$U(x)$ist im Wesentlichen die Spurtransformation, die Sie in Ihrer Frage aufgeschrieben haben.

Also wollen wir$F$als physikalisch zulässige Feldstärke, jedoch entsprechend$A$ist nicht wohldefiniert auf$\mathbb{R}^4$. Die Bündelsicht kann uns nicht helfen, weil alle Bündel über dem euklidischen Raum trivial sind, das heißt$A$ muss immer global definiert werden . Wenn wir jedoch weitergehen$S^4$als konforme Verdichtung von$\mathbb{R}^4$und einen der Pole mit "unendlich" und den anderen mit null identifizieren, dann werden nicht-triviale Bündel möglich, und wir erhalten zwei lokale Beschreibungen auf der nördlichen und südlichen "Hemisphäre", die wir normalerweise über die gesamte Sphäre mit Ausnahme einer einzigen erweitern können Punkt . Wenn die lokale Beschreibung von$A$über die ganze Sphäre erstreckt, dann ist das Hauptbündel der Eichtheorie trivial.

Aber wir haben bereits dass das Spezifische gesehen$A$wir wählten erstreckt sich nicht auf$x=0$, und zwar die topologische Invariante$\int\mathrm{tr}(F\wedge F)$ist ungleich Null, was bedeutet, dass das Bündel nicht trivial ist, was bedeutet$A$ kann sich nicht über die gesamte Sphäre erstrecken. Insbesondere ist es von Natur aus unmöglich , a zu finden$A$das ist bei jedem wohldefiniert$x\in\mathbb{R}^4$ und hat eine wohldefinierte Grenze in Richtung Unendlich, die uns die BPST-Instanton-Lösung liefert$F$.

Sie haben also genau zwei Möglichkeiten: Entweder müssen wir die Eichtheorie weiter betrachten$S^4$anstatt$\mathbb{R}^4$, oder die BPST-Instantonen - eigentlich alle Instantonen - sind eigentlich keine erlaubten Lösungen der Eichtheorie. Die Standardphysik entscheidet sich für Ersteres angesichts der Instanton-Beiträge zu nachweisbaren Dingen wie der axialen Anomalie.

Transformationen großer Spurweiten

Nun, da wir wissen, dass wir ein Prinzipalbündel betrachten$P\to S^4$ist eine Eichtransformation ein fasererhaltender Automorphismus$P\to P$, und es kann vorkommen, dass diese nicht homotop zur Identitätskarte sind$P\to P$. Betrachten Sie als Spielzeugbeispiel die$\mathrm{U}(1)$-bündeln$\mathrm{U}(1)\times S^1\to S^1$, das ist der Torus, und die Eichtransformation$\mathrm{U}(1)\times S^1\to\mathrm{U}(1)\times S^1, (g,s)\mapsto (gs,s)$, die die kanonische Einbettung übernimmt$S^1\to \mathrm{U}(1)\times S^1$und wickelt es einmal um den Kreis$\mathrm{U}(1)$. Da die Windungszahl eine Homotopie-Invariante ist, ist das Bild der$S^1$als Pfad ist nicht homotop zur Quelle und daher ist diese Transformation nicht homotop zur Identität. Dies ist eine große Spurtransformation im eigentlichen mathematischen Sinne, wie sie im Wikipedia-Artikel definiert und beispielsweise in dieser Antwort von David Bar Moshe erörtert wird . Ich bin mir eigentlich nicht sicher, ob es "echte" Großspurtransformationen gibt$S^4$in diesem Sinne, aber ich glaube, es gibt keine.

„False Gauge Transformationen“, oder: Übergangsfunktionen

Da die formale Maschinerie der Hauptbündel fehlt, verwechselt der Physiker oft zwei verschiedene Objekte – die Eichtransformationen$P\to P$, die zu Funktionen absteigen$g_i : U_i\to G$in der lokalen Beschreibung und die Übergangsfunktion , die eichtransformationsähnliche Funktionen sind$t_{ij} : U_i\cap U_j\to G$die das Bundle in der lokalen Beschreibung definieren und nicht global existieren. Beide$g_i$und der$t_{ij}$bestimmte Kompatibilitätsbedingungen erfüllen, um global wohldefiniert zu sein.

Wenn der Physiker nun eine Eichtransformation vornimmt, betrachtet er normalerweise nur$\mathbb{R}^4$, was bedeutet, dass sie die Eichtransformation implizit auf die andere lokale Beschreibung setzen - die offene Menge herum$\infty$- banal sein. Das sagt dann die Kompatibilitätsbedingung$g_i = t_{ij}$an$U_i\cap U_j$. In der Ortsbeschreibung des Physikers ist diese Überlappung die Sphäre im Unendlichen , also das Verhalten der Eichtransformation als$\lvert x\rvert \to \infty$. Also die Bedingung, dass$U(x)\to I$Das verwirrt Sie, Itzykon, Zuber und wahrscheinlich unzählige andere, ist nichts als die Bedingung, dass die$U(x)$, die in dieser lokalen Beschreibung angegeben ist, hebt sich tatsächlich zu einer richtigen Eichtransformation auf dem Bündel ab$P\to S^4$.

EIN$U(x)$der dies nicht tut, muss entweder durch seine entsprechende Transformation in der anderen lokalen Beschreibung ergänzt werden, oder er ändert das Bündel , dh der Physiker hat erklärt, dass er die Übergangsfunktion und damit (wahrscheinlich) das Bündel geändert hat. Die$\mathrm{SU}(2)\cong S^3$Bündel vorbei$S^4$werden durch Karten klassifiziert$S^3\to S^3$"am Äquator", in perfekter Analogie zu$\mathrm{U}(1)$-Bündel an$S^1$wie in dieser Antwort von mir beschrieben . Und wie$x\gg c$, dein$U^{(1)}(x)$wird eine Funktion

$$\frac{x}{\lvert x\rvert}\mapsto \exp\left(\frac{\mathrm{i}\tau_\mu x^\mu}{\lvert x\rvert}\right),$$ wo$x/\lvert x\rvert$ist nur ein Punkt auf der Einheitskugel$S^3\subset\mathbb{R}^4$und die rechte liegt in$\mathrm{SU}(2)\cong S^3$natürlich. Das ist also eine Karte$S^3\to S^3$dessen Homotopieklasse das Bündel klassifiziert, und es ist nicht allzu schwer zu erkennen, dass es das wickelt$S^3$einmal um sich selbst, im Gegensatz zur konstanten Abbildung, so dass die implizite Änderung, die sie an der Übergangsfunktion ausführt, tatsächlich das Bündel ändert. Es ist keine Eichtransformation für die Theorie auf$S^4$da es dies tut, nicht einmal eine "große", aber diese Transformationen werden oft auch als große Spurtransformationen bezeichnet. Beachten Sie schließlich, dass es sich auch nicht um eine zulässige Spurtransformation handelt$\mathbb{R}^4$da ist es nicht glatt an$0$.